高中数学特征值和特征向量解题策略

李泽地

对于特征值和特征向量这一章节的教学，教师首先需要引导学生亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值和特征向量的存在与性质，通过讲授与案例结合的方式发展学生的探究、交流能力.

一、特征值和特征向量的定义

对于特征值和特征向量的考查，最简单的考查形式就是对定义和计算的考查.在新课导入阶段，教师首先可以提问：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？因此引入新课.在讲授定义过程中，可以类比伸缩变换、反射变换，结合下述案例进行讲授.

案例1 已知矩阵A=12-14.求A的特征值和特征向量.

分析 可先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.

解答 矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6，

令f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3，

当λ1=2时，解得α1=21，

当λ2=3时，解得α2=11.

所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为21，同理，属于特征值3的一个特征向量为11.

点评 本题主要考查矩阵特征值和特征向量的定义，根据定义进行基础运算就可以得到相应的答案.

案例2 已知矩阵A=4001，B=1205，列向量X=ab.

（1）求矩阵AB;（2）若B-1A-1X=51，求实数a，b的值.

分析 （1）根据矩阵的乘法，即可求得AB;

（2）根据矩阵乘法计算公式，求得X=AB51，即可求得X，即可求得a和b的值.

解答 （1）AB=40011205=4805;

（2）由B-1A-1X=51，解得X=AB51=480551=285，又因为X=ab，所以a=28，b=5.

点评 本题考查矩阵的乘法，矩阵的乘法的运算，考查学生对特征向量的转化，需要学生能正确理解特征向量的意义.

案例3 已知矩阵M=100-1.

（1）求矩阵M的特征值和特征向量;（2）设β=23，求M99β.

分析 （1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.

（2）依据题意，M=100-1为反射变换矩阵，所以M99=M.

解答 （1）f（λ）=λ-100λ+1=（λ-1）（λ+1）=0，所以可以求得λ1=1或λ2=-1.

当λ1=1时，由0·x+0·y=00·x+2y=0，取x=1y=0，即a1=10;同理，当λ2=-1，a2=01.

（2）因为M99=M，所以M99β=Mβ=2-3.

点评 本题主要考察了矩阵特征值和特征向量计算等基础知识，是基础题.

二、特征值、特征向量的应用

特征值和特征向量由于其重要地位在高中数学中的应用极为广泛，主要有以下几方面：第一类是Fibonacci数列的通项，该应用计算量较大，但是可以用作数学推理讲授;第二类是求解一阶线性微分方程组，可以将方程的系数写成矩阵形式，结合特征值和特征向量列出线性组合从而求解;第三类是和曲线方程相结合，该类型题目考查数学模型法和方程思想;最后一类是在现有特征值和特征向量基础上给出新定义，让学生结合新定义求解.

案例4 设矩阵M=a021的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1，求曲线C的方程.

分析 由已知可得矩阵M的特征多项式，由一个特征值为2求得a值，再由矩阵变换得到方程组，代入曲线方程.

解答 由题意，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-a）（λ-1）

∵矩阵M有一个特征值为2，f（2）=0，∴a=2.

∴Mxy=2021xy=x′y′，即x′=2xy′=2x+y，代入方程x2+y2=1，得到2x2+（2x+y）2=1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.

案例5 现将所有平面向量集合记作R2，f是R2到R2的映射，记作y=f（x）或（y1，y2）=f（x1，x2），其中涉及到的均为实数.若存在非零向量x∈R2，及实数λ使得f（x）=λx，则称λ是f的一个特征值.如果f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），計算f的特征值，并求相应的x.

分析 此题考察新定义，根据题中给出的新定义列出方程，即可作答.

解答 由f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），可得x1+x2=λx1x1-x2=λx2，解此方程组可得λ-1λ+1=1，从而λ=±2.

当λ=2时，解方程组x1+x2=2x1x1-x2=2x2，此时这两个方程是同一个方程，

所以此时方程有无穷多个解，为x=m2+1，1，其中m∈R且m≠0.

当λ=-2时，同理可得x=m1-2，1，其中m∈R且m≠0

点评 本题考察的是新定义题型，这种题目要求学生能够快速读题，掌握新定义，并且根据新定义来作答.此类题型近几年考察较多，教师在平时授课中要加以重视.

本章节知识教师在讲授时可对题型进行分类，以例题为引导讲授.教学重点应该放在掌握矩阵特征值和特征向量求法，难点是学生能够独立完成矩阵向量计算，对于各种变形题，可以通过思考正确作答.

（收稿日期：2021-09-12）