基于范希尔思维水平理论的高中数学主题式教学研究*
——以“三棱锥”为例

广东省广州市清华附中湾区学校(510000) 彭红亮

1 问题的提出

某一主题下的一系列知识按照逻辑关系和思维层次形成一种层次网络结构体系.学习数学时,学生经常感到困难.根据范希尔思维水平理论可知,学生的思维水平存在由低到高的五个层次,分别视觉(水平1)、分析(水平2)、非形式化的演绎(水平3)、形式化的演绎(水平4)和严密性(水平5)等.通常高中生只能达到水平4.学生在思维水平较高的层级上顺利发展,意味着他已经理解和掌握低一级思维水平上的多数相关内容.如果学生的思维水平低于所学知识需要的思维水平,他们就会感到困难.可见,教师要用学生所处的思维层次的语言符号进行教学,便于学生理解和表达.同时,理清一个主题下知识之间的脉络,根据学生的初始思维水平设置教学起点,然后通过一系列由易到难的教学任务,推动学生从一个水平进步到更高的水平,进而形成结构化认知体系.

2 基于范希尔理论的高中数学主题式教学

思维水平的提升不是一蹴而就,往往要在主题相关的一系列课中循序渐进地达成.也就是说,通过每节课的学习,学生掌握相关的知识,为后续的学习奠定基础.学生在某个思维水平上积累的知识越丰富,在更高思维水平上的任务就越容易完成,所形成的知识结构更有序更系统.下面就以系列教学片段“三棱锥”为例进行说明.

2.1 教学框架

人教A 版《数学2》(必修) 第八章“立体几何初步”中,“基本立体图形”“立体图形的直观图”“简单几何体的表面积与体积”“空间点、直线、平面之间的位置关系”“空间直线、平面的平行”和“空间直线、平面的垂直”等六小节中都有以三棱锥为载体的教学内容,可以分解出5 个跨课时的系列教学片段,分别是:三棱锥的结构、三棱锥的直观图、三棱锥的表面积和体积、三棱锥与球体的切接问题、三棱锥中的平行与垂直关系.这些教学片段的具体教学内容、《课标(2017年版)》的内容要求及需要达到的几何思维水平的关系构成了“三棱锥”系列教学片段教学框架(见图1).

图1 “三棱锥”系列教学片段教学框架

下面以教学片断1 和教学片断5 为例,说明如何将学生的立体几何思维从水平1 提升到水平4.

教学片断1 掌握空间几何体的结构

三棱锥是最基本的空间图形之一,是学习其他空间几何体的基础.把三棱锥作为代表性几何体,设计以下几个问题链,帮助学生将立体几何思维从水平1 逐层提升到水平3.

(1)达到水平1

直观想象能力的水平1 是指学生能根据实物辨认出空间图形,也能根据空间图形想象出实物形状.课前制作框架型模型,课堂上让学生观察实物和自己制作的模型,并不断改变它的位置让学生观察图形的形状; 制作几何画板课件,拖动各顶点的位置,观察三棱锥的不同形状(见图2).一般先出示学生比较熟悉的形状,如图2 中的图①、图②,然后再将图形变换成比较容易混淆的形状,提高对空间几何体的直观感知能力.

图2 不同形状的三棱锥

语言交流能力的水平1 是指知道空间图形及其构图要素的名称及符号表示;使用三种语言表述几何对象的位置关系;了解空间图形的不同表示形式.

应用问题链Ⅰ帮助学生培养直观想象能力和语言交流能力.

问题链Ⅰ:

问题1:图2 中的三棱锥有什么共同的特点? 你认为怎样的图形是三棱锥?

问题2:不要求准确作图,不要求写做法,根据自己的模型所摆出的情况模仿画出三棱锥.(强调能看见的轮廓画实线,不能看见的轮廓画出虚线.)

问题3:根据你的观察和你在作图过程中的体验,请分析三棱锥有几个面? 这些面分别是什么图形?

问题4:请举出生活中的三棱锥实例.

通过这样的教学,引导学生从整体到局部,再从局部到整体进行观察;让学生初步尝试画出三棱锥;再让学生在生活中找出三棱锥,让学生的直观想象能力和语言交流能力能够顺利达到水平1.

(2)从水平1 提升到水平2

直观想象能力的水平2 是指能描述探究简单几何体的结构特征,也能根据结构特征判断图形的形状,形成描述性定义.反过来,也能简单地描述该几何体的外部特点.

可设计问题链Ⅱ达成教学目标.

问题链Ⅱ:

问题1:观察自己制作的三棱锥模型,请问三棱锥有几个面、几条棱、几个顶点? 这几个面和这几条棱都有什么特点?

问题2:请根据观察出的结论定义三棱锥.

问题3:请描述图3 中3 个三棱锥的的结构特征.

图3 部分特殊的三棱锥

问题4:请说出三棱锥、正四面体,正三棱锥之间的区别与联系.

上述问题链,首先让学生研究一般的三棱锥的结构特点,并尝试着给出三棱锥的定义.课堂上有学生认为“四个面都是三角形的图形”,教师可让大家讨论.有同学举出反例,见图4.然后可引导学生再次观察模型,得出三棱锥的描述性定义是“一个面是三角形,其余三个面是有公共顶点的三角形,它们所围成的多面体叫做三棱锥”.最后从一般到特殊,让学生掌握一些特殊的三棱锥,如图3 中的正四面体、正三棱锥等,总结三棱锥、正四面体和正三棱锥之间的区别与联系(见图5).通过对图形的深入分析,将直观想象能力从水平1 提高到水平2.

图4 四个三角形构成的图形

图5 三棱锥、正四面体、正三棱锥的关系

(3)从水平2 提升到水平3

图形应用能力的水平3 是指能建立几何体与它的展开图之间的转化关系(包括展开和翻折);能建立立体图形与截面的对应关系;能建立旋转体与经过旋转后形成这些几何体的平面图形之间的转化关系等.设计问题链Ⅲ,帮助学生逐步达到水平3.

问题链Ⅲ:

问题1:请用一张A4 白纸,通过适当的剪裁翻折做成一个封闭的三棱锥,并思考怎样的平面图形能折成三棱锥?

问题2:给出一个三棱锥,请你描述它的展开图.

问题3:请观察三棱锥和它的展开图,观察哪些量(包括边与角)改变,哪些没有变? 哪些位置关系改变,哪些没有?

问题4:观察框架型的三棱锥模型,如果用一个平面去截三棱锥,所得到的截面的形状是什么?

在问题链Ⅲ中,先做三棱锥模型,再反过来想象三棱锥的展开图,分析三棱锥和它的展开图之间的数量关系和位置关系,让学生体验从平面图形到空间图形再到平面图形的转变过程.在这个转变过程中,感知三棱锥的棱、角以及位置关系的变化.在此基础上,还要研究三棱锥和其截面之间的关系.学生通过观察操作,发现截面形状是三角形或四边形.这些探究都在引导学生初步理解升维和降维的关系.经过这样的教学后,学生的立体几何思维水平从水平2 提升到水平3.

教学片断5 掌握空间几何体中的平行与垂直关系

空间几何体是由生活中三维图形抽象出来的.研究其中的线线、线面、面面之间的平行与垂直关系有助于我们理解现实中的三维空间,解决一些实际问题.这部分的学习以教学片段1 为基础,需要学生推理计算能力逐步达到水平4,即能够判断并证明空间中的位置关系.空间中的平行与垂直证明以平面几何为基础,而多数学生在平面上的推理计算水平在水平2 以上.教师可以先抛出生活情境,结合问题链ⅠV,帮助学生从水平2 或水平3 上升到水平4.

生活情境:小木匠有一块如图6 所示的木料,平面ADC内有一个点P,他要过点P将木块锯开,使截面平行于直线AB和CD,在木块表面应该怎么划线?

图6

显然,这个问题的本质是画出与三棱锥的对棱平行的截面.教学片段1 的问题链Ⅲ中,第4 个问题就是研究三棱锥的截面形状.但由于知识储备不足,学生还不能分析截面的特征以及与其他的线、面之间的位置关系.学过平行和垂直的判断定理和性质定理之后,学生可以进一步研究截面问题.解决本题时,只需过点P作CD的平行线,分别交AC、AD于点M、N,再分别过点M、N作AB的平行线,交BC、BD于点F、E,最后连接EF,则线段EF、FM、MN、NE就是小木匠在木块表面上的划线(见图7).可见,运用线面平行的判定定理就能解决问题.相应的,学生的推理计算能力提升到水平4.教师可以再设计一个问题链进行拓展,引导学生在推理计算能力水平4 的层次上对三棱锥的截面进行多角度研究.

图7

问题链ⅠV

问题1:小木匠画出来的截面EFMN是什么样的四边形? 为什么?

问题2:小木匠画出来的截面EFMN可以是矩形或等腰梯形吗? 若AB=CD,截面可以是菱形吗? 为什么?

问题3:若AB=AC,DB=DC,小木匠过棱AD能够画出一个与BC垂直的截面吗? 为什么? 此时,棱AD和棱BC有怎样的位置关系呢?

问题4:如图8,在三棱锥A-BCD中,截面ADG⊥平面BCD,AB=AC,BG=GC,能判定DG⊥BC,以及BD=CD吗? 为什么?

图8

问题1 中,由平行线分线段成比例定理可得线段MN平行且等于线段EF,从而得到这个截面是平行四边形,且对任意三棱锥都成立.问题2 引导学生探究特殊三棱锥的截面形状.当AB⊥CD时,结合MN//CD,MF//AB可证明MN⊥MF,从而判断截得矩形.由问题1 可知,截面不可能是等腰梯形,有助于纠正学生的错觉.当AB=CD且点M、点N分别是棱AC、棱AD的中点时,MN=从而推出截面是菱形.通过几个系列问题,将这类与对棱平行的截面形状进行了深入探究,并形成图形模式(见图7).问题3 中AB=AC,DB=DC,此时在BC上取中点G,连接AG、DG,由平面几何知识易证AG⊥BC,DG⊥BC,从而BC⊥面ADG.面ADG也就是所求的截面.继续分析可得AD⊥BC(见图8).形如图3 中的特殊三棱锥都有这样的特点.在问题3 的基础上逆向设计问题4,此时,截面ADG与平面BCD垂直,棱BC的中点为点G,反过来研究DG与BC是否垂直,棱DB与棱CD是否相等.两个问题的联结点就是BC⊥面ADG.解决思路:先过点A作AH⊥DE,垂足为点H.由面面垂直易得AH⊥面BCD,从而有AH⊥BC,又由AB=AC,BG=GC可得AG⊥BC,从而BC⊥面ADG,得DG⊥BC,最后推出BD=CD(见图9).

图9

这个问题链研究了图3 中,对棱互相垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、两个相邻面为同底等腰三角形的三棱锥等特殊三棱锥的截面特征,提供了在三棱锥中证明平行、垂直的方法和图式,帮助学生在水平4 的层次上解决与三棱锥相关的平行与垂直问题.

3 教学反思

教师要整体把握高中数学教学体系.高中数学知识是由几个跨年级、跨课时的主题构成的体系,每个主题内部的每节课之间有机关联、由浅入深、符合该年龄段学生的心理特征和认知水平.教师要以核心概念、基本原理和基本图形等为依托,讲透数学观念,帮助学生从低思维水平到高思维水平进阶学习,理解知识间的联系,形成结构化认知体系,进而融会贯通,培养高中数学核心素养.

教师还要理解学生,能够站在学生的思维水平角度确定教学目标、选定教学内容、设计问题链.范希尔思维水平理论引导教师精准定位学生已有的思维水平,分析教学内容所需的思维水平,在此基础上研究消除两者之间差距的教学方法,进而让学生能够适应从低到高的思维跨度,在完善认知体系的同时实现思维水平层次的提升以及核心素养的发展.