图表法在《高等土力学》弹塑性模型教学中的应用

王宗建，王 涵

(1.重庆交通大学 河海学院， 重庆 400074；2.重庆交通大学 土木工程学院， 重庆 400074)

《高等土力学》是岩土工程、交通运输工程、水利工程等硕士研究生重要的基础课程之一，与本科阶段的土力学相比，《高等土力学》的重点是全面深入地研究土的性质、理论和应用。《高等土力学》从更广阔的视野，更深的层次对土的性质进行更全面的研究，运用跨学科的理论和方法处理更复杂的问题[1-4]。在多年的《高等土力学》教学实践中发现，土的弹塑性模型因其抽象的理论、复杂的知识一直困扰着学生，教学效果不是十分理想。在充分了解学生的学习困难后，授课时采用图表的方式针对性的进行课堂创新，帮助学生对知识的理解[5-8]。

1 屈服函数的图形化

在塑性模型中，通过对土的基本特性的认识，在符合土的各种机理的同时，适当选择模型中的函数形状和参数[9-12]，努力用简单易懂的模型表现土的材料特性，让学生容易理解。

如图1所示，由于土在等比应力条件下会发生塑性变形，屈服面在静水压方向上是闭合的曲面。为方便理解，模型中屈服面在二维应力平面上假设是简单的圆形,圆形屈服面的屈服函数：

f=(σx-C)2+(σy-C)2-R2

(1)

此时的屈服曲面f=0为在σx-σy应力空间内以σx=σy=C的点为中心，半径为R的圆。如果应力状态在圆内，塑性变形不会产生。公式(1)中的C和R表示屈服面的位置和大小的数值被称为硬化参数。

图1 二维应力平面上的变形屈服面

2 加载、卸载、中性变载的图形化

教材[13]中对加、卸载等的介绍篇幅较少，课堂中仅靠语言把抽象的理论知识讲解出来学生难以理解，授课时用图形法可以形象地把抽象的知识展现出来达到事半功倍的效率。如图2的A点处于塑性状态(f=0)，下一阶段的应力增量如A→C返回弹性区域的情况下也不会产生塑性变形。为判定这种状况，调查屈服面的法线方向和应力增量方向的内积的正负。

即对于应力增量dσij：

(2)

应力增量部分如图2的A→B朝向屈服面的外侧，被判定为加载状态。

(3)

应力增量部分如图2的A→C朝向屈服面的内侧，被判定为卸载状态。

公式(3)的等号成立时，即应力点在屈服面上的移动，被判定为中性变载状态，此时也不会产生塑性变形。

根据爱因斯坦总和约定，对相同的增量求和，由公式(2)、公式(3)，在应力分量σx、σy二维平面上有：

(4)

2[(σx-C)dσx+(σy-C)dσy]

图2 加载、卸载、中性变载

3 硬化定律的图形化

如图3所示，针对学生难以理解的硬化定律，授课时结合应力-应变关系曲线直观感受土硬化定律的特性。在加载条件下产生塑性变形后，先进行卸载再加载时，发现在初始加载条件下，弹性区域并没有减小，而是扩展到开始卸载时的应力水平[14]。换言之，塑性加载过程中，屈服面随着应力点的移动在扩大和移动，材料在硬化。这是因为屈服函数f中的硬化参数C和R随着塑性变形而增大。决定屈服曲面的扩大、移动(硬化参数的变化)方法的规则称为硬化定律。

如何决定硬化定律是很好地模拟材料特性的关键。例如，在屈服函数(1)中：

C=k(εx+εy)

(5)

体积压缩形变

εv=εx+εy

(6)

公式中圆形屈服面的中心点C向高应力水平移动，形成类似的硬化定律。而将硬化参数与应变量关联起来的关系叫做应变硬化定律。

R=k(dσxεx+dσyεy)

(7)

公式中圆形屈服面的半径R与消耗的能量成比例扩大，这种与工作量相关联的规律被称为加工硬化定律。

硬化定律的另一种分类是：屈服面大小不变，仅在位置上发生变化的称为移动硬化；中心点(中心轴)不变，大小(弹性区域)扩大的称为等方硬化。

材料的塑性变形过程也可认为是材料的硬化过程。塑性变形过程中应力点始终存在于屈服面上，满足屈服条件f=0。屈服面随着应力变化而扩大，但不会出现f>0(应力点向外凸出)的情况。后继屈服面被视为因材料的塑性变形、硬化而变化的屈服面，如图4所示。

图3 塑性变形伴随材料的硬化

图4 塑性变形伴随屈服面的移动、扩大

4 塑性势函数、硬化函数和流动规则

屈服条件f=0

(8)

(9)

在满足上述条件时，应计算应力增量dσij相对的塑性应变增量dεij，dσij和dεij的对应关系被称为流动规则。“流”一词指的是连续体的变形。流动规则公式如下：

(10)

如图5所示，方便学生理解，平行重叠绘制应力空间和应变空间的轴时，曲面g=0中应力点在应力空间内的垂线方向为应变空间内的应变的增量方向，即为正交定律(流动规则)。具有这种性质的函数g被称为塑性势函数，曲面g=0被称为塑性势面。从图5可知，形变的增量方向是dεx与dεy的大小比例，即塑性势函数是规定形变增量的分量大小比例的函数。

图5 塑性势面

塑性势函数应能够适当地表示目标材料的变形特性(如土的定向特性)，一般情况下塑性势函数是与屈服函数相同的函数(g=f)，即为关联流动规则。

塑性势函数g决定应变增量的分量比例，而流动规则(10)中出现的标量函数Λ是规定应变增量大小的函数，被称为硬化函数。在塑性变形加载过程中，屈服函数f总是满足df=0

(11)

将流动规则(10)代入

(12)

因此，硬化函数Λ

(13)

5 用Excel对模型的应力-应变计算

为了具体理解上述的塑性理论，考虑由式(5)、式(6)或图1所示的具有圆形屈服曲面的假想土，试计算应力-应变关系。该模型规定土的变形特性的物性值只有2个。它遵循屈服函数：

f=(σx-C)2+(σy-C)2-R2

(14)

其硬化定律：

C=k(εx+εy)=kεv

(15)

R=const.

(16)

式中k和R是规定土的变形特性的物性值。如图6所示，土的圆形屈服面f=0随着塑性体积形变的发生而产生静水压轴。沿着σx=σy轴表示移动硬化行为。由于圆的半径R保持不变，所以无论变形多大,应力状态都是如图所示的屈服曲面的包络线：

(17)

因此，模型的破坏函数:

F=(σx-σy)2-2R2

(18)

破坏时(F=0)的剪切强度为:

(19)

由此可知，物性值R是土的强度参数。另外，由式(15)可知，硬度越大，相对于相同应变量的硬化程度越大，所以物性值可认为是表示土的硬度(刚性)的参数。

图6 土的移动硬化

在塑性论中，用递增法表示应力-应变关系，而现实情况中应力-应变曲线必须进行数值计算才能具体知道。用Excel来模拟模型土的行为。在示例中，将土的物性值作为默认设置

R=145(kN/m2)

k=1 000(kN/m2)

另外，作为加载条件，首先把土

σx=σy=100(kN/m2)

等方压密后，水平约束应力达到一定值

σx=100(kN/m2)

在保持σx不变的情况下增加垂直应力σy，计算剪切时的行为。为了便于理解，弹性变形为零，只计算塑性变形(刚塑性模型)。

屈服条件、硬化参数、硬化函数、塑性应变增量、塑性应变、平均主应力、剪切应力、体积应变、剪切应变等数据可根据公式(1)、式(4)、式(10)、式(13)求得，具体计算数据在 Excel 表格录入形式如图7所示，分析结果如图8所示。

图7 应力-应变Excel计算表

图8 塑性变形分析图

在Excel中改变R的值，强度特性也会随之变化。另外，当k值变化时，土的应力-应变曲线的斜率(即土的硬度)也随之变化。在Excel中可以自由设定应力路径，尝试模拟土在各种载荷条件下的塑性剪切变形行为。

6 教学实践

在教学中通过PPT课件把屈服函数、屈服面、加卸载、中性变载、硬化定律等抽象的知识通过图文的形式直观地展现出来，帮助学生们理解。根据上述所学的知识理论联系实践，利用Excel便捷的计算绘图功能，方便快捷地把屈服条件、硬化参数、硬化函数、塑性应变增量、塑性应变、平均主应力、剪切应力、体积应变、剪切应变等数据根据公式求得录入Excel表格中，再通过Excel绘出塑性变形分析图让学生们直观地感受土的应力-应变的关系，大大提高了课堂效率。

7 教学效果调查

教学效果调查的对象为我校在校研究生，对学生们的学习情况用问卷星软件进行了解，为保证调查结果的准确性，此次问卷调查为匿名方式，通过本课程学习交流群发布。

调查共收到213份答卷，如图9所示，其中研究生一年级的138份答卷中69.57%的同学认为在创新课程中可以比较轻松学习土的弹塑性模型、21.01%的学生认为一般；而未进行课程创新的其它高年级学生的75份答卷中认为可以轻松学习土的弹塑性模型的仅有16%，68%的同学认为学习时遇到困难，其中困难的原因为概念理解不透、内容太过抽象的人数最多，占71.88%，共46人。

图9 不同的年级学习情况统计

针对“新授课方法是否对你的学习有帮助？”这一提问，提交问卷的研究生一年级的138位同学中86.23%的同学认为本次教学创新有帮助(见图10)，其中大部分的学生也表示提高了自己的课堂学习效率和兴趣。

图10 创新课程对你是否有帮助

8 结 论

从调查问卷结果分析，此次教学创新效果比较显著。课堂中，通过图形法对屈服面、加卸载、硬化定律、流动规则、正交定律等形象的展示，并运用Excel表格法模拟土的应力-应变关系，可以方便学生更容易的理解学习。总结本次教学创新的经验和不足，在今后的教学活动中不断探索，努力提高教学质量。