3-李-Rinehart Color代数的上同调与形变

腾 文, 游泰杰

(1. 贵州师范大学 数学科学学院, 贵阳 550025; 2. 贵州财经大学 数统学院, 贵阳 550025)

Huebschmann[1-4]首次引入了李-Rinehart代数的概念, 并对李-Rinehart代数在李代数胚上的作用进行了系统研究. 李color代数是李代数和李超代数的推广, 目前已有很多研究成果, 例如: Scheunert等[5-6]通过研究李color代数, 得到了PBW定理和Ado定理, 并引入其上同调理论; Chen等[7]研究了李color代数的广义导子结构; Yuan[8]和Abdaoui等[9]相继研究了Hom-李color代数的上同调、 形变及其相关性质； Piontkovski等[10]引入了3维李color代数的上同调理论; 白瑞蒲等[11]引入了3-李-Rinehart代数的概念, 并讨论了其基本结构、 作用和交叉模； Hassine等[12]引入了3-李-Rinehart超代数的概念, 并研究了其上同调和结构. 受上述研究启发, 本文引入3-李-Rinehart color代数的概念, 通过系数模讨论3-李-Rinehart color代数的上同调复形, 并刻画3-李-Rinehart color代数的形变.

1 预备知识

设K是特征为0的代数闭域,R表示有单位元的交换环,+表示所有非负整数集.如无特殊声明, 所有的模均在环R上, 所有的线性映射均指R-线性映射.

定义1[5]设Γ为Abel群, 对于映射ε:Γ×Γ→K*, 如果对任意的α,β,γ∈Γ, 均满足下列等式:

则称ε为Γ的斜对称双特征标.

[x,y,z]=-ε(x,y)[y,x,z], [x,y,z]=-ε(y,z)[x,z,y] (斜ε-对称性),

(1)

定义3设(L,[·,·,·],ε)是3-李color代数,V是Γ-阶化向量空间, 如果偶双线性映射ρ:L∧L→gl(V), 满足对任意的xi∈H(L)(1≤i≤4), 下列等式成立:

则称(V,ρ)为L的一个表示,V为L-模.

定义ad:L∧L→gl(L), adx,y(z)=[x,y,z].由式(2)可见, (L,ad)是3-李color代数的一个表示, 称为L的伴随表示.

2 主要结果

下面讨论3-李-Rinehart color代数的上链复形和上同调, 引入3-李-Rinehart color代数的概念. 进一步讨论3-李-Rinehart color代数的上同调中1-余循环和2-余循环的关系, 并通过上同调理论刻画3-李-Rinehart color代数的形变.

定义4设一个A上的3-李-Rinehart color代数是一个……