机载光电平台的非线性积分滑模控制器设计

张 琰， 张 鹏， 张新勇

(1.光电控制技术重点实验室，河南 洛阳 471000； 2.中国航空工业集团公司洛阳电光设备研究所，河南 洛阳 471000)

0 引言

机载光电稳定平台的主要作用是隔离载机的扰动，使光学设备的视轴具备较高的指向精度并稳定跟踪、定位目标。伺服控制系统是光电稳定平台的主要组成部分，其性能对光电稳定平台的稳定精度起着决定性的作用。在实际运行中，机载光电平台会受到各种干扰，对光学成像、目标定位以及探测距离等都会产生一定的影响。因此，采用先进的控制策略，提升控制系统的性能，是提高光电设备视轴稳定精度的关键技术之一[1]。在跟踪移动速度较快的目标时，对飞机动态性能的要求较高，传统的PID控制难以满足当前的性能需要。目前，飞行员对画面的稳定度要求越来越高，且传感器精度也在逐渐提高，这对瞄准线的稳定精度要求也越来越高，其中，滑模控制算法以其对系统参数变化和各类扰动不敏感的特性，成为了众多学者的研究方向。滑模控制具有鲁棒性好、响应速度快、算法相对简单、易于实现等优点[2]，然而传统滑模具有其固有的抖振问题，运动品质不佳。SASTRY等[3]提出引入边界层的方法，设计了准滑模控制器来减小抖振,使滑模控制在工程中的应用成为可能，但这种方法虽减小了抖振，但破坏了系统结构，鲁棒性差，也会带来较大的稳态误差；CHERN等[4]提出了在滑模面中引入积分项来抑制稳态误差的方法；文献[5-6]在对飞行器姿态和位置控制中引入积分滑模方法，积分项可以补偿模型的不确定性，消除稳态误差，提高抗干扰能力，但在初始误差较大时，积分会产生饱和效应(Windup)、较大的超调和过长的响应时间，甚至会导致系统发散[7]。本文设计了一种非线性积分滑模面，具有“大误差限幅，小误差放大”的特点，降低了超调，加快了响应速度，提高了滑动阶段的性能；又设计了一种变增益的指数型趋近率，提高了趋近阶段的动态品质，减小了抖振。另外，将非线性积分滑模引入干扰观测器以进一步提高系统的抗扰能力，取得了良好的效果。

1 光电稳定平台框架结构特点及问题提出

由俯仰轴和方位轴构成的两轴光电系统稳定平台已经能够满足实际工程的大部分需要，对此类稳定平台的研究已较为成熟，本文对某两轴四框架光电稳定平台进行分析。平台的内框架稳定环执行元件为力矩电机，控制对象为内俯仰框架、内方位框架以及光电载荷，光纤陀螺用来测量惯性速度，光电码盘用来作为框架位置的反馈元件。

1.1 光电稳定平台的控制系统数学模型

机载光电稳定平台各个轴向的稳定环控制方式类似，某两轴四框架稳定平台方位轴向控制系统模型如图1所示。

图1 某轴向控制系统结构框图Fig.1 Structure of an axial control system

图中：wr为控制系统输入的瞄准线角速度参考值；Gc代表速度控制器的传递函数；Kpwm代表功率放大器的电压指令与实际输出电压之间的倍数关系；Gg代表陀螺的传递函数；Kt为电机的转矩系数；L为电机的电枢电感；s是拉普拉斯变换中的一个复变量，也称为复频率；R为电机的电枢电阻；Tl表示负载转矩；Ke为电机的反电动势系数；J为框架的转动惯量；w为系统实际的角速度。可建立电机的数学模型为

(1)

式中:Te为电磁转矩；i表示电机电流；u表示电机的控制电压；ue表示电机的反电动势。

电机的动态方程可写为

(2)

式中,J,L，R,Ke,Kt等参数取值可通过实验测量或查找电机手册得到。

1.2 问题提出

系统的状态方程可以写为

(3)

2 非线性积分滑模控制器设计

滑模控制是一种特殊的非线性控制，它可使系统按照预先设计的滑模面运动[8]。滑模控制器的设计分为两部分：1) 设计一个适合系统的滑模面；2) 设计恰当的控制律，使得系统状态可以从任意初始点在有限时间内稳定到达滑模面。本文将所设计的非线性积分函数引入到滑模面中，并与改进的指数趋近率相结合设计控制律，实现系统状态在有限时间内收敛，且获得较好的稳态与暂态性能。

2.1 非线性积分滑模面的设计

传统的滑模控制方法，其滑模面可表示为

(4)

式中：e为状态变量的误差；系数k1>0。此时,系统输出会产生一定的稳态误差，所以为了减小稳态误差，引入了积分项。

传统的积分滑模算法设计的滑模面形式为

(5)

式中：k1>0;k2>0。积分项可累计状态误差，使系统的状态变量在有限时间内收敛。但在初始状态时，若系统实际的输出角速度与输入的参考角速度存在较大的误差，那么积分项会使滑模面的值突增，产生较大的冲击，导致系统暂态性能恶化[9]。

本文设计的非线性滑模面为

(6)

式中:k1>0;k2>0;g(e)为一种非线性函数，具有“大误差限幅，小误差放大”的特点，本文所设计的g(e)函数式为

(7)

式中：g(e)为单调递增函数；h代表误差e的限幅值。当|e|≥h，即误差较大时，g(e)饱和且限幅于h；而当|e||e|，误差被适当放大，其效果可以有效缩短响应时间，减小超调。当h取0.02时，g(e)的函数图像如图2所示。

图2 g(e)函数曲线图Fig.2 The curve of function g(e)

在工程应用中，可根据实际情况设定参数h，从而调节系统的期望同步误差。

对滑模面求导可得

(8)

结合式(3)，系统的状态方程为

(9)

2.2 改进趋近律的设计与分析

滑模控制由于其固有的开关特性以及元器件的物理惯性，使得系统状态不能一直保持在滑模面上，会发生一定程度的抖振，延长系统收敛时间。而趋近律则直接设定了切换函数在趋近状态的动态性能，因此，可以通过合理地设计趋近律函数来加快收敛速度、减小抖振。经典的等速趋近律趋近速度固定，不能根据距离滑模面的远近灵活变化趋近速度；指数趋近率趋近速度相对较快，但其接近滑模面时产生的抖振较大[10]，因此，本文对指数趋近律进行改进，设计趋近律形式为

(10)

式中:状态变量x=e;γ>0，当滑模面边界层;c>0;k3>0。相当于在指数趋近部分乘以增益η(|e|)，η(|e|)沿着滑模面滑动的过程中不断减小，直到误差为零时稳定在原点。在边界层内，k3η(|e|)总小于初始切换增益k3，有效地减小了抖振。

结合式(9)和式(10)，可得到控制律为

(11)

d未知，进一步得到滑模控制律为

(12)

式中，a>c+D。

稳定性证明。

滑模控制的主要问题是设计一个合理的滑模面和控制律，使系统的状态轨迹能在有限时间内到达滑模面，并保持稳定。因此，设计的滑模面必须具有存在性、可达性以及稳定性的特点。

在实际应用中，系统的初始状态点不一定在滑模面附近，它可能在状态空间的任意位置，所以必须使其能运动到滑模面，否则，系统不能进行滑模运动。

分析滑模运动的稳定性，考虑如下Lyapunov函数

(13)

求导得

(14)

(15)

综上可得，该系统是稳定的，任何跟踪误差都可以在有限时间内趋于零，即满足可达性条件。

3 滑模干扰观测器设计

为了更进一步提高控制系统的抗干扰能力，本文设计了一种滑模干扰观测器，其基本结构如图3所示。

图3 滑模干扰观测器结构图Fig.3 Structure diagram of sliding mode disturbance observer

由电机模型式(1)可得

(16)

也就是

(17)

其中，扰动转矩d在速度环的采样周期内变化很慢，即认为

(18)

(19)

由式(17)～(19)可得

(20)

设计滑模面为

(21)

设计趋近律函数为

(22)

式中，k4为切换增益，k4>0。

f(ew)=cwg(ew)+k4sgn(sw)

(23)

由式(20)、式(21)可得

(24)

由式(24)可得

eT=λ·ek5·t/J

(25)

式中，λ为一个常系数，为使得外部负载扰动的观测误差最终趋近于零，则须满足参数k5<0，且k5的大小决定了观测误差趋近于零的速度。

考虑如下Lyapunov函数

(26)

(27)

4 仿真和实验分析

为了验证本文所设计的基于滑模干扰观测器的非线性积分滑模控制方法的有效性，选用某光电稳定平台的直流电机为执行元件，根据上文的原理阐述与算法推导，利用Matlab/Simulink建立控制系统的仿真模型。本文分别采用传统滑模面、积分滑模面以及非线性积分滑模面进行建模，并对仿真结果进行对比分析。

4.1 阶跃响应

阶跃响应可以在很大程度上反映系统的动态特性，包括系统的超调量、上升时间、调节时间以及稳态误差等。

将幅值为1 rad/s的阶跃信号作为控制系统的输入，通过比较输出信号的超调量(被调量的瞬时最大偏差值与稳态值之比)、上升时间(稳态值的10%上升到90%所需时间)以及调节时间(进入稳态值2%误差带所对应的时刻)分别对使用3种滑模面的控制器进行比较分析。仿真结果如图4所示。

图4 阶跃响应仿真对比曲线及其局部放大图Fig.4 The simulation of step response and the local enlargement

阶跃响应的指标对比如表1所示。

表1 阶跃响应指标对比Table 1 Comparison of step response indexes

由图4可以看出，因为传统的滑模面函数不含有积分项，所以存在一定的稳态误差，且传统滑模的响应速度较慢。线性积分滑模则消除了稳态误差，但由于存在初始误差，所以该算法产生了较大的超调。而非线性积分滑模分别与传统滑模和线性积分滑模相比，既具有线性积分滑模能消除稳态跟踪误差的优点，又具有良好的暂态性能，响应速度快、调节时间短，且无超调。

4.2 抗扰实验仿真

为了验证本文所设计的控制器的抗扰能力，在0.3 s时加入0.1 N·m的恒值干扰，仿真结果如图5所示。

图5 恒值干扰力矩下的角速率输出Fig.5 Angular speed with constant disturbance torque

滑模干扰观测器的扰动观测结果如图6所示。

图6 干扰力矩的观测Fig.6 Observed value of the disturbance torque

从图6可以看出，当系统受到扰动后，观测器能够快速观测并准确跟踪到外部扰动，在约0.03 s内即可达到稳定值。观测值将前馈补偿到速度环中，缩短了瞄准线角速度恢复稳定的时间，增强了控制器对负载扰动的鲁棒性。

在系统零输入的情况下加入振幅为0.01 N·m、频率为2 Hz的正弦干扰力矩，仿真对比分别使用传统滑模面、非线性积分滑模面以及线性积分滑模面时的瞄准线位置偏差，结果如图7所示。

图7 抗干扰能力的比较Fig.7 Anti-disturbance capability of different methods

由于非线性积分函数具有将小误差放大、大误差限幅的作用，使视轴的稳定精度得到了进一步提高。由图7可以得出，在相同的干扰条件下，传统滑模控制的瞄准线稳定精度约为25.78 μrad，线性积分滑模控制的瞄准线稳定精度约为22.55 μrad，而非线性积分滑模控制的系统瞄准线的稳定精度约为18.45 μrad。相较于传统滑模，本文所设计的控制算法在该条件下稳态精度提高了28.43%，使光电稳定平台的稳定精度得到了明显提高。

5 结论

本文分析了光电稳定平台的系统模型，列出了系统的状态方程，针对转速伺服系统，设计了一种非线性积分滑模面，并将设计的滑模面与一种变增益指数趋近率相结合得到控制律函数，提高了系统的动态性能。滑模干扰观测器能够快速跟踪负载扰动，对提高系统鲁棒性与瞄准线稳定精度起到了一定的作用。本文设计的算法不但有效地解决了传统滑模控制中具有的稳态误差的问题，还解决了线性积分滑模中超调较大、调节时间较长以及可能发生的暂态性能恶劣等问题。仿真结果也充分证明了本文所提控制算法与传统滑模、线性积分滑模相比更能够满足机载光电稳定平台伺服系统的高精度控制要求。