广义D4模

王永铎, 徐 鹏

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

在本文中,环R是带有单位元的结合环,M是酉左R-模.A⊆B表示A是B的子模,A⊆⊕M表示A是M的直和项,A≅B表示A和B同构.Ding等[1]提出了C4模的概念.称M是C4模,如果对M的任意直和分解M=A⊕B及任意单同态f:A→B,都有Imf⊆⊕M.证明了环R是半单环当且仅当任两个C4模的直和是C4模.Ding等[2]引入了D4模的概念并把C4模的部分结果对偶地推广到了D4模.称M是D4模,如果对M的任意直和分解M=A⊕B及任意满同态f:A→B,都有Kerf⊆⊕M.证明了环R是半单环当且仅当每个R-模都是D4模.称M是SIP模[3],如果A⊆⊕M,B⊆⊕M,那么A∩B⊆⊕M.Özgur[4]提出了广义SIP模的概念.称M是广义SIP模,如果A⊆⊕M,B⊆⊕M,那么A∩B同构于M的直和项.受此启发本文给出了广义D4模的定义.本文给出了广义D4模的等价刻画和是广义D4模但非D4模的例子,并举例说明了广义D4模的直和未必是广义D4模.称M是SSP模[5],如果A⊆⊕M,B⊆⊕M,那么A+B⊆⊕M.称M是直有限模[6],如果M不同构于自身的真直和项.称M具有内exchange性[7],如果M=⊕i∈IMi是M的内直和分解,N⊆⊕M,那么存在M的子模M′i使得M=(⊕i∈IM′i)⊕N.称M是square-free模[8],如果M的非零子模不同构于A⊕A,其中A⊆M.称M的直和项A和B是一对perspective直和项[9],如果存在C⊆⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.称A是M的完全不变子模[10],如果对于M的任一自同态f:M→M,都有f(A)⊆A.称M是Duo模[11],如果M的每个子模都是M的完全不变子模.称M是D3模[12],如果A⊆⊕M,B⊆⊕M,M=A+B,那么A∩B⊆⊕M.称M是广义D3模,如果A⊆⊕M,B⊆⊕M,M=A+B,那么A∩B同构于M的直和项.

定义1称M是广义D4模,如果对M的任意直和分解M=A⊕B及任意满同态f:A→B,都有Kerf同构于A的直和项.

定理1设M是模.则以下条件等价:

1)M是广义D4模;

2) 如果M=A+B,A⊆⊕M,B⊆M,M/A≅M/B,那么A∩B同构于A的直和项;

3) 如果M=A+B,A⊆⊕M,B⊆⊕M,M/A≅M/B,那么A∩B同构于A的直和项;

4) 如果M=A⊕A′=B⊕B′=A+B=A+B′,那么A∩B同构于A的直和项.

证明1)⟹2) 设M=A+B,A⊆⊕M,B⊆M,M/A≅M/B.现在证明A∩B同构于A的直和项.记M=A⊕N,其中N⊆M,则N≅M/A≅M/B≅(A+B)/B≅A/(A∩B).故存在满同态f:A→N且Kerf=A∩B.由1)可知Kerf同构于A的直和项,即A∩B同构于A的直和项.

2)⟹3) 显然.

3)⟹1) 设M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是满同态.需证Kerf同构于A的直和项.令T={a+f(a):a∈A},首先证明M=T⊕B.设x∈T∩B,则存在a∈A使得x=a+f(a),又因为x∈B,于是存在b∈A使得x=f(b)=a+f(a),f(b)-f(a)=a∈B,而A∩B=0,所以a=0.故T∩B=0.设y∈M,则y=s+t,其中s∈A,t∈B,从而y=s+t=s+f(s)+t-f(s)∈T+B,故M⊆T+B,进而M=T⊕B.类似地可证M=T+A,Kerf=T∩A.又M/T≅B≅M/A,由3)可知A∩T同构于A的直和项,即Kerf同构于A的直和项.

1)⟹4) 设M=A⊕A′=B⊕B′=A+B=A+B′.令πA′:M→A′和πB:M→B是自然投影, 定义f=∶(πA′∘πB)|A:A→A′,易证Kerf=(A∩B)⊕(A∩B′)及Imf=A′,由1)可知Kerf同构于A的直和项.进而A∩B同构于A的直和项.

4)⟹1) 设M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是满同态.令T={a+f(a):a∈A},可以证明M=T⊕B,M=T+A且Kerf=T∩A.由4)可知A∩T同构于A的直和项,即Kerf同构于A的直和项.

例1Z-模M=Z⊕(Z/2Z)是广义D4模,但不是D4模.

证明设f:Z→Z/2Z是满同态.因为Z是主理想整环且Kerf≠0,所以Kerf≅Z.因为Kerf不是Z的直和项，但Kerf≅Z,所以M不是D4模,但M是广义D4模.

称M满足C2条件,如果A⊆⊕M，B⊆M,A≅B,那么B⊆⊕M.

命题1设M满足C2条件.则M是D4模当且仅当M是广义D4模.

证明(⟹) 这是显然的.

(⟸) 设M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是满同态.因为M是广义D4模， 所以Kerf同构于A的直和项.又因为M满足C2条件,所以Kerf是A的直和项,故M是D4模.

命题2设M具有内exchange性.若M是广义D4模,则M是广义D3模.

证明设M是广义D4模,M=A+B且A⊆⊕M,B⊆⊕M.下证A∩B同构于M的直和项.记M=A⊕C=B⊕D,其中C⊆⊕M,D⊆⊕M.因为M具有内exchange性,所以存在B′⊆⊕B及D′⊆⊕D使得M=A⊕B′⊕D′.记A1=A⊕B′,则有M=A1⊕D′=B⊕D,M=A1+B=A1+D.根据定理1,A1∩B同构于A1的直和项,而A1∩B=(A⊕B′)∩B=(A∩B)⊕B′,所以A∩B同构于A1的直和项.又因为A1⊆⊕M,所以A∩B同构于M的直和项.

定理2设M是模.则以下条件等价：

1)M是广义D4模；

2) 如果A和B是M的一对perspective直和项且M=A+B,那么A∩B同构于A的直和项；

3) 如果A和B是M的一对perspective直和项且A+B⊆⊕M,那么A∩B同构于A的直和项.

证明1)⟹2) 设M是广义D4模,A和B是M的一对perspective直和项且M=A+B,则存在C⊆⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.令π:M→C是自然投影使得Kerπ=B,考虑π|A:A→C,因为M=A+B,所以π(A)=C.由于M是广义D4模,所以Kerπ|A=A∩B同构于A的直和项.

2)⟹3) 记A+B=N⊆⊕M,因为A和B是M的一对perspective直和项,所以存在C⊆⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.又因为M=A⊕C=B⊕C=N⊕D=(A+B)⊕D,其中D⊆M,所以N=N∩(A⊕C)=(N∩A)⊕(N∩C)=A⊕(C∩N),类似地有N=B⊕(C∩N),因此可以推出A和B是N的一对perspective直和项且A+B=N⊆⊕M,由2)可知A∩B同构于A的直和项.

3)⟹1) 设M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是满同态,考虑M的子模T={a+f(a):a∈A},可以证明M=T⊕B=A⊕B,所以A和T是M的一对perspective直和项.又M=A+T,Kerf=T∩A,根据3)可知Kerf=T∩A同构于A的直和项,因此M是广义D4模.

定义2设M=A⊕B是M的任一直和分解,C⊆A,D⊆⊕M.称M满足H2条件,如果C≅D,那么有D⊆A或D⊆B.

命题3H2模的直和项也是H2模.

证明设M=A⊕B满足H2条件.下证A满足H2条件.记A=P⊕S,Q⊆P,T⊆⊕A且Q≅T.于是M=P⊕(S⊕B),T⊆⊕M.因为M=A⊕B满足H2条件,所以T⊆P或T⊆S⊕B.又T⊆A=P⊕S,所以T⊆P或T⊆(S⊕B)∩(P⊕S)=S.

例2两个广义D4模的直和未必是广义D4模.设Z-模M=(Z/4Z)⊕(Z/2Z),显然Z/4Z和Z/2Z都是广义D4模,定义映射f:Z/4Z→Z/2Z使f(0+4Z)=0+2Z,f(2+4Z)=0+2Z,f(1+4Z)=1+2Z,f(3+4Z)=1+2Z,易证f是同态.又Kerf不同构于Z/4Z的直和项,所以M不是广义D4模.

定理3设M=⊕i∈IMi是H2模M的内直和分解,且对于任意i∈I,Mi都是广义D4模.若M的任一子模N都有N=⊕i∈I(N∩Mi),则M是广义D4模.

证明设A和B是M的一对perspective直和项且M=A+B,则存在C⊆⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.根据定理2，只需证明A∩B同构于A的直和项.由假设可知A=⊕i∈I(A∩Mi),B=⊕i∈I(B∩Mi),C=⊕i∈I(C∩Mi).又因为M=A⊕C=B⊕C,所以M=⊕i∈I[(A∩Mi)⊕(C∩Mi)]=⊕i∈I[(B∩Mi)⊕(C∩Mi)].根据Mi=Mi∩M可以进一步得到Mi=(A∩Mi)⊕(C∩Mi)=(B∩Mi)⊕(C∩Mi).另一方面， 因为M=A+B,所以M=⊕i∈I[(A∩Mi)+(B∩Mi)],Mi=(A∩Mi)+(B∩Mi).因为A∩Mi和B∩Mi是Mi的一对perspective直和项且Mi=(A∩Mi)+(B∩Mi),Mi是广义D4模,根据定理2可知(A∩Mi)∩(B∩Mi)同构于A∩Mi的直和项.又因为A∩B=[⊕i∈I(A∩Mi)]∩[⊕i∈I(B∩Mi)]=⊕i∈I[(A∩Mi)∩(B∩Mi)],所以A∩B同构于⊕i∈I(A∩Mi)=A的直和项.根据定理2即可证M是广义D4模.

推论1设Duo模M=⊕i∈IMi满足H2条件.若对于任意i∈I,Mi是广义D4模,则M是广义D4模.

证明如果M是Duo模,由文献[11]中的引理2.1可知对于M的任一子模N都有N=⊕i∈I(N∩Mi),由定理3可知M是广义D4模.

命题4设M满足H2条件.则以下两个条件等价：

1)M是广义D4模；

2) 如果M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是同态且Imf⊆⊕B,那么Kerf同构于A的直和项.

证明2)⟹1) 显然.

1)⟹2) 设M=A⊕B,A⊆M,B⊆M,f:A→B是同态且Imf⊆⊕B.记B=B1⊕Imf,其中B1⊆B,则M=A⊕B=A⊕B1⊕Imf.令π：A⊕B1→A是自然投影,则f∘π:A⊕B1→Imf是满同态且Ker(f∘π)=B1⊕Kerf,根据条件1),B1⊕Kerf同构于A⊕B1的直和项N.根据命题3,A⊕B1也满足H2条件.记g:B1⊕Kerf→N是同构,易证N=g(B1)⊕g(Kerf).因为Kerf⊆A,g(Kerf)⊆⊕N⊆⊕A⊕B1,所以g(Kerf)⊆A或g(Kerf)⊆B1.如果g(Kerf)⊆A,那么得证.如果g(Kerf)⊆B1且g(Kerf)≠0,因为g(Kerf)∩g(B1)=0且g(B1)⊆A或g(B1)⊆B1,所以g(B1)⊆A.又因为g(Kerf)⊆⊕A⊕B1,B1⊆⊕A⊕B1,所以g(Kerf)⊆⊕B1.考虑到g(Kerf)⊆⊕B1≅g(B1)⊆⊕A且Kerf≅g(Kerf),所以Kerf同构于A的直和项.若g(Kerf)⊆B1且g(Kerf)=0,则Kerf=0,进而Kerf同构于A的平凡直和项0.

定义3称广义D4模M是强广义D4模如果M满足H2条件.

命题5强广义D4模的直和项也是强广义D4模.

证明设M是强广义D4模,K⊆⊕M.只需证若K=A⊕B且f:A→B是满同态,则Kerf同构于A的直和项.记M=K⊕L=A⊕B⊕L,其中L⊆M,令π：A⊕L→A是自然投影,则f∘π:A⊕L→B是满同态.因为M是强广义D4模,所以Ker(f∘π)=Kerf⊕L同构于A⊕L的直和项N.根据命题3,A⊕L也满足H2条件.记g:Kerf⊕L→N是同构,易证N=g(Kerf)⊕g(L).因为Kerf⊆A,g(Kerf)⊆⊕N⊆⊕A⊕L,所以g(Kerf)⊆A或g(Kerf)⊆L.若g(Kerf)⊆A,得证.若g(Kerf)⊆L,因为g(Kerf)∩g(L)=0且g(L)⊆A或g(L)⊆L,所以g(L)⊆A.又因为g(Kerf)⊆⊕A⊕L,L⊆A⊕L,所以g(Kerf)⊆⊕L.考虑到g(Kerf)⊆⊕L≅g(L)⊆⊕A且Kerf≅g(Kerf),所以Kerf同构于A的直和项.

命题6设M是强广义D4模.则有

1) 如果M的子模A和B满足A+B⊆⊕M,A⊆⊕M,M/A≅M/B,那么A∩B同构于M的直和项；

2) 如果M的直和项A和B满足A+B⊆⊕M,A≅B,那么A∩B同构于M的直和项.

证明1) 设M的子模A和B满足A+B⊆⊕M,A⊆⊕M,α：M/A→M/B是同构,记M=A⊕Y=(A+B)⊕X,其中X⊆M,Y⊆M.考虑自然满同态π：M→M/(A∩B),易得Kerπ=A∩B.定义映射f:M/(A∩B)→M/B为f(m+(A∩B))=m+B,其中m∈M,易证f是同态.现令β：M/A→Y是同构,g=β∘α∘f∘π|A.又因为f(A/(A∩B))=(A+B)/B⊆⊕M/B,所以Img⊆⊕Y.又因为Kerπ=A∩B,根据命题4可知A∩B同构于A的直和项,所以A∩B同构于M的直和项.

2) 设M的直和项A和B满足A+B⊆⊕M,α：A→B是同构.记M=A⊕A′,其中A′⊆M,π:M→M/A是自然满同态,β：M/A→A′是同构,f=β∘π|B∘α.因为A+B⊆⊕M且Imf=β((A+B)/A),所以Imf⊆⊕A′.又因为Kerf=α-1(A∩B),根据命题4可知α-1(A∩B)同构于A的直和项,进一步地有A∩B同构于A的直和项,所以A∩B同构于M的直和项.

定义4称模M满足H1条件,如果A⊆M,B⊆M且A≅B,那么M/A≅M/B.称广义D4模M是拟D4模如果M满足H1和H2条件.

命题7H1模的直和项是H1模.

证明设M是H1模,M=A⊕B,S⊆A,T⊆A且S≅T.只需证明A/S≅A/T.因为M满足H1条件,所以M/S≅M/T.又因为M/S=(A⊕B)/S≅(A/S)⊕B,M/T=(A⊕B)/T≅(A/T)⊕B,所以(A/S)⊕B≅(A/T)⊕B,即A/S≅A/T.

例3作为Z-模Z是强广义D4模且是D4模,但不是拟D4模.

证明显然Z是D4模,故也是广义D4模.因为Z不存在非平凡直和分解,所以Z满足H2条件.因为2Z⊆Z,4Z⊆Z且2Z≅4Z但Z/4Z与Z/2Z不同构,所以Z不满足H1条件,故Z不是拟D4模.

命题8设M=A⊕B是拟D4模,f:A→B和g:B→A是两个满同态.

1) 若A或B是直有限模,则A≅B；

2) 若A或B是square-free模,则A≅B.

证明1) 不妨设B是直有限模.因为M=A⊕B是拟D4模,f:A→B是满同态,所以Kerf≅T⊆⊕A.记A=T⊕S,因为M=A⊕B满足H1条件,所以A/Kerf≅A/T≅S≅B.因为B⊕S⊆⊕M,所以B⊕S也是拟D4模.令π：A→S是自然投影,则π∘g:B→S是满同态,所以Ker(π∘g)同构于B的直和项N,其中B=N⊕Q,Q⊆B.又因为B≅S≅B/Ker(π∘g)≅B/N,而B是直有限模,所以N=0即Ker(π∘g)=0.因为Kerg⊆Ker(π∘g),所以Kerg=0即g:B→A是同构.

2) 不妨设A是square-free模.因为M=A⊕B是拟D4模,f:A→B是满同态,所以Kerf≅T⊆⊕A,记A=T⊕S,因为M=A⊕B满足H1条件,所以A/Kerf≅A/T≅S≅B.因为B⊕T⊆⊕M,所以B⊕T也是拟D4模.令π：A→T是自然投影,则π∘g:B→T是满同态,所以Ker(π∘g)同构于B的直和项N,其中B=N⊕Q,Q⊆B.于是有T≅B/Ker(π∘g)≅B/N≅Q≅Kerf.令η：B→Q是自然投影,因为S⊕Q⊆⊕M,所以S⊕Q是拟D4模.考虑满同态η∘ρ:S→Q,其中ρ:S→B是同构,则Ker(η∘ρ)同构于S的直和项E,记为S=E⊕F,其中F⊆S.因为S⊕Q是拟D4模,所以Q≅S/Ker(η∘ρ)≅S/E≅F.因为A=T⊕S=T⊕E⊕F,T≅Q≅F,而A是square-free模,所以T=F=Kerf=0,即f:A→B是同构.