基于交流调功电路的有源滤波器PI-PR-重复前馈控制算法

立梓辰，张延迟，李硕，陈洋，解大

(1. 上海电机学院，上海 200120； 2. 上海交通大学，上海 200240)

0 引 言

高加工精度的工业用电现场需要精确控制电源系统的输出功率，但是又不必频繁控制每个交流周期时，一般采用的是交流调功电路[1]。交流调功电路通常与典型的冲击性负荷连接使用[2]，这种电路与负载在设备启停的短暂过程中产生冲击性电流，会导致变压器饱和等问题，同时产生大量谐波，影响周围设备的电能质量[3-4]。

目前对于具有间歇性的冲击性负荷的无功补偿，一般使用高精度、大功率的设备来进行治理，对此已有较多的研究[5-8]，这些研究从控制算法、装置研制和拓扑结构等几个方面进行了有益的探讨。文献[5]针对SVG无功补偿的精度不高的问题，提出了一种混合重复PI和电网电压的前馈控制的控制策略；文献[6]研究三角形连接级联H桥多级SVG的不平衡补偿，推导出不平衡协调能力与其他影响因素之间的定量关系，得到了三角形连接SVG在不平衡条件下的有效补偿范围；文献[7]针对有源功率补偿问题，提出了一种新型SVC与HAPF三相电压并联补偿结构和控制方法；文献[8]针对高额定功率系统的混合APF拓扑成本高和体积大的问题，提出一种新型的三相SAPF四开关VSI拓扑结构。

而在面向具有冲击性特点的谐波源时，兼具快速动态响应速度和高稳态精度的APF就显得尤为重要，研究主要从检测算法、控制策略和拓扑结构等三个方面进行[9-12]。文献[9]提出一种瞬时电压矢量定向的补偿电流检测方法，解决了传统治理方法在电网电压畸变时补偿电流不能跟随电网电压波形的问题；文献[10]针对APF稳态精度和动态响应不高的问题，提出了基于单同步旋转框架的快速重复控制策略；文献[11]分析非线性负载电流谐波分量的剧烈变化，提出一种基于CTEC算法的电流跟踪误差补偿方法；文献[12]提出一种基于直接交交变换技术的APF，结合改进的滑窗离散傅里叶变换法以及对称分量法，实现了对三相电网各次谐波的各序分量的独立的快速检测。以上的研究虽然对于治理设备的补偿能力以及APF的动态响应速度和稳态精度进行了有效的改进，但由于带冲击性负荷的交流调功电路除了本身会产生谐波，还存在具有频繁冲击性的电流需要补偿，这就需要具有谐波补偿和有功平滑功能双重能力的装置进行治理，并且在负载突变时对装置内部直流侧电压进行快速精准控制，这方面的研究目前相对较少。

目前已有文献[13-19]基于PI-重复控制在控制算法、特殊应用进行改进。文献[13]为了提高重复控制的速度，提出一种只补偿奇数次谐波的控制策略，但不能补偿偶数次谐波以及整数次谐波；文献[14]采用基于拉格朗日插值的有限脉冲响应滤波器，提出一种多速率分数阶重复控制算法；文献[15-21]采用PI-重复控制算法来提高系统补偿性能；文献[22-23]针对电网的频率、电压和谐波电流会随着电网的扰动而迅速变化的问题，采用重复控制回路和采样率固定的FD滤波器组成一种带谐波校正环的快速重复控制。以上文献对于PI-重复控制的改进虽然对系统补偿性能有所提升，但是都是在整数次谐波的环境下进行改进，缺少对分数次谐波的改进措施。

本文主要提出并解决了以下的问题：(1)将冲击性负荷与交流调功电路进行综合分析，基于其产生的冲击性电流和谐波分析结果，建立了针对此种特殊负荷的治理模型。(2)提出了一种适用于间歇性冲击电流治理的三相并联型有源电力滤波器的改进PI-PR-重复反馈控制算法。

文中首先从交流调功电路的谐波分析和冲击性电流的分析计算介绍了带冲击性负荷交流调功电路的特性。然后针对带冲击性负荷交流调功电路的特性的分析改进传统的治理方法，采用PI-重复控制的控制方法，提高APF的精准快速跟踪的能力。文中进行了仿真和实验验证，研究了改进的PI-PR-重复前馈控制算法的APF针对不同运行工况的补偿情况，分析了采用新算法的APF的性能。

1 交流调功电路工作特性分析

1.1 交流调功电路的工作原理

交流调功电路以交流电源的基波周期数为单位控制晶闸管的开断的时间，用给定周期内负载与电源接通的占空比来调节输出功率的平均值。单相交流调功电路原理如图1(a)所示，其中US是交流电压源，VT1、VT2为晶闸管，R为电阻，L为电感，Uo为负载R上的电压，i为负载电流。交流调功电路负载电流如图1(b)所示，其中电源周期为TS，交流调功电路的工作周期为M个电源周期，即T=MTS，向负载供电的时间为N个电源周期，不供电的时间为M-N个电源周期。

图1 交流调功电路示意图Fig.1 Schematic diagram of AC power-regulating circuit

输出电压有效值为：

(1)

式中Us为电源电压有效值；Uo为输出电压有效值；D为占空比。

负载上的平均功率Po为：

(2)

式中Pmax为负载最大平均输出功率，即在交流调功电路的整个周期内都向负载供电时负载得到的平均输出功率；D2Pmax是在T周期内负载得到的平均输出功率；I为电流有效值；cosφ为功率因数。当D=0时，Po=0；当D=1时，Po=Pmax。通过调节D的大小，即N与M的比值可以改变功率的大小。

1.2 交流调功电路的谐波分析

假设在一个工作周期内，电源工作频率为fs，交流调功电路的周期为M个电源周期，导通周期为N个电源周期，以电源电压的过零处为起点，选取T=M/fS为一个工作周期，则ω=2πfS/M。此时负载电流波形如图1(b)所示，负载电流i(t)的表达式为式(3)，Imax是负载电流最大值。

(3)

当自变量为ωt时，式(3)可化为：

(4)

对式(4)进行傅里叶分解得到式(5)～式(8)，其中n是以电源频率为基频的谐波次数：

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

当n=M时，

(9)

此时i(ωt)为交流电源分量。

当n=kM(k=2,3,4…)时，

(10)

当n≠M,kM时，

(11)

由式(9)、式(10)可知，谐波次数为交流电源周期T的整数倍时，谐波分量都为0。由式(11)可得，谐波次数不为交流电源周期T的整数倍时，谐波分量恒不为0。因此，交流调功电路的谐波成分不是电源频率的整数倍，皆为分数次谐波。

由式(11)可得：

(12)

谐波含量h为：

(13)

设n=xM，则谐波含量：

(14)

由此可得，当x>1时，h(x)<0，由此可得交流调功电路的谐波含量都为分数次谐波，且多在50 Hz以内。

1.3 冲击电流分析

交流调功电路在改变占空比时切换晶闸管开关开合状态，在有电感存在的负载中，在开关切入的瞬间会产生冲击电流ia。

晶闸管闭合前，电路处于断态，此时交流调功电路回路电流为0，其零状态电流is为：

is=0

(15)

当交流调功电路工作时，假设在t=0时导通，电流瞬时值应满足如下微分方程：

(16)

稳态电流ip为：

ip=Imsin(ωt+φ1)

(17)

其中：

式(16)的通解对应齐次方程(18)的解：

(18)

冲击电流的自由分量iaa，按指数规律衰减：

(19)

电流ia表达式为：

(20)

在含有电感的电路中，通过电感的电流不能突变，即闭合前后的电流值相等：

is=0=ia(0)=Imsinφ1+C

(21)

所以：

C=-Imsinφ1

(22)

冲击电流ia为：

(23)

由于冲击电流的最大瞬时值在电路导通后半个周期出现，所以最大冲击电流瞬时值iM为：

(24)

也可求得冲击电流ia的有效值，它是以时刻t为中心的一个周期内瞬时电流的均方根值：

(25)

2 改进PI-重复控制算法设计

通过以上对带冲击性负荷的交流调功电路的分析，发现其负荷特性具有周期性和突变性，且谐波次数多为50 Hz内的分数次谐波。而常规的电力有源滤波器所采用的PI控制对这种负荷的补偿作用有限，无法实现动态无静差跟踪。为此本文将PI控制和重复控制组成的算法应用到有源滤波器的控制算法中，并对PI-重复控制算法进行改进，加入PR和前馈控制，可以应对这种带有冲击性负荷的交流调功电路对电网的冲击。

2.1 重复控制

内模原理指出：若要求反馈控制系统具有良好的指令跟踪及抵消扰动影响的能力，并使这种对误差的调节过程结构是稳定的，则在反馈控制环路内部必须包含一个描述外部特性的数学模型，该数学模型就是所谓的“内模”。

重复控制基于内模原理，即把系统外部信号的动力学模型植入控制器以构成高精度的反馈控制系统，这样可以实现对输入信号的无静差跟踪。重复控制可以为每个谐波信号提供高增益，适用于周期信号跟踪和抗干扰问题的处理。

图2为重复控制系统示意图，图中r为输入信号，y为输出信号，e为误差信号，Z-m为周期延迟环节，m为一个重复控制周期环内的采样次数，P(z)为控制对象，Q(z)为辅助补偿器，S(z)为校正器，主要针对控制对象的高频衰减特性，提高系统的稳定性及抗干扰能力。

图2 重复控制框图Fig.2 Repetitive control block diagram

根据图2得出重复控制的传递函数为：

(26)

由式(26)和图2可以看出，无论什么输入信号e，只要周期性重复出现，则输出ur就是对该信号的重复性累加。即使输入信号为0，输出信号还是会重复上一个周期相同的信号。

2.2 改进PI-PR-重复前馈控制

PI控制具有较快的响应速度，可以对跟踪误差立即起到调节作用，但是跟踪精度不高。重复控制具有几乎静态无误差跟踪正弦信号的优点，且输出失真小，但存在动态响应慢的问题。为此文中提出了一种基于PI控制和重复控制的改进控制策略，以保证APF在治理带冲击性负荷的交流调功电路时具有较快的动态响应速度。

由于重复控制延迟一个周期补偿，文中将iref与i*的差前馈到PI控制前，提升系统响应速度。

设APF的调制深度H、APF直流侧电压Udc以及电网电压的峰值Um之间的关系为：

(27)

由式(27)可知，当直流侧电压Udc和电网电压的峰值Um一定时，调制深度随着APF输出电流变化。而由于交流调功电路的负载具有突变性，对于重复控制影响不大，但是负载导通时会产生冲击性电流，会造成直流侧电压突变，故本系统加上电网电压的前馈控制，维持直流侧电压稳定，消除电网电压扰动。

针对文中分析带冲击性负荷的交流调功电路谐波特性，采用PR控制对50 Hz以内的分数次谐波进行无静差跟踪，如图3(a)所示。

图3 系统控制框图Fig.3 System control block diagram

PR控制器的传递函数GPR：

(28)

式中KP为比例控制的增益；M和ω的物理意义同上1.2节。由式(28)可知，PR在谐振频率处增益无限大，而在非谐振频率点处增益很小，PR控制器的组数由M确定，M值可以在APF中作为设置参数进行整定。当M确定后，PR可以对特定次的信号进行无静差跟踪。

由于PI-重复控制会在中高频处存在相位偏移的阶段，这对于系统稳定存在影响，文中在系统中加入一拍延迟环节，在3.4节进行分析。

由图3(b)改进PI-PR-重复前馈控制框图可得系统误差e(z)：

(29)

同时可得：

(30)

将式(26)、式(29)、式(30)相结合，可得：

e(z)=

(31)

式(31)的特征方程为：

1-Z-mQ(z)+[1-Z-mQ(z)+Z-mKrZkS(z)](GPI+GPR)GVSI=0

(32)

为使系统保持稳定，必须保证特征方程的根在单位圆内，于是需要考虑重复控制器的参数设定。

重复控制器的参数设计：

(1)周期延迟系数m

APF的开关频率fs设为10 kHz，电网系统的基波频率f是50 Hz，于是m计算公式为：

(33)

(2)辅助补偿器Q(z)

Q(z)的目的是提高系统的稳定性。Q(z)=1时，系统可对于输入信号进行无静差追踪，但这种情况下系统处于临界稳定状态。通常情况下，Q(z)为小于1的常数，Q(z)越接近1，内模越接近于纯积分。经过仿真测试，选择0.98。

(3)校正器S(z)

如需对30次以下谐波进行很好的补偿，S(z)的截止频率不能低于30次谐波，取截止频率fc=2 700 Hz。得到S(z)传递函数为：

(34)

(4)重复控制器增益Kr

重复控制器的增益Kr是为了保证系统在中高频段的稳定性，一般情况下取1。

(5)相位补偿Zk

Zk为超k前拍相位校正环节，用于补偿数字控制器带来的时间延迟，超前4拍进行调整。

2.3 采用改进PI-PR-重复前馈控制算法的APF

图4 改进PI-PR-重复前馈控制的APF框图Fig.4 APF block diagram with improved PI-PR-repeat feed-forward control

在谐波电流检测环节，电网电压相位θ由锁相环和正余弦发生器计算，谐波电流检测负载侧的电流信号iL，分解到直角坐标系上为ix和iy，由Park变换可得有功电流id和无功电流iq为：

(35)

(36)

(37)

(38)

从而补偿负载电流中的谐波。

3 仿真与实验

3.1 交流调功电路仿真

对图1(a)所示的交流调功电路进行仿真分析，仿真中控制交流调功电路周期为5个电源周期的定周期，即额定工作频率为10 Hz，负载由大电感和电阻组成，仿真和系统参数如表1所示。

表1 交流调功电路基本参数Tab.1 Basic parameters of AC power-regulating circuit

在实际运行中，电源向负载供电的功率情况较为复杂，这里分别观察用晶闸管控制电路导通3个周期、断开2个周期的情况，以及导通1个周期、断开4个周期的情况，电源侧电流的波形变化分别如图5(a)和5(b)所示。从电源侧电流仿真结果图中可以看出，在第一个周期内，电流的直流分量表现的最为明显，而在第二周期和第三周期时，电流波形逐渐接近正弦波，说明电流中的直流分量趋于0。

对负载电流的FFT分析如图5(a)所示，网侧THD为34.87%，直流分量12.31%，可见带有冲击性负荷的交流调功电路中谐波分量和直流分量都很严重，并且从谐波分布可以发现谐波含量高的频率集中在0～100 Hz之间，不是电源频率50 Hz的整数倍，而谐波次数为50 Hz的整数倍时，谐波分量都为0，说明谐波成分皆为分数次谐波。

交流调功电路输出小功率的工作状况如图5(b)所示，此时电路只导通一个周期，THD为81.19%，直流分量为35%。对比图5(a)和图5(b)不难发现，功率大小虽然会影响分数次谐波的含量和电流畸变率， 但通过计算发现直流分量大小变化却不大，说明第一周期的直流分量含量最多，并随着时间推移快速减少至0。

图5 交流调功电路仿真结果Fig.5 Simulation results of AC power-regulating circuit

3.2 改进PI-PR-重复前馈控制的APF仿真

改进PI-PR-重复前馈控制的APF控制框图如图4所示，其中APF主拓扑为两电平电压型逆变电路，其参数如表2所示。

表2 改进PI-PR-重复前馈控制APF的参数Tab.2 Parameters of the improved PI-PR-repeat feed-forward control APF

改进的APF采用PI-PR-重复前馈控制实现无静差追踪，实时检测有源滤波器的谐波和无功，通过SVPWM控制策略对网侧电流进行补偿。

比较PI-重复控制和改进PI-PR-重复前馈控制仿真结果对比如图6所示。其中图6包括系统电压、负荷电流、APF输出电流、系统总电流和直流母线电压五个波形，以及对系统总电流FFT的分析结果。

图6 改进前后APF补偿调功电路的仿真结果Fig.6 Simulation results of APF compensation circuit before and after improvement

采用PI-重复控制的APF补偿调功电路大功率负载的仿真结果如图6(a)所示，此时调功电路的M=5，N=3。系统电流含有冲击性的电流，冲击电流有效值为467 A，且直流侧电压有较大波动，对系统电流进行FFT后发现50 Hz以内分数次谐波仍旧存在，THD为26.77%。相同情况下，改进PI-PR-重复前馈控制APF补偿的对比仿真结果如图6(b)所示，从系统电压可以看出电网电压很稳定，不受负载变化的影响，补偿后电流有效值318 A，波形明显优于PI重复控制算法。对比负荷电流和APF输出电流可以看出，APF补偿电流恰好弥补了负载电流的波形缺失部分，系统电流的波形验证了这一点以及新算法的有效性。直流母线电压在700 V左右波动并维持稳定，APF可以正常运行。对系统电流进行FFT的结果可以看出电流直流分量为0，THD减少到3.06%。

采用新算法的APF对调功电路带小功率的负载进行补偿的仿真结果如图6(c)所示，此时M=5，N=1。从负荷电流可以看出在小功率负载的情况下，负载波形缺失更加严重，对APF补偿能力的要求也更高；从系统电流的波形可以很容易的发现改进的PI-PR-重复控制算法对于此种情况依然可以很好地进行追踪。此时，直流母线电压稳定在800 V并维持稳定，补偿后系统电流的THD为4.65%。

3.3 功率调节变化的仿真

前面的仿真结果表明，改进的PI-PR-重复控制算法可以应对不同功率的冲击负荷，以下考虑负荷变化的情况。

调功电路在调节功率的过程中，调功电路的输出不再是重复性周期函数，为此对改进PI-PR-重复前馈控制APF补偿在功率变化的情况进行了仿真，如图7(a)所示，总周期M= 5不变，调功电路的导通周期由N= 1逐渐增大到导通周期N= 4的过程。此时，负载电流逐渐增大，功率也随之增大。图7(b)为补偿后的系统电流，图7(c)为FFT结果，THD为4.71%，说明在调功电路功率变化时，改进PI-PR-重复前馈控制依然具有优秀的补偿效果。

图7 交流调功电路功率变化过程仿真Fig.7 Simulation of power increasing process of AC power-regulating circuit

3.4 改进PI-PR-重复前馈控制APF的算法稳定性

由2.2节图2重复控制框图可得重复控制传递函数Grepeat为：

(39)

可求得重复控制系统误差erepeat：

erepeat=r-ur=r-urP(z)

(40)

将式(37)带入式(38)可得误差方程：

(41)

因此重复控制系统的特征方程为：

1-Z-mQ(z)+Z-mKrZkS(z)(GPI+GPR)GVSI=0

(42)

由式(29)和式(31)可以得知改进PI-PR-重复前馈控制的传递函数GA为：

GA(z)=

(43)

系统传递函数GA的伯德图如图8(b)所示，在0～400 Hz之间曲线拟合度精度很高，因此在中低频阶段会有较好的零相移、单位增益特性，而在高频段，幅值补偿快速下降到10 dB以下维持系统稳定。证明了改进PI-PR-重复前馈控制算法的稳定性，能够实现对谐波的无静差跟踪，整个系统显示了较好的谐波补偿效果。

图8 PI-重复控制改进前后的传递函数伯德图Fig.8 Bode diagram of transfer function before and after the improvement of PI-repeat control

3.5 现场运行测试

为了验证改进PI-PR-重复前馈控制APF的有效性，将其投入实际现场进行运行测试，现场为容量500 kW的加热装置。现场工况如表3所示。

表3 现场工况Tab.3 Field operation conditions

现场实际工况的工作电压为220 V，首先测量电网侧的电压和电流波形，然后测量APF输出补偿电流与加热装置工作电压。

改进的APF设备投入现场运行测试结果如图9所示，图9(a)是加热装置运行功率为403.8 kW时系统A相电压电流波形，图9(b)为加热装置的工作电压波形以及APF工作时输出电流波形。

图9 现场实际运行结果Fig.9 Actual operation results on site

由图9(a)可知在系统电压220 V时，系统电流为611.8 A，补偿后电流畸变程度很小，在加热装置处于关闭状态时，即图9(b)中负载电压为零的情况下，APF输出电流波形快速升高实施补偿，以保持系统电流的正弦，补偿后的系统电流THD为3.26%，与预期结果相符。现场实际运行结果说明本文提出的PI-PR-重复前馈控制算法具有良好的补偿效果。

4 结束语

文章研究了带冲击性负荷的交流调功电路的电能质量问题，提出了改进的PI-PR-重复前馈控制算法APF进行谐波补偿，主要结论如下：

(1)文章建立了带冲击性负荷的交流调功电路的模型，理论分析并仿真验证了它的谐波成分皆为50 Hz内的分数次谐波，并且电流具有突变性和周期性。通过比较两个输出功率不同的交流调功电路的电流波形发现，直流分量在第一周期含量最多且在周期结束时快速下降；

(2)文章提出的改进PI-PR-重复前馈控制算法的APF可以应对此类负荷时，可以满足不同功率及功率变化的工况，补偿后THD降低至5%以下，现场实验证实了所述结论。