初中数学教学中数形结合思想的应用研究

王 琛

（甘肃省陇南市武都区安化初级中学，甘肃 陇南）

初中数学课堂教学中数形结合思想有效应用的价值如下：其一，激活学生的数学思维，将数与形关联在一起，用直观的图形诠释抽象的数量关系，使数学知识更加通俗易懂，利于提高数学学习效率；其二，丰富解题方法，培育学生的解题能力，使学生能利用数形结合思想解决几何问题、函数问题、方程与不等式问题、分数应用等问题；其三，为使数形结合思想应用效果更优，教师要改进授课对策，将理论知识与图形、数字联系起来，使学生能在数学课上全面发展，达到提高数学教学质量的目的。基于此，为助推初中数学教学活动稳健发展，研究数形结合思想应用方略显得尤为重要。

一、初中数学教学中数形结合思想应用的要点

（一）以数化形

数与形可以构成对应关系，因为有些数量关系较为抽象，所以用图形呈现更易于理解，在直观展现数量关系的基础上解决具体问题。在解析问题的过程中会依据数量关系得出特定的结构或关联，这就可以将问题转变成图形并加以分析。如题：汽车鸣笛后每秒行进速度为15 m并向远离山区的方向行驶，鸣笛2秒后可以听到回声，此时汽车距离高山多远？在解决此问题时可将数量关系转变成线段，汽车行驶路线可用线段B-C表示，声音行进路线可用线段B-A-C表示，A点为高山，B点为汽车鸣笛的起点位置，C点为汽车行驶的终点，在此基础上进行计算可得到结果。

（二）以形变数

在解决数学问题的过程中图形具有直观的特点，但定量分析离不开数量关系，不仅要画出图形，还要发现图形中的隐藏条件，在此基础上分析计算。如题：如图1所示，长方形ABCD中有6个大小相同的长方形，请根据图1中标明的数量关系算出阴影部分的面积。通过观察分析，学生可将小长方形的边长设为x、宽设为y，依据几何图形等量关系可列出方程组：x+3y=14；x+y=2y+6，在此基础上计算得出结果。解决此问题需要学生观察图形并发现隐藏的数量关系，继而达到以形变数的解题目的。

图1 求解阴影部分面积

（三）形数互变

数形互变主要是指在数与形相互转化的过程中解决具体问题，不仅可用图形直观地表示数，还能用数解析图形中的各种关系，继而将以数化形及以形变数思想融合在一起，达到简化数学问题及多思路解题的目的。如题：已知含有x的不等式组此不等式组有4个整数解，求a的取值范围。通过审题学生可得出下图（图2），通过观察图2可以得到结论。需要注意的是，有些图形与数字可以相互转换，学生要将解决具体问题视为二者互换的先决条件，发挥数形互变的优势，使学生的解题效率随之提高[1]。

图2 数形互换

二、初中数学教学中数形结合思想应用的原则

（一）教材为基

为使数形结合思想能成为学生掌握数学知识的有效举措，教师要根据教材运用该思想，确保学生能通过数形结合提升数学素养。例如，教师在进行“统计调查”教学时可率先为学生展示一个条形统计图（见图3），在此基础上鼓励学生分析统计图中的数据及其内涵，其目的是培养学生的数据整理能力，能发现图形中的数量关系，还可助力学生了解调查统计的概念，在此基础上用图3启发学生创绘扇形统计图，使学生能应用数形结合思想解决数学问题，同时提升初中数学理论知识讲解的水平。

图3 条形统计图

（二）育人为本

新课标将学生分成若干学段，主要源于各个学段的学生存在能力上的差距，加之知识储备各异，需要教师区别对待，保障教学设计科学合理，能利用数形结合思想提高教育质量。例如，教师在进行“勾股定理”教学时，因为学生对数形结合思想已经有所了解，所以教师可利用该思想创设例题，引领学生独立思考并探索勾股定理内涵，使数形结合思想可与学生的认知体系、解题方式融合在一起，确保学生能通过画图解决勾股定理问题。

图4 勾股定理求证题

（三）灵活多变

数形结合不仅能以数化形，还可以形变数，这充分体现了该思想的灵活性，教师在指引学生解决数学问题时亦须做到灵活多变，使数形结合思想应用效果得以优化，继而提高初中数学教学质量。例如，教师在进行一次函数性质总结归纳教学时，可将抽象的概念与数、形联系起来（见表1），还可鼓励学生根据性质画出图形，如“图象由左到右上升，y的值与x的值成正比”“x轴对称”“y轴对称”等，使学生能在绘制图形的过程中巩固理论知识，用直观的图例代替抽象的内容，使数学知识更加易于理解，继而达到知识点归纳总结的教育目的[2]。

表1

三、初中数学教学中数形结合思想应用的路径

（一）改进教育理念

在数形结合思想应用的过程中除以人为本外，教师还要践行“社会即学校”的教育理念，在陶行知教育思想助力下解放学生的数学思维，助其灵活使用数形结合思想，同时可在社会实践中利用该思想解决实际问题，有效培养学生解题能力、实践能力等综合素养。例如，教师在进行“数据的分析”教学时，可先在课上鼓励学生说一说想要分析的对象，在此基础上助力学生明确数据集合及集中分析主题，如“夏季家庭用水情况”“本班学生每月零花钱消费情况”等，在学生实践探究目标明确的前提下助其利用数学知识获取数据并绘制图表予以解析，继而有效应用数形结合思想完成教育任务，还可培养学生的思维能力、实践能力、解题能力等综合素养。

（二）加强教育评价

首先，教师要鼓励学生相互评价，如在小组合作探究的过程中围绕各自的解题结论进行评价，通过“生生互评”消除歧义，最终达成统一，其间培育学生的表达能力、协作能力等综合素养；其次，教师要在学生应用数形结合思想解决问题的过程中进行评价，为的是给予学生启示，使学生能妥善运用该思想攻克解题难关，继而发挥动态评价的启发育人优势；最后，教师要将评价结论转变为进一步应用数形结合思想教改的动能，通过教学成果自评改进育人对策，推动基于数形结合的初中数学教学活动良性发展[3]。

综上所述，为使初中数学教师能在课堂上有效运用数形结合思想，教师要结合育人内容数形互化、以数化形、以形化数，在数形结合思想加持下做到教材为基、灵活多变及以人为本，在此基础上教师要改进教育思想，创新应用数形结合思想教书育人的模式，尤其要运用信息技术提升育人水平。教师还需加强教育评价，做到以评促学，继而在初中数学课堂上有效应用数形结合思想。