考虑路段时间可行域的随机后悔最小模型

魏庆琦， 邹琪， 肖伟

(1. 重庆交通大学经济与管理学院， 重庆 400074； 2. 电子科技大学经济与管理学院， 成都 610054)

随机择路行程建模与应用是城市交通行为研究领域的重要组成部分，随机后悔最小(random regret minimization，RRM)择路模型是随机效用最大择路模型的改进，它综合了路网的随机性和用户择路的后悔厌恶心理偏好，认为用户择路时不仅考虑最优路径，还取决于可选路径集内各路径的相对表现。自Chorus[1]提出RRM基础模型并对其持续改进以来， RRM逐渐成为近年来广受关注的一类随机择路模型。李梦等[2]较早地将RRM择路模型扩展到网络均衡研究中，构建了考虑运量分布的RRM网络均衡模型。在此基础上，敖翔龙等[3]基于RRM模型构建了面向公交优先的拥挤收费再分配模型。杨飞等[4]将RRM模型的使用场景从路径选择扩展到网约车选择，并在成都展开实地调查，证明了RRM的有效性。Iraganaboina等[5]通过美国奥兰多地区实地调研数据，在交通信息引导环境下验证了RRM模型对择路行为模拟的有效性。

虽然RRM模型得到了学界的认可，但此类模型计算路径行程时间时，主要以正态分布的路径时间期望为关键参数[1-5]，且估计期望时不考虑时间可行域。而现实中由于路段时间通常以自由流时间为下限，且受到限速等交通管理政策的影响，存在行程时间上限[6]。因此，基于经典正态分布路段时间的择路模型与现实存在较大差异。为了准确描述可行域约束下的路段时间分布，相关研究主要采用将正态分布的路段时间分布区间截尾，并重新构建分布函数[7-11]。通过以上处理，能够在一定程度上规避负值或低于自由流时间等不当假设对时间期望估计造成的影响，并降低误差。同时，为了验证截尾正态分布刻画可行域约束下行程时间的有效性，中外学者针对不同地区和人群开展了实验研究。姚志洪等[7]在成都市九里提东路进行实地调查，通过拍摄车牌的方法获取车辆在实验路段的行程时间，证实了截尾正态分布函数刻画路段时间的有效性。Xu等[8]基于截尾正态分布的行程时间，构建平均超额行程时间作为风险测度指标，分析了限速引起的出行者风险规避对择路和配流的影响。尹德鹏等[9]在昆明市主城区环城北路中北京路至万华路路段展开实地调查，发现截尾正态分布能够较好地拟合行程时间。认识到截尾正态分布对实际行程时间描述的准确性，赵磊等[10]基于截尾正态分布路段时间的用户均衡模型，分析了出行者风险态度对网络均衡的影响。涂强等[11]在截尾正态分布路段时间的基础上，构建可靠网络均衡模型，证实了时间边界对模型结果存在显著影响。可见，截尾正态分布对路段时间刻画的准确性已经获得认可。

以上文献主要针对不考虑路段时间可行域的随机后悔择路行为，或基于截尾正态分布路段时间的交通网络均衡模型与应用进行了研究，但仍存在以下问题：主流RRM择路模型以路段时间正态分布为基础假设，忽视了不合理的路段时间取值对模型结果造成的误差[1-4]；少量考虑到路段时间可行域的研究仅关注通行时间最小值，忽略了可行域上限对模型结果的影响[6-7]；考虑通行时间可行域下限的研究主要考虑行程时间可靠性，没有与后悔择路模型相结合[6]。

针对以上问题，现基于随机退化路网，构造考虑路段时间可行域的随机后悔最小(random regret minimization model with feasible time region，FTR-RRM)模型，讨论模型的性质并设计相应算法。并用两个算例讨论简单路网与拥挤效应下路段时间可行域取值对模型均衡状态的影响。

1 模型构建

1.1 随机退化路网及其行程时间估计

随机退化路网[12]采用美国道路局(Bureau of Public Roads，BPR)路段时间模型，表达式为

(1)

由此可得路段时间的期望和方差[7]分别为

E(ta)=μa

(2)

var(ta)=σa

(3)

假设路段时间相互独立，则起讫点(origin and destination，OD)对r之间路径k的时间可表述为

(4)

由于各路段时间分布符合Lindeberg-Fellercentral Limit Theorem条

则路径时间分布[7]可表示为

(5)

(6)

1.2 考虑随机路网通行时间可行域的行程时间估计

为标准正态分布的累积分布函数。其概率密度函数[5]为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

图1 路径时间概率密度Fig.1 Probability density of path time

1.3 RRM模型

连续可微的RRM模型如式(12)～式(14)所示[1]。

(12)

(13)

(14)

1.4 FTR-RRM模型

(15)

(16)

(17)

1.5 随机路网通行时间可行域对后悔函数的影响

证明：由于φ(·)具有对称性，且

时，有

令

(18)

(19)

得证。

推论1当通行时间可行域以原分布期望为中心对称时，提出的FTR-RRM模型可以获得与RRM模型相同的流量均衡结果。

证明：由式(5)、式(6)、式(10)、式(11)考虑时间可行域的路段时间

路径时间的期望为

=

(20)

因此，可将RRM模型视为FTR-RRM模型的一种特殊形式。

2 求解算法

基于相继平均法(method of successive averages， MSA)设计求解算法，具体步骤如下。

步骤4“相继平移”移动。

步骤5检查收敛性。计算

步骤6迭代次数判断。迭代次数n>Nmax时算法终止；否则，转步骤2，置n=n+1。

3 数值算例

3.1 不考虑拥挤效应的随机网络

如图2所示，基于两路段基础网络分析，每条路径各自仅包含1条路段。无拥挤效应时，行程时间可行域对择路决策和流量分布的影响。其中Q=3 000 veh，ϑ

为车流量单位。

此时，RRM模型估计所有用户均选择路径1。而考虑时间可行域后，FTR-RRM估计路径1和路径2的时间期望分别为27.98 min和26.44 min，后悔值分别为1.73和0.20，选择概率分别为17.75%和82.25%，流量分别为532 veh和2 468 veh。更多用户倾向于选择路径2。

图2 两路段网络Fig.2 A network with two links

图3 路段时间可行域范围对后悔择路 模型结果的影响Fig.3 Link time feasible region and the regret choice model results

3.2 考虑拥挤效应的随机网络

如图5所示，展示了配流算法的效率FTR-RRM均衡状态的稳定性。如图5所示，迭代5次后，收敛判断值e迅速下降，迭代20次后e=9.65×10-4，迭代50次后e=1.57×10-5。算法具有较好的收敛性。为证明FTR-RRM均衡状态的稳定性，以路段1、7、14、10、19为代表展示路段流量稳定过程，其中：路段1代表OD点附近多路径共用路段；路段7和路段14代表路网中心多路径共用路段；路段19代表OD点附近较少路径共用路段。显然，各路段流量在迭代20次后趋于稳定，迭代50次后一直保持稳定状态。

图4 Nguyen & Dupuis路网图Fig.4 Nguyen & Dupuis road network

表1 OD对与路径Table 1 paths between 4 OD pairs

图5 算法收敛与流量均衡Fig.5 Algorithm convergence and flow equilibrium

为考察路段随机通行时间可行域对模型均衡结果的影响，在路段可行域变化时，分别计算FTR-RRM模型均衡结果。与前一个算例不同，考虑拥挤效应时情况更为复杂。首先，单个路段可能同属不同路径和OD，如路段7同属路径1、2、5、6、9、13、15、16、20，4个OD均有路径经过路段7。其次，由于不同路段的时间可行域在同一个模型中相互影响，为明确路段时间可行域与均衡结果的关系，有必要控制其他路段可行域等参数。第三，在现实中，通常自由流时间即为路段时间下限，但其上限受流量、天气、事故等复杂因素综合影响，更具不确定性。最后，由于RRM模型假设路段时间可行域取(-∞，+∞)，可将其视为FTR-RRM的一种特殊情况。因此，以路段7的通行时间为主要研究对象，分析其可行域上限对均衡时路径1(OD1-2)、10(OD1-3)、15(OD4-2)和20(OD4-3)的影响。

(1)路径1选择概率迅速下降，路径15和20选择概率略有下降，而路径10选择概率明显上升。

(2)路径1、15、20后悔值逐渐上升，而路径10后悔值显著下降。

(3)路径1、15、20时间期望值缓慢增加，而路径10时间期望值明显下降。

(4)路段7自身均衡流量迅速下降。

这是由于路径1、15、20均包含路段7，而路径10不包含路段7。因此，当路段7通行时间可行域上限增加时，其时间期望也随之增加，这就导致经过路段7的路径时间期望增加。而路径10不经过路段7，因此不受影响。但在拥挤网络的复杂环境中，再次均衡时，路径10的时间期望减少了。同时，各路径时间期望的变化导致其后悔值和选择概率发生相应的变化，最终形成了新的随机网络均衡状态。

图6 路段7时间可行域上限值对FTR-RRM 均衡状态的影响Fig.6 Influence of the upper bound of link 7 on the network equilibrium of FTR-RRM

4 结论

(1)在随机路网环境下，提出FTR-RRM模型与经典RRM模型类似，都能够描述用户后悔厌恶心理对随机交通网络流量均衡的影响。但FTR-RRM模型考虑了路段行程时间估计时可行域对时间期望的影响，更加切合实际。

(2)当路径时间可行域关于期望对称时，FTR-RRM模型将获得与RRM模型相同的择路结果。由于可将RRM模型视为路段时间可行域取(-∞，+∞)时的FTR-RRM模型，因此可以认为FTR-RRM模型涵盖了RRM模型。

(3)FTR-RRM模型在RRM模型基础上考虑了对路段时间可行域对择路结果的影响，因此相比RRM模型，FTR-RRM模型对随机路网和后悔厌恶出行者之间的互动刻画得更加细致。