2021年中考“图形的性质”专题解题分析

陈莉红 段碧

摘  要：文章以2021年全国各地中考数学试题为研究对象，选取部分有一定代表性的试题，从考查要求、解题思路等方面进行分析，概括出“图形的性质”领域的试题特点和解题方法，为2022年中考数学复习和研究提供参考.

关键词：中考试题;解题分析;图形的性质

“图形的性质”是“图形与几何”课程内容的重要组成部分，也是后续进一步学习和研究图形的变化、图形与坐标的基础.“图形的性质”主要包括以下七部分内容：点、线、面、角;相交线与平行线;三角形;四边形;圆;尺规作图;定义、命题、定理等. 综观2021年全国各地中考“图形的性质”部分试题，较好地体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的基本理念，不仅注重考查数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，还考查学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，在解题过程中培养学生的空间观念、几何直观、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识.

一、试题特点及解法分析

本文以2021年全国各地中考试卷为研究对象，抽取了包含新疆（不含西藏）在内的覆盖全国各省的35套试卷为样本，对其中有关“图形的性质”的试题从知识内容的考查要求及考查角度进行分析，归纳出2021年“图形的性质”试题的考查特点主要有：基于图形的性质的理解及应用，考查基础知识及基本技能;突出思维过程考查数学思想;基于图形的性质考查探究能力;基于文本阅读考查数学理解与表达. 下文将分别从这几个方面进行解法分析，并对一些试题的优秀解法进行赏析，为一线复习教学提供参考.

1. 基于图形的性质的理解及应用的基础性试题的解法分析

《标准》中“图形与几何”的主要研究对象有点、线、面、角，相交线与平行线，三角形、四边形和圆等，这五部分内容循序渐进地從几何图形的基本元素（点、线、面），到构成平面图形的基本要素（线段、角），再到最简单的平面图形（三角形），最后到较复杂的平面图形（多边形和圆）. 前面部分的内容是后面部分的内容的基础，解决多边形和圆的问题往往要转化成三角形的问题，解决三角形的问题经常要分析组成它的基本要素之间的数量关系和位置关系. 这五部分是历年中考的常规考点. 第六部分尺规作图是探究图形性质的重要方法，作图的过程是对图形性质的进一步理解与运用. 第七部分定义、命题和定理具有较强的抽象性和逻辑性，对数学表达的严谨和规范有明确的要求，是学习几何语言表达的基础，既是表达几何对象的基础，又是对图形要素之间相互关系的梳理和总结. 在2021年全国各地的中考试卷中，虽然这部分内容出现得较少，但仍有一定的创新. 下面将从四个方面对“图形的性质”的基础性试题的解法进行分析.

（1）加强对图形的性质的直观化理解，注意图形性质之间的联系与区别.

在图形的性质的基础性试题中，通常以单个图形或简单情境为载体考查对图形的认识，主要包含两个方面：一方面，是对图形概念的理解;另一方面，是对基本事实的理解，以及对图形性质的简单应用. 通常是选择题、填空题或者简单的计算题与证明题.

例1 （湖北·随州卷）如图1，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1 = 45°，则∠2为（  ）.

（A）15° （B）25°

（C）35° （D）45°

答案：A.

【评析】此题结合学生的生活情境，借助学生常用的三角板与两条平行线直观抽象出数学图形，强调用数学眼光观察，用数学思维思考，针对60°角与∠1，∠2之间的关系设置问题，考查了与三线八角、平行线性质及直角三角形等相关知识的应用. 学生解决此类问题，通常需要观察图形，可以借助几何直观帮助学生理清思路. 此题解法多样，不作辅助线的情况下，可以借助∠1的对顶角、同位角、余角和三角形的外角求出∠2的对顶角，还可以过60°角的顶点作与已知平行线平行的直线，利用平行线性质定理直接求出∠2. 因此，弄清楚图形与图形之间的关系，图形性质之间的联系和区别，在具体的问题背景下才能准确选择正确的图形性质，并运用其解题. 类似试题还有江苏扬州卷第2题、山东临沂卷第19题、浙江台州卷第2题等.

例2 （江苏·无锡卷）如图2，D，E，F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（  ）.

（A）△BDE和△DCF的面积相等

（B）四边形AEDF是平行四边形

（C）若AB = BC，则四边形AEDF是菱形

（D）若∠A = 90°，则四边形AEDF是矩形

答案：C.

【评析】此题是常规题，考查了对基本图形的认识，如平行四边形、菱形、矩形的判定及三角形的性质（如三角形面积的计算，三角形中位线定理等）. 解决这类问题通常需要梳理清楚三角形、四边形、平行四边形、矩形、菱形等基本图形之间的联系与区别，以及它们之间的相互转化关系和每个基本图形内部的组成要素（如边、角、对角线等之间的关系等），寻找有逻辑的主线把相关概念、判定及性质串联起来，形成有机的整体，比机械地死记硬背效果更好. 类似试题有广东广州卷第3题、新疆卷第22题等.

（2）掌握特殊图形的基本性质，注意基本技能的运用.

以多个基本图形的组合图形为载体考查图形的性质的综合运用，考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力. 初中几何往往以线段（弧）、角、面为对象考查关于长度、周长、角度、面积的运算，以这些对象之间的关系为对象或者以图形与图形之间的关系为对象考查数量关系（如线段相等或角相等）与位置关系（平行、垂直）、全等关系等的推理与证明.

例3 （安徽卷）如图3，在菱形ABCD中，AB = 2，∠A = 120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（   ）.

（A）3 +[3] （B）2 +[23]

（C）2 +[3] （D）1 +[23]

答案：A.

【评析】此题以菱形为背景，借助菱形的对称中心向四边分别作垂线，生成新的内接四边形，求这个四边形的周长. 考查了中心对称、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、三角形全等等知识. 此题涉及的特殊图形有菱形、等边三角形、直角三角形、矩形等，体现了图形的综合，以及不同图形性质之间的关联. 依据菱形的性质（如邻边相等）、含有60°的内角可连接对角线构造等边三角形. 又由菱形的对角线互相垂直，可构造直角三角形. 因此，此题解题的关键是连接菱形的两条对角线，把四边形转化为三角形，把求周长转化为求线段长. 初中阶段求线段的长度通常是把线段放入三角形中，构造直角三角形，用勾股定理求解;或者在三角形中运用平行线分线段成比例、全等及相似图形中对应边关系等转化求解. 这是考查基本数学运算能力.

例4 （四川·乐山卷）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图4（1）所示. 19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图4（2）是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（  ）.

（A）3 （B） [72]

（C）2 （D） [52]

答案：A.

【评析】七巧板这一古老的中国玩具，是由1块正方形、5块等腰直角三角形、1块平行四边形拼成一个大正方形，且大正方形的边长为4，图形与图形之间受正方形及各自形状的制约，相互之间边长及角、面积等存在着一定的数量关系，可通过图形的性质及相互关系推理得出. 题设中的任务指向求“叶问蹬”图中“腿”（即阴影部分）的面积，可转化为求平行四边形面积与小等腰直角三角形面积之和. 图中最大的等腰直角三角形的斜边为4、直角边为[22]，最小的等腰直角三角形的直角边为[2]，唯一的小正方形的边长为[2]，且小直角三角形、平行四边形、小正方形都是在两条平行线之间的等高图形，此时可直接分别求出小等腰直角三角形的面积与平行四边形的面积再求和，还可以观察推理发现平行四边形面积是小等腰直角三角形面积的2倍，他们的面积分别是大正方形面积的[18]和[116]，根据这些关系都能得出正确的结果. 因此，借助特殊图形的性质及图形与图形之间的关系计算和推理，是解决一般几何问题的基本技能. 在这个过程中，有时需要借助几何直观帮助我们观察、发现图形之间的关系. 类似试题有浙江湖州卷第16题、浙江金华卷第15题、浙江温州卷第16题、上海卷第17题等.

（3）善于挖掘隐含条件，灵活添加輔助线，构造直角三角形或全等三角形解题.

有些综合考查“图形的性质”的试题中，已知条件给出的各个要素之间的关系不能直接得到结论中需要的线索或依据，这时就需要适当添加辅助线，构造相应的基本图形作为桥梁，起到过渡的作用. 什么时候需要添加辅助线、添加哪条辅助线是解决问题的关键和难点，除了需要熟练掌握基本性质及相关定理之外，培养几何直观及空间观念，加强对图形的直觉思维也是非常重要的，本质上需要加强对文字语言、图形语言、符号语言的转化能力.

例5 （河南卷）如图5（1），在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”. 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图5（2）所示. 两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON. 当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图5（3）所示. 仅就图5（3）的情形解答下列问题.

（1）求证：∠PAO = 2∠PBO;

（2）若⊙O的半径为5，AP =[203]，求BP的长.

答案：（1）略;（2）3[10].

【点评】此题是动点问题，主动点P在⊙O上转动，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，给定限制条件“OM⊥ON，AP与⊙O相切，点B恰好落在⊙O上”，求限制条件下关于角度和长度的问题. 考查了切线的性质及圆周角定理，等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性质等，此题的难点在于每道小题都需要作辅助线，第（1）小题中∠PAO与∠PBO没有直接的联系，要找到它们之间的关系需要找到“第三者”转化过渡，读懂题中“AP与⊙O相切”这一条件是关键，依据切线的性质，自然想到连接半径OP，构造了垂直关系，与已知OM⊥ON相呼应，即可以运用圆周角定理及等角的余角相等得证结论. 第（2）小题求线段的长，通常把线段放入三角形中求解. 因为点B和点P是圆上的点，所以自然会用到ON的反向延长线与圆的交点，设为点C，连接PC，构造Rt△BPC，利用勾股定理求出线段长. 在此过程中发现，要求出PC的长还需要再过点P作PD⊥OC，构造相似三角形. 因此，求解此题的关键是作出适当的辅助线. 圆中涉及的常见辅助线有：连接切点与圆心、直径所对的圆周角构造直角三角形、过圆上某点作垂直于半径的线段构造直角三角形、应用垂径定理等. 在多边形中：已知角平分线上的点，可以向角的两边作垂线构造直角三角形;已知中点，可以延长中线，用倍长中线法构造平行四边形，或者作平行线，运用中位线定理，等等. 对于三角形全等，当判定条件没有直接呈现时，可以依据三角形全等的判定定理作辅助线，构造全等. 总之，构造辅助线是在解决问题的过程中思路受阻后寻找突破口的方式，需要以相关概念、性质及定理为基础产生迁移，有时需要从结论开始往前逆推寻找线索，对思维要求较高. 类似试题有广东深圳卷第15题、四川成都卷第20题等.

（4）以尺规作图为探究工具，借助几何直观发展逻辑推理.

例6 （江苏·南京卷）如图6，已知P是⊙O外一点. 用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线. 要求：（1）用直尺和圆规作图;（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

答案：（方法1）如图7，连接OP，作线段OP的垂直平分线，找出线段OP的中点G，以点G为圆心、OG长为半径作圆，圆G交圆O于点D，连接PD，则PD所在直线即为所求切线.

（方法2）如图8，作点P关于点O的对称点P[′]，以点O为圆心，OP长为半径作圆，连接PP[′]，交圆O于点A，B，以点P[′]为圆心，AB的长为半径作圆，交弧PP[′]于点Q，连接PQ，PQ交圆O于点D，PD所在直线即为所求切线.

【评析】《標准》中要求掌握的基本尺规作图有五种，此题就是在五种基本作图基础上探究过圆外一点作圆的切线，是一道过程开放的试题. 解决此题的关键是确定切点D的位置，且PD⊥OD，作图的思路和方法除方法1和方法2以外还有很多种. 例如，可以依据菱形对角线互相垂直作出菱形及其对角线得解;可以先过OP与圆的交点作切线，然后构造全等三角形，作出点D;等等. 其他方法不一一赘述，读者可以继续研究. 尺规作图题是建立学生几何直观的有效手段，是锻炼学生演绎推理能力的重要抓手. 在解尺规作图题的过程中，常常利用几何直观帮助学生发现并转化问题，然后用演绎推理反推寻找作图思路，在这个过程中，几何直观往往是逻辑推理的重要辅助手段. 类似试题有江西卷第16题、湖北武汉卷第20题、四川广安卷第24题等.

2. 以图形的性质为载体，在过程中考查数学思想的试题解法分析

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括. 在对“图形的性质”考查中，常见的数学思想主要有转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程与函数思想等，在问题的设置上有时候会体现从特殊到一般的思想、在具体的求解运算过程中会涉及整体思想等. 一道综合性试题或压轴题中往往蕴涵着多种数学思想.

例7 （浙江·杭州卷）图9是一张矩形纸片ABCD，M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF. 若MF = AB，则∠DAF 的值为     .

答案：18°.

【评析】此题以常见的折纸为背景，设置求角度的运算，难度不大，但涉及的考点非常丰富，主要考查了矩形的性质、翻折的对称性、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角与内角的关系、余角、三角形的内角和定理及其推论等. 在具体解题过程中，连接MD是关键，经过观察、推理可以发现图中有多个等腰三角形，如△AMD，△FMD，△CMD，△DCF，再依据等腰三角形的性质，得到角与角之间的关系，把问题转化为在△DCF中，或者在△CMD中，利用三角形内角和定理列出方程即可求解. 此题蕴涵的数学思想有转化思想和方程思想. 在求线段的长度和角的大小的问题中，我们常常利用图形的性质得到线段或角的数量关系，再设未知数列方程求解，这是常用的方法. 类似试题有江西卷第12题、江苏常州卷第18题. 在几何与函数综合考查的试题中，往往会综合考查数形结合思想、分类讨论思想，以及根据几何对象关系建立函数，并运用函数求最值或者范围，考查函数思想，如天津卷第24题、陕西卷第26题等.

3. 基于图形的性质的探究性试题的解法分析

基于图形的性质的探究性试题是以图形的性质为基本出发点，引出问题，主要考查学生对图形基本性质及性质之间内在联系的掌握情况，同时让学生体会在性质的探索中试题所蕴含的数学思想和方法，学会在解决数学问题的过程中经历“观察—发现—猜想—证明—应用”的数学思维方式. 此类问题一般经历三个层次：第一个层次，“特例探究”是基础，把一般性问题特殊化或简单化处理，做好铺垫;第二个层次，是“归纳证明”，是在第一个层次的基础上更进一步地研究，得到一般性的结论或方法;第三个层次，是“综合运用”，是把上一层次得到的一般性结论或方法迁移运用到新的情境中，其本质还是对几何图形基本性质的熟练掌握和深刻理解，最终实现学生几何思维和核心素养的提升.

例8 （湖北·武汉卷）问题提出：

如图10（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = AC，EC = DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究：

（1）先将问题特殊化如图10（2）所示，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系;

（2）再探究一般情形如图10（1）所示，当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展：

如图10（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = kAC，EC = kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F. 直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.

答案：（1）BF - AF =[2]CF;

（2）BF - AF =[2]CF仍然成立;

（3）BF - kAF =[k2+1]CF.

【评析】此题以三个环节“问题提出—问题探究—问题拓展”为主线展开，“问题提出”环节以两个等腰直角三角形组成的图形为基本图形，任务指向探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，具有一般性. 在“问题探究”环节设置了两道小题. 第（1）小题进行了特殊化处理，将点D与点F重合，变成两个共直角顶点的直角三角形构成的经典的旋转型全等三角形. 证明△ACD ≌ △BCE（SAS），则AF = BE，EF =[2]CF. 将不在同一直线上的三条线段AF，BF，CF转化到同一条直线上，进而找到三条线段的数量关系. 第（1）小题体现的主要数学思想是转化思想. 第（2）小题对问题一般化，探究当点D与点F不重合时结论是否仍然成立，解决的关键是找到变中不变的本质是△ACD ≌△BCE（SAS）依旧成立，类比第（1）小题，依旧可以将不在同一直线上的三条线段AF，BF，CF转化到同一条直线上，但是由于当点D与点F不重合，需要添加辅助线构造与AF和[2]CF相等的线段.“过点C作CG⊥CF交BF于点G”一箭双雕，同时构造了线段FG =[2]CF，BG = AF. 这里运用的数学思想主要是类比和转化思想. 第三个环节“问题拓展”，将题干中的条件进一步一般化，将两直角边相等BC = AC，EC = DC，改成两直角边成比例BC = kAC，EC = kDC（k是常数），对应的三角形也从全等关系变成相似关系，是更高一个层次上对方法和思想的迁移运用. 类似试题有重庆卷第26题、江苏连云港卷第27题、四川达州卷第24题等.

4. 基于文本阅读考查理解与表达的试题解法分析

数学阅读是指学生对文字、符号、图形等以表现形式的内容进行数学分析与思考，获取信息并将信息转化为数学问题的过程. 在解决数学阅读题时，学生对文字、符号、图形等数学语言的互译能力显得特别重要.

例9 （山西卷）阅读与思考

阅读下列科普材料，并完成相应的任务.

任务：

（1）根据以上材料简要说明图算法的优越性;

（2）用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

① 用公式[1R=1R1+1R2]计算：当R1 = 7.5，R2 = 5时，R的值为多少;

② 如图13，在△AOB中，∠AOB = 120°，OC是△AOB的角平分线，OA = 7.5，OB = 5，用你所学的几何知识求线段OC的长.

解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果（答案不唯一）.

（2）① R = 3.

② OC = 3.

【评析】此题根据提供图算法的相关材料进行任务设计. 第（1）小题是开放性问题，要求说出图算法的优越性，这需要学生通过阅读，理解什么是图算法、图算法的作用、图算法与公式法的区别等，需要自己概括出图算法的优越性，并表达出来，这是对学生阅读能力的考查，需要学生在读取文字信息的过程中进行分析、推理，也是目前学生还不太适应的试题类型. 第（2）小题要求用两种算法验证图算法求出的电阻是否正确，分别考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、实数的混合运算等知识点. 此题中正确理解题干中的定义是解题的关键. 学生需要把文字语言转译成符号语言或者图形语言，把现实问题中蕴含的数学关系用数学方法来表达. 文字语言“先画出一个120°的角”对应着符号语言“∠AOB = 120°”，“再画一条角平分线”对应着“OC是△AOB的角平分线”，“在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度”对应着“OA = 7.5，OB = 5”，“只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线”对应着“直线AB”，“这条直线与角平分线的交点的刻度值”对应着“线段OC的长”. 在整个过程中，文字语言的精准阅读是关键. 学生要抓住关键词、句，及时将获取的信息与符号或者图形对应起来，甚至通过反复阅读的方式，咬文嚼字，仔细推敲，才能弄清题目的已知条件是哪些，需要求解或者证明的结论是什么，将实际问题转化成几何问题. 在日常教学过程中，需要加强对学生数学文本阅读能力的训练，使他们养成喜欢阅读的习惯. 类似试题有湖南株洲卷第18题、贵州贵阳卷第25题、河南卷第23题等.

二、试题解法欣赏

例10 （江西卷）课本再现：

（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图14（1），即可证明，其中与∠A相等的角是     ;

类比迁移：

（2）如图14（2），在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF = ∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是       ;

方法运用：

（3）如图15（1），在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC = 90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC = ∠ABC.

① 求证：∠ABC + ∠ADC = 90°;

② 连接BD，如图15（2），已知AD = m，DC = n，[ABAC]= 2，求BD的长（用含m，n的式子表示）.

答案：（1）解：如图14（1），由图形的拼剪可知，∠A = ∠DCA′.

（2）解：如图14（2），因为∠ADC + ∠ABC = 90°，∠CDE = ∠ABC，

所以∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90°.

所以AD2 + DE2 = AE2.

（3）① 证明：如图16，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O.

因为点O是△ACD两边垂直平分线的交点，

所以点O是△ADC的外心.

所以∠AOC = 2∠ADC.

因为OA = OC，

所以∠OAC = ∠OCA.

因为∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°，∠OAC = ∠ABC，

所以2∠ADC + 2∠ABC = 180°.

所以∠ADC + ∠ABC = 90°.

接下来介绍第（3）小题第②问的几种解法，供大家欣赏.

类比第（2）小题的方法. 如图17，将△ABC绕点C旋转，并按照一定的比例放缩，构造一个以CD为斜边、与△ABC相似，且共顶点C的Rt△EDC. △ABC的三边比为1∶2 ∶[5]，所以CE∶DE∶CD = 1∶2 ∶[5]. 因为CD = n，所以Rt△EDC的另外两边均可用含n的式子表示出来. 连接AE，一方面，构造了一对相似三角形△DCB ∽ △ECA，[DBAE=BCAC=][5]，DB =[5]AE，将求线段DB的长转化为求线段AE的长;另一方面，將两个互余的角拼到一起，∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = ∠ADC + ∠ABC = 90°，构造了Rt△ADE，线段AE的长可以用勾股定理求出. 具体解题过程如下.

方法1：如图17，在射线DC的下方作∠CDE = ∠ABC，过点C作CE⊥DE于点E，连接AE.

因为∠CED = ∠CAB = 90°，∠CDE = ∠ABC，

所以△CED ∽ △CAB.

在△CAB中，因为[ACAB=12]，

所以AC∶AB∶BC = 1∶2 ∶[5].

所以CE∶DE∶DC = 1∶2 ∶[5].

因为DC = n，所以DE =[255n].

因为△CED ∽ △CAB，

所以∠DCE = ∠ACB，[CDCB=CECA].

又因为∠DCE + ∠DCA = ∠ACB + ∠DCA，

即∠DCB = ∠ECA，

所以△DCB ∽△ECA.

所以[BDAE=BCAC=51].

所以BD =[5]AE.

因为∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = ∠ADC + ∠ABC = 90°，DE =[255n]，AD = m，

所以AE =[AD2+DE2]=[m2+255n2]=[m2+45n2].

所以BD =[5]AE =[5m2+4n2].

方法2：类比方法1. 如图18，将△ABC绕点C旋转，并按照一定的比例放缩，构造一个以CD为直角边、与△ABC相似，且共顶点C的Rt△EDC. △ABC的三边比为1∶2 ∶[5]，所以CD∶DE∶CE = 1∶2 ∶[5]. 因为CD = n，所以DE = 2n，连接BE. 一方面，构造了一对相似三角形△DCA ∽ △ECB，[EBDA=BCAC=5]，所以EB =[5]DA =[5m];另一方面，将两个互余的角拼到一起，由△ABC ∽ △DEC，△DCA ∽ △ECB，可得∠DEC = ∠ABC，∠CEB = ∠ADC. 所以∠DEB = ∠DEC + ∠CEB = ∠ABC + ∠ADC = 90°. 构造了Rt△DEB，则BD =[EB2+DE2]=[5m2+4n2].

类比方法1和方法2，将△ABC绕点A旋转，并按照一定的比例放缩，构造一个以AD为直角边、与△ABC相似，且共顶点A的Rt△ADE. AD可以是较长的直角边，也可以是较短的直角边. 所以有两种构造方式，如图19和图20所示.

方法3：如图19，△ABC ∽ △AED，△ABC的三边比为1∶2 ∶[5]，所以AD∶AE∶DE = 1∶2 ∶[5]. 因为AD = m，所以DE =[5]m. 连接BE. 一方面，构造了一对相似三角形△DAC ∽△EAB，[EBDC=ABAC=2]，所以EB = 2DC =[2n];另一方面，将两个互余的角拼到一起，由△ABC ∽ △AED，△DAC ∽ △EAB，可得∠DEA = ∠ABC，∠AEB = ∠ADC. 所以∠DEB = ∠DEA + ∠AEB =∠ABC + ∠ADC = 90°. 构造了Rt△DEB，则BD =[DE2+EB2]=[5m2+4n2].

方法4：如图20，△ABC ∽ △ADE，与方法3不同之处在于构造的Rt△ADE中AD是较长的直角边，解题步骤不再一一赘述.

类比前四种解法，可以将△ABC绕点B旋转，并按照一定的比例放缩，构造一个以BD为斜边或者直角边、与△ABC相似，且共顶点B的Rt△EDB. 如图21和图22所示. 这样又可以得到方法5和方法6，具体解题过程略.

这六种解法的本质是一样的，都是借助旋转构造与△ABC共顶点的相似三角形，除公共顶点外的另两对对应点交错相连得到一对新的相似三角形，这样的相似模型俗称“手拉手”. 通过构造相似三角形，将已知线段和未知线段转化到同一个直角三角形中，然后运用勾股定理求解.

类似地，也可以构造与△ADC共顶点的相似三角形. 因为△ADC有三个顶点，每绕其中一个顶点又有两种旋转缩放构造相似三角形的方法，这样又可以得到六种解法. 下面仅举其中一种来说明.

方法7：如图23，在射线AB的下方作线段AE，使∠BAE = ∠CAD，且AE = 2AD.

因为AB = 2AC，

所以△ADC ∽ △AEB.

则∠AEB = ∠ADC，BE = 2DC = 2n.

因为∠BAE = ∠CAD，

所以∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC，

即∠BAC = ∠EAD = 90°.

又因為[AEAD=ABAC=2]，

所以△BAC ∽ △EAD.

则∠AED = ∠ABC，DE =[AD2+AE2]=[5]m.

因为∠DEB = ∠AEB + ∠AED = ∠ADC + ∠ABC = 90°，

所以△DEB是直角三角形.

所以BD[=DE2+EB2]=[5m2+4n2].

这种方法与方法3的构图方法不同，推理过程不同，但是图形是一样的.

总之，以上12种解题方法都是对第（2）小题方法的类比迁移. 如果抛开第（2）小题，还可以另辟蹊径. 第（3）小题的第①问得到了一个关键结论∠ABC + ∠ADC = 90°，在Rt△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 90°，所以∠ADC = ∠ACB. 这两个角的顶点都在同一直线DC上，可以在直线DC上再找一个点E，使∠CEB = ∠ADC = ∠ACB，构造出“一线三等角”.

如图24，延长DC到点E，使得[∠BEC=∠ADC].

因为[∠ECA=∠ADC+∠DAC，] [∠ECA=∠ACB+∠BCE]，

所以[∠BCE=∠DAC.]

所以[△CEB∼△ADC].

因为[AD=m，CD=n，AC∶BC=1∶5]，

所以[CE=5m，BE=5n].

过点B作[BF⊥DE].

因为∠CEB = ∠ACB，

所以tan∠CEB = tan∠ACB =[ABAC]= 2，即[BFEF]= 2.

又因为[BE=5n]，

所以EF =[n]，BF =[2n].

则[DF=CD+CF=CD+CE-EF=n+5m-n=5m.]

在Rt△BDF中，

[BD=DF2+BF2=5m2+2n2=5m2+4n2].

先构造出“一线三等角”，再作高，构造直角三角形，最后运用勾股定理解题. 这种解法自然又巧妙，计算量也不大，值得品味.

以上各种解题方法的关键是抓住题干中的四边形ABCD有一对对角互余，然后通过旋转或者直接作图构造其他三角形与△ABC或△CDA相似，进一步得到与BD相关的直角三角形或相似三角形进行分析与求解，实现转化.

由此说明，在综合性几何试题中，对图形的性质的考查不是孤立的，往往会与图形的变化相结合. 一方面，可以借助图形的变化构图，作为题干条件呈现;另一方面，作为探究的工具，由静生动，构造全等与相似，以基本图形的性质为基础，研究图形与图形之间的位置关系与数量关系，体现了转化化归、变中不变的数学思想.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈莉红，曹经富. 回归本质  适度创新：2020年中考数学试题总评[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：3-14.

[3]教育部基础教育课程教材专家委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.