说“故事”找关系 建模型

文／崔 竞

方程与不等式是初中阶段两个重要的数学模型，“审、找、设、列、解、验、答”这七步是利用方程解决实际问题的基本步骤。其中，最关键的是找等量关系。我们只有找到等量关系，才可列出方程。

一、寻找“故事”的主角

例1某超市有线上和线下两种销售方式。与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%。求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值。

【分析】本题叙述的主要“故事”是两年销售额的增长问题。“故事”的主角是：销售额，线下、线上两种销售额的增长率。它们之间的关系如下：

2020年销售总额=2019年销售总额×（1+增长率）；

销售总额=线上销售额+线下销售额。

设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，则“故事”的主角可以如下表示：

时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x 2020年4月份1.1a 1.43x a-x 1.04（a-x）

解：根据题意，得1.1a=1.43x+1.04·（a-x），

答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2。

【小贴士】“故事”中涉及的主角较多时，我们可以利用表格帮助整理数量之间的关系。

二、说“故事”

例2某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调。已知采购3台A型空调和2台B型空调，需要费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元。

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

【分析】本题叙说的主要“故事”是两种型号空调的购买问题。“故事”的主角是：A、B型空调。在问题（1）中发生的“故事”有两个：两种不同购买方案。第一种方案，3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；第二种方案，4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元。它们存在的基本关系：单价×数量=总价。问题（2）讲述的是采购“故事”，涉及三个条件：A、B两种型号空调共30台，A型空调的台数不少于B型空调的一半，采购总费用不超过217000元。其中用“不少于”“不超过”体现数量之间的不等关系。

解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元。

答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元。

（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台。

根据题意，得

所以a=10、11、12，则共有三种采购方案。

方案一：采购A型空调10台，B型空调20台；

方案二：采购A型空调11台，B型空调19台；

方案三：采购A型空调12台，B型空调18台。

【小贴士】列不等式解决问题时，我们一般先借助等量关系表示相关量，再列出不等式找出解决方法，不建议联立方程和不等式。

三、找关系建模型

例3某商店在2016年至2018年期间销售一种礼盒。2016年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2018年，这种礼盒的进价比2016年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2016年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒。

（1）2016年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【分析】本题叙说的主要“故事”是礼盒的销售问题。“故事”的主角是：礼盒。在问题（1）中发生的“故事”有两个：礼盒进价两年相差11元，两年分别花费不同价格购买数量相同的礼盒。它们存在的基本关系：进价×数量=总价。两个“故事”体现的关系分别是：2016年进价-2018年进价=11元；2016年3500元购买数量=2018年2400元购买数量。问题（2）讲述的是销售利润增长的“故事”，描述的关系是：2016年到2017年的增长率=2017年到2018年的增长率。存在的基本关系是：原销售利润×（1+增长率）=现销售利润。

解：（1）设2016年这种礼盒的进价为x元/盒，则2018年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒。

解得x=35。

经检验，x=35是原方程的解。

答：2016年这种礼盒的进价是35元/盒。

（2）设年增长率为a。

根据题意，得

（60-35）（1+a）2=60-35+11。

解得a=0.2=20%或a=-2.2（不合题意，舍去）。

答：年增长率为20%。

【小贴士】在求解方程的过程中，我们应注意对方程解的检验：（1）符合方程解的意义；（2）符合实际。

在运用方程（不等式）解决实际问题的过程中，我们一般先通过粗略读题了解实际问题的背景，找出“故事”的主角，也就是问题涉及的基本量。再次阅读题目，我们需要找出同种基本量的关系，或者两个基本量之间的关系，也就是这里所说的“故事本身”。一般我们会利用其中一个“故事”中基本量之间的关系，把涉及的基本量都用未知数表示出来，再用另外一个“故事”中存在的关系列方程（不等式），从而建立模型解决问题。