典例剖析 有的放矢

文／张 丽

解决方程与不等式类问题，要充分理解方程与不等式的概念，掌握方程与不等式的解法，会用方程或不等式解决实际问题。本文以三个例题为载体，剖析易错点，有的放矢，希望能帮助同学们更好地理解“方程与不等式”的相关内容。

例1已知关于x的方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____。

【错解剖析】部分同学认为这是关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用根的判别式大于等于0，求k的取值范围。产生错误的原因是对一元二次方程的概念、基本形式认识不到位。只有一元二次方程中含未知数的二次项的系数不为零，才能保证最高次项是二次项，当二次项的系数含参数时，要注意需分类讨论。

【解法思路】此题未指明是关于未知数x的几次方程。观察方程kx2-2x+1=0，发现x2的系数k是否为零，决定了此方程的类型。①当k=0时，方程-2x+1=0为一元一次方程；②当k≠0时，方程kx2-2x+1=0为一元二次方程。

【正解】①当k=0时，方程-2x+1=0为一元一次方程，符合题意；

②当k≠0时，方程kx2-2x+1=0为一元二次方程，

由题意可得（-2）2-4k≥0，

即k≤1且k≠0。

综上所述，k的取值范围是k≤1。

例2若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）。

A.a≤-3 B.a＜-3

C.a＞3 D.a≥3

【错解剖析】部分同学易列出不等式3a+2＜a-4，漏掉3a+2=a-4这种情况。同学们在复习时应有意识地强化临界值意义的练习，并对不同情况做变式训练。例如：关于x的不等式组无解，求a的取值范围；关于x的不等式组有3个整数解，求a的取值范围等。此类型题均需考虑临界值是否符合题意。

【解法思路】此题考查的是不等式组的含参数问题，解法不唯一。下面列举两种常见方法。方法一：从解不等式组的角度入手，即先求出不等式组的解集，把不等式的解集通过数轴表示出来，根据不等式组无解求出a的范围，此处需重点考虑临界值，即3a+2=a-4是否符合题意；方法二：从函数图像的角度入手，即分别画出函数y1=3a+2，y2=a-4的图像，两线相交于点（-3，-7），观察函数图像可得a的取值范围。这两种方法均借助“形”来求解，即用数轴或函数图像表示出不等式组的解集。数形结合，形象直观。

【正解】由题意可知，3a+2≤a-4，解得a≤-3。故选A。

例3将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果。问这一箱苹果有多少个？小朋友有多少人？

【错解剖析】设有x个小朋友，列出不等式组产生错误的原因在于审题不仔细，条件“有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果”的意思是“有（x-1）个小朋友分到8个苹果，还有一个小朋友分到苹果的数量是大于等于1，小于等于8的正整数”。用不等式（组）解决实际问题，要理清题意，抓住题目中表示不等关系的关键词“至多”“至少”“不超过”“不到”等，找出不等关系，列出不等式（组），最后还要检验解的实际意义。

【解法思路】此题考查的是用一元一次不等式（组）解决实际问题，先设未知数（设小朋友有x人），根据“若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”列出代数式，苹果共有（5x+12）个，再根据“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果”找到两个不等关系，列出不等式组求解，最后要考虑实际意义。

【正解】设有x个小朋友。

根据题意，得

因为x为正整数，所以x=5或x=6。

当x=5时，5x+12=37；

当x=6时，5x+12=42。

答：有5个小朋友，37个苹果或者有6个小朋友，42个苹果。