“数”之严谨“形”之直观

文／康叶红

方程是研究已知量和未知量关系的模型。求方程的解，就是利用等式的基本性质和代数式的运算，将方程化成最简形式“x=a”。此外，我们还可以从“形”的角度来求方程的解，下面从图形解法和函数图像解法两个方面来谈谈方程的解法。

一、图形解法与方程

苏科版数学教材九年级上册第12页“数学实验室”中有这样一个问题：

例1用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0，配方法的过程可以用拼图直观地表示。

【分析】求一元二次方程的解常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。此外，我们还可以用拼图的方法（如图1）直观地描述配方法的过程，在操作中感受数与形的结合。

图1

变式请用图形求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根。

【分析】求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根的过程，可以这样来思考：①变形，得x（x+2）=24；②画4个长为x+2，宽为x的矩形，构造一个边长为（x+x+2）2的正方形（如图2）；③图2中的大正方形面积可以表示为（x+x+2）2，或4个长为（x+2）、宽为x的矩形的面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积，即4x（x+2）+22。

图2

解：（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因为x（x+2）=24，

所以（x+x+2）2=4×24+22，（2x+2）2=100，

因为x＞0，所以x=4。

【总结】利用图形直观表示配方法求解过程，充分体现了数形结合的思想方法。借助于形的直观和数的严谨两方面求解问题，拓宽了解题思路。

我们还可以将这个过程一般化，求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（b＞0，c＞0）的正根的过程，就是利用4个长为x+b、宽为x的矩形，构造边长是x+x+b的正方形（如图3），则图中的大正方形面积可以表示为（x+x+b）2，或4个长（x+b）、宽x的矩形的面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积，即4x（x+b）+b2。由此可得方程的正根是

图3

二、图像解法与方程

苏科版数学教材八年级上册第161页向大家介绍了利用一次函数的图像可以求二元一次方程组的解，具体如下：

例2利用一次函数的图像解二元一次方程组

【分析】我们可以借助代入消元法或者加减消元法来求二元一次方程组的解，得我们还可以用一次函数的图像来求二元一次方程组的解，即一次函数和y=2x-3的图像交点坐标是（2，1），那么二元一次方程组的解是

变式解方程x3-2x2-9x+18=0。

解法1：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0，

所以x1=2，x2=-3，x3=3。

【总结】类比之前已学过的各类方程的解法，应把一元三次方程通过降次转化为一次方程来进行求解。

解法2：由x3-2x2-9x+18=0，

得x3=2x2+9x-18。

在同一个平面直角坐标系中，画出函数y=x3和函数y=2x2+9x-18的图像（如图4），它们 的 交 点 坐 标 为A（2，8），B（-3，-27），C（3，27），所以x1=2，x2=-3，x3=3。

图4

【总结】利用两个函数的图像可以求解方程，将方程的解转化为两个函数图像的交点坐标，这里可以看成函数y=x3和y=2x2+9x-18的图像的交点坐标。

数形结合思想是研究数学问题的有效方法之一，利用数量与图形、数量与图像之间的关系，“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，强化代数推理意识，无疑也是求解问题的良策。