现浇板钢筋混凝土框架结构梁端弯矩-转角曲线计算

孙 威

（湖北省电力勘测设计院有限公司，湖北 武汉 430040）

在进行钢筋混凝土框架结构抗震设计时，是否正确考虑现浇楼板对框架梁端受力特性的影响，对能否分析出正确的结构破坏模式至关重要。国内外学者在这方面进行了大量研究，大多数学者以层间位移为控制指标，通过楼板翼缘的有效作用范围，研究楼板效应下结构的不同破坏模式。同济大学和中国建筑科学研究与日本、新西兰和美国合作所完成了两个带楼板的双轴受力节点滞回试验研究，结果表明层间位移达到1/69时，梁的抗负弯矩能力与按整个板宽作为翼缘计算几乎相等。蒋永生等进行的有、无楼板的框架节点对比试验表明，有板节点的梁负屈服弯矩承载力比无板的提高了约30%。Pantazopoulou分析了框架的13个中节点和7个边节点的试验结果，发现不考虑现浇楼板作用会使梁的承载力分别降低25%和17%。

该文通过研究楼板-梁组合结构中主梁和楼板的协同受力特征，归纳出梁端弯矩-转角曲线的变化规律，并将该变化规律以简化计算公式的形式表现出来。推导出的简化计算公式，能够灵活方便地考虑现浇楼板对梁端抗弯承载力的提高效应。最后以某一楼板-梁组合结构为例，利用该简化计算公式，分析得到不同参数条件下的梁端弯矩-转角曲线，同时利用有限元软件ABAQUS建立相应的楼板-梁组合实体模型进行模拟分析。结果表明，该文提出的简化计算公式，能够计算出梁端弯矩-转角曲线，其计算结果与有限元实体建模分析得到的梁端弯矩-转角曲线吻合良好。

1 楼板-梁组合结构端部受力特征

楼板-梁组合结构的端部受力特征，主要表现为材料层面上的钢筋和混凝土两种材料协同作用。在推导考虑楼板效应的梁端弯矩转角关系时，需要考虑钢筋和混凝土两种材料的本构关系，将钢筋本构关系曲线和混凝土本构关系曲线绘于同一应变坐标轴下，如图1所示。从图1中可以看出，在受拉区段（第一象限），钢筋屈服拉应力对应的应变值ε与混凝土峰值拉应力对应的应变值ε差距很大；而在受压区段（第三象限），钢筋屈服压应力对应的应变值ε′和混凝土峰值压应力对应的应变值ε基本相近。这说明，当梁端受拉钢筋屈服时，受拉钢筋周围混凝土早已受拉破坏；而当受压钢筋屈服时，受压钢筋附近的混凝土刚好处于峰值压应力状态。

图1 同一应变坐标轴下钢筋和混凝土材料本构曲线示意图

无论是否考虑楼板的效应，梁端弯矩-转角曲线都可以简化为两个阶段：弹性阶段和塑性阶段。弹性阶段指梁端受拉纵筋屈服前所处阶段，塑性阶段指梁端受拉纵筋屈服及屈服后阶段。图2中，曲线OA段和AB段分别对应于梁端弯矩-转角曲线中的弹性阶段和塑性阶段。这两个阶段对应的梁端截面钢筋和混凝土应变和应力的变化规律分别如图3和图4所示。从图3和图4中可以看出，在弹性阶段，受拉、受压纵筋均未屈服，此时梁端截面符合平截面变形假定，受压区段混凝土应变分布和应力分布均满足线性变化规律。进入塑性阶段，受拉纵筋屈服后，钢筋较大的应变变形导致混凝土受压区应力重分布，此时受压区段混凝土应变分布和应力分布已不满足线性变化规律，而应近似等效为均匀分布情况。

图2 梁端弯矩-转角曲线示意图

图3 梁端截面钢筋和混凝土应变变化规律

图4 梁端截面钢筋和混凝土应力变化规律

2 梁端弯矩-转角曲线简化计算方法

为了确定图2中楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线，首先需要求得点对应的转角值和弯矩值，同时还需要求得塑性阶段曲线的斜率值。记图2中点对应的转角值为，点对应的弯矩值为，弹性阶段曲线的斜率值为，塑性阶段曲线的斜率值为。在计算楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线过程中，计算表达式中的截面相关参数如图5所示。其中，表示节点柱截面宽度；表示梁端截面有效翼缘宽度；表示直交梁计算长度，一般取为框架柱横向净间距的一半；表示楼板厚度；表示纵向板筋间距；表示主梁端部截面的梁宽；表示主梁端部截面的梁高；表示主梁端部截面有效高度；表示单侧楼板有效翼缘宽度范围内板筋面积；A表示主梁端部截面受拉纵筋截面总面积；表示主梁端部截面受压纵筋截面面积；表示主梁端部截面受压区纵筋合力点至截面受压边缘的距离；表示混凝土受压区高度。

图5 楼板-梁组合结构端部截面示意图

2.1 屈服点弯矩M1值的计算

第一步计算截面弹性阶段和塑性阶段交点对应的弯矩承载力值。在研究楼板效应过程中，大部分研究人员采用梁端截面有效翼缘宽度这一参数来衡量楼板对梁端弯矩承载力的影响。影响梁端截面有效翼缘宽度的因素有很多，包括板面钢筋材性、梁高、梁跨、板厚、板宽、直交梁刚度等。因此，梁端截面有效翼缘宽度这个参数综合考虑了在研究梁端弯矩承载力过程中需要考虑的所有因素。笔者通过大量有限元模拟，逐个分析各因素对梁端截面有效翼缘宽度的影响，最终发现，在适筋梁条件下，梁端截面有效翼缘宽度与楼板板筋配筋情况以及直交梁扭转刚度有密切关系。

无论计算梁为中梁或边梁，梁端截面单侧有效翼缘宽度与楼板板筋属性代表系数和直交梁截面面积的关系式拟合如公式（1）所示。

式中：表示楼板板筋属性代表系数，kN/mm；表示直交梁截面面积，mm；表示梁端截面有效翼缘宽度；表示节点柱截面宽度；表示主梁端部截面的梁宽。其中、和的单位均为mm。

公式（1）中的值如公式（2）所示。

式中：表示板筋层数；表示单个纵向板筋面积；表示板筋强度；表示板筋间距。

求得梁端截面有效翼缘宽度后，将其值与直交梁计算长度进行比较，当＜-0.5（-）时，单侧楼板有效翼缘宽度范围内板筋面积Ash值取为直交梁计算长度范围内的纵向板筋面积。当-0.5（-）时，可按公式（3）计算出梁端截面单侧有效翼缘宽度范围内的有效板筋面积值。

此时，混凝土受压区高度值可按公式（4）进行计算。

式中：表示主梁受拉纵筋屈服拉应力；表示主梁受拉区纵向钢筋截面面积；表示与主梁相交的直交梁个数，中梁时取为2，边梁时取为1，独立梁时取为0；表示板筋屈服拉应力；表示单侧板筋有效面积；′表示主梁受压纵筋屈服压应力；′表示主梁受压区纵向钢筋截面面积；表示混凝土强度折减系数；表示混凝土抗压强度标准值；表示主梁矩形截面的宽度。通过简支梁的相关试验数据以及大量有限元模拟验证，点对应的弯矩承载力值如公式（5）所示。

2.2 主梁端部转角θ1值的计算

第二步，计算弹性阶段和塑性阶段交点对应的转角值。由于点处在弹性阶段和塑性阶段交界处，因此可认为点时刻对应的主梁梁端截面符合平截面变形假定。图6为主梁端部转动区域转角示意图，其中阴影部分为主梁端部转动区域，该区域的转角即为点对应的转角值。从图6转动区域尺寸详图中的几何关系可推导出公式（6）所示。

图6 主梁端部转动区域转角示意图

点对应的转角值=+，同时由于和一般较小，因此可认为=sin，=sin，=sin。将=sin，=sin，=sin以及=+带入公式（6）中可推导出点对应的转角值θ，如公式（7）所示。

式中：表示主梁端部转动区域转角；表示主梁端部受拉纵筋屈服应变值；表示主梁端部受压纵筋点时刻对应的计算应变值；表示主梁端部转动区域计算长度；h表示主梁端部转动区域处受拉纵筋和受压纵筋之间的距离。

公式（7）中，值可通过楼板-梁组合结构梁端截面受力平衡方程以及梁端受力纵筋之间的应变线性比例关系求解得到。楼板-梁组合结构梁端截面受力平衡方程如公式（8）所示。

式中：表示主梁端部纵筋弹性模量；表示楼板板筋弹性模量；表示主梁端部受拉纵筋面积；表示楼板有效范围内板筋面积；表示主梁端部受压纵筋面积；表示混凝土抗压强度标准值；表示主梁矩形截面的宽度；表示混凝土受压区高度。

同时，梁端受力纵筋之间的应变线性比例关系如公式（9）所示。

将公式（9）带入公式（8）中可求解出相应混凝土受压区高度，再将值带回公式（9）中，就可以计算出主梁端部受压纵筋点时刻对应的计算应变值。

计算出值后，通过公式（7）可直接求出弹性阶段和塑性阶段交点对应的转角值。

2.3 塑性阶段曲线斜率k2值的计算

第三步，计算塑性阶段曲线的斜率值。通过大量有限元分析可知，塑性阶段曲线的斜率值与主梁相交的直交梁的受扭配筋率、直交梁截面面积以及楼板板筋的配筋情况相关。拟合出的楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线塑性阶段斜率如公式（10）所示。

式中：表示楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线塑性阶段斜率；A表示直交梁截面面积，mm；表示直交梁受扭配筋率；表示楼板板筋属性代表系数，kN/mm；表示主梁塑性阶段初始斜率值，一般取为2；表示与主梁相交的直交梁个数，中梁时取为2，边梁时取为1，独立梁时取为0。

公式（9）中直交梁受扭配筋率计算式如公式（11）所示。

式中：为直交梁受扭配筋率；为直交梁受扭计算中对称布置的全部纵向钢筋截面面积；为直交梁受扭计算中沿截面周边配置的箍筋单肢截面面积；为直交梁矩形截面的宽度；为直交梁矩形截面的高度；为直交梁箍筋间距。

2.4 梁端弯矩-转角曲线简化计算式

由2.1小节和2.2小节可分别求得点对应的弯矩承载力值和点对应的主梁端部转角值，楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线弹性阶段斜率如公式（12）所示。

式中：表示点对应的弯矩承载力值；表示点对应的主梁端部转角值。

再由2.3小节计算得到塑性阶段曲线斜率后，通过已知条件、、和，可推导出楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线如公式（13）所示。

式中：为楼板-梁组合结构梁端弯矩值；为楼板-梁组合结构梁端转角值；为计算曲线弹性阶段斜率；为计算曲线塑性阶段斜率；为曲线转点对应的转角值。

3 算例分析

楼板-梁组合结构有限元分析模型如图7所示。标准配筋模型中的主梁和直交梁端部截面配筋示意图如图8所示，其具体参数如下：混凝土抗压强度30MPa；主梁截面尺寸200mm×500mm；主梁拉、压筋强度为400MPa，拉、压筋直径分别为14mm和12mm。直交梁截面尺寸200mm×500mm；直交梁拉筋、架立筋和压筋强度均为400MPa，拉筋、架立筋和压筋直径分别为14mm、14mm和12mm，直交梁箍筋强度400MPa，箍筋直径10mm，箍筋间距100mm；楼板板筋强度300MPa，板筋直径6mm，板筋间距100mm。同时取主梁纵向钢筋强度、主梁纵向拉筋直径、板筋直径和直交梁受扭配筋率作为变量，进行标准模型算例的平行分析。

图7 楼板-梁组合结构有限元分析模型

图8 标准模型主梁和直交梁端部截面配筋示意图

3.1 有限元分析

在有限元分析软件ABAQUS中建立有限元模型，如图7所示。分别修改主梁纵向钢筋强度、主梁纵向拉筋直径、板筋直径以及直交梁受扭配筋率，取值分别如下：主梁纵向钢筋强度分别取为300MPa、335MPa、400MPa和500MPa；主梁拉筋直径分别取10mm、12mm、14mm、16mm和18mm；板筋直径分别取为6mm、8mm、10mm、12mm；不同受扭配筋率条件下，直交梁的配筋分别为：1）箍筋直径8mm，压筋直径10mm，拉筋直径12mm。2）箍筋直径10mm，压筋直径12mm，拉筋直径14mm。3）箍筋直径10mm，压筋直径16mm，拉筋直径18mm。4）箍筋直径12mm，压筋直径18mm，拉筋直径20mm。通过有限元分析后，得到的楼板-梁组合结构梁端弯矩-转角曲线分别如图9~图12所示。

将图9~图12曲线简化后的关键参数分别汇总于表1~表4中。

图9 不同主梁纵筋强度对应弯矩-转角曲线

图12 不同直交梁受扭配筋率对应弯矩-转角曲线

表1 不同主梁纵筋强度条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

表2 不同主梁拉筋直径条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

表3 不同板筋直径条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

表4 不同直交梁受扭配筋率条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

3.2 简化计算公式

通过第2小节中的梁端转角-弯矩简化计算公式可求得如下转角-弯矩简化曲线，分别如图13~图16所示。

图13 不同主梁纵筋强度对应简化计算弯矩-转角曲线

图16 不同直交梁受扭配筋率对应简化计算弯矩-转角曲线

将简化曲线中的关键参数分别汇总于表5~表8中。

表5 不同主梁纵筋强度条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

表8 不同直交梁受扭配筋率条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2（单位°和kN·m）

3.3 误差分析

图11 不同板筋直径对应弯矩-转角曲线

表6 不同主梁拉筋直径条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2

表7 不同板筋直径条件下转角值θ1、弯矩值M1以及塑性区段斜率值k2（单位°和kN·m）

图10 不同主梁拉筋直径对应弯矩-转角曲线

以有限元的分析数据作为比较标准，将不同主梁纵筋强度，不同主梁拉筋直径，不同板筋直径，不同直交梁受扭配筋率对应的点转角误差值、弹性区段以及塑性区段内弯矩最大误差值分别汇总于表9~表12中。通过表9~表12中的数据可以看出，简化计算公式求得的弯矩-转角曲线与有限元分析得到的曲线，点转角误差值基本控制在3%以内，而整个曲线区段内弯矩误差值基本控制在5%以内。表11 不同板筋直径条件下点对应转角误差、弹性区段以及塑性区段弯矩最大误差（%）

表9 不同主梁纵筋强度条件下点A对应转角误差、弹性区段以及塑性区段弯矩最大误差（%）

表10 不同主梁拉筋直径条件下点A对应转角误差、弹性区段以及塑性区段弯矩最大误差（%）

表12 不同直交梁配筋率条件下点A对应转角误差、弹性区段以及塑性区段弯矩最大误差（%）

图15 不同板筋直径对应简化计算弯矩-转角曲线

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4 结论

采用简化计算公式和有限元分析模型分别计算不同配筋条件下楼板-梁组合结构的弯矩-转角曲线。比较其计算结果，可以得出如下结论：1）与有限元分析方法相比，简化计算公式思路清晰直观，能够方便、高效地求解出梁端弯矩-转角曲线。2）简化计算公式求得的考虑楼板效应后的梁端弯矩-转角曲线，与有限元分析结果吻合良好，关键数据误差基本控制在5%以内，能够满足工程应用的精度要求。该文旨在总结一种考虑楼板效应时，梁端弯矩-转角曲线的简化计算方法。该方法尚存在以下局限性：计算弯矩-转角曲线过程中，仅考虑了弹性阶段曲线和塑性阶段曲线的吻合性，关于弹塑性阶段，由于受力的复杂性，并没有深入研究。针对上述不足，后续的研究工作正在开展中。

图14 不同主梁拉筋直径对应简化计算弯矩-转角曲线