2022年高考平面向量与不等式考点预测

刘常育

平面向量具有代数与几何形式的“双重性”，是高中数学的重点内容，命题方向主要有三个方面：一是平面向量的基本概念、线性运算、坐标表示、数量积、夹角和模. 二是向量的工具作用，主要用来描述题目条件和结论. 三是综合利用平面向量线性运算和数量积运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等知识相交汇，体现以能力立意的命题原则也是近年来高考的命题趋势. 不等式的性质是证明不等式、解不等式的依据. 不等式的解法通常以函数的定义域、集合的基本运算为背景进行考查，含参不等式恒成立问题和基本不等式求最值也是历年高考命题的热点，本节内容命题多为选择题或填空题，难度不大.

那么在2022年的高考中有关平面向量和不等式的哪些考点值得关注呢？预测如下，仅供考生们参考.

考点一、考查平面向量的基本概念及线性运算

预测题1.1 已知平面内一点P及ABC，若++=，则点P与ABC的位置关系是（ ）

A. 点P在线段AB上    B. 点P在线段BC上

C. 点P在线段AC上    D. 点P在ABC外部

解析：选C. 由++=，得++=-，即=-2，故点p在线段AC上.

预测题1.2 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=，=，则=（ ）

A. +   B. +

C. +   D. +

解析：选C. 由题意可知：==，

=+=（+）+=（+）+（+）

=（+）+（-）=+=+，故选C.

点评：本题主要考查平面向量在平面几何中的线性运算问题. 在平面向量的加减法运算中，三角形法则应用尤为广泛.（如：=+=-，P，O是平面内任意一点）

考点二、考查平面向量基本定理及坐标表示

预测题2.1 已知向量=（1，2），=（2，-3）. 若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（ ）

A.（，）     B.（-，-）

C.（，）     D.（-，-）

解析：選D. 先设=（x，y），则+=（x+1，y+2），且+=（3，-1），又因为（+）∥，⊥（+），那么2（y+2）+3（x+1）=0，3x-y=0，解得：x=-，y=-. 故选D.

点评：本题主要考查平面向量的坐标运算及两向量平行与垂直的坐标等价条件.

其中：∥x1y2-x2y1=0;⊥x1x2+y1y2=0条件易混淆出错丢分，多注意.

考点三、考查平面向量的数量积

预测题3.1 平面向量与的夹角为60°，=（3，0），=1 ，则 2+3=（ ）

A. 2  B. 3  C. 2  D. 3

解析：选D. ∵=（3，0），∴=3，则2+32=（2+3）2 =42+12·+92

=42+12cos<，>+92=4×32+12×3×1×+9×12=63，所以2+3===3，故选D.

点评：本题考查了平面向量数量积运算的基本定义，并由特殊结论2=2推导出向量的模长计算公式：=，且进一步推广应用到求解k+？姿中.

预测题3.2 已知ABC是等边三角形，若-？姿与向量的夹角大于90°，则实数？姿的取值范围是________.

解析：因为-？姿与向量的夹角大于90°，所以（-？姿）·<0，即2-？姿·cos60°<0，解得？姿>2. 故填（2，+∞）.

点评：本题考查平面几何中有关向量的夹角问题. 通过对这类题的考查能进一步掌握平面向量数量积的取值与其夹角范围的对应关系. 两个单位向量的夹角是锐角（钝角）的充要条件是两个单位向量的数量积大于0且不等于1（小于0且不等于—1）.

预测题3.3 点O是ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是ABC的（ ）

（A）三个内角的角平分线的交点

（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点

（D）三条高的交点

解析：选D. ∵ ·=·，∴（-）·=0，∴·=0，∴ ⊥ .

同理可得：⊥，⊥，则o是ABC三条高的交点. 故选D.

点评：本题主要考查平面向量在三角形中的应用. 对于这类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论. 特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.

考点四、考查平面向量的综合应用

预测题4.1 在ABC中，AB=，BC=2，∠A=，如果不等式-m≥恒成立，则实数的取m值范围是                 .

解析：在RtABC中，易知AC=1，cos∠ABC=，由-m≥，得2-2m·+m22≥2，即2m2-3m+1≥0，解得m≥1或m≤. 故填：（-∞，]∪[1，+∞）.

预测题4.2 若向量，是一组基底，向量=x+y，（x，y∈R），则称（x，y）为向量在基底，下的坐标，现已知向量在基底=（1，-1），=（2，1）下的坐标为（-2，2），则向量在另一组基底=（-1，1），=（1，2）下的坐标为            .

解析：因为在基底，下的坐标为（-2，2），即=-2+2=（2，4），令=x+y，则=（-x+y，x+2y）=（2，4），所以-x+y=2，x+2y=4，解得x=0，y=2，所以在基底，下的坐标为（0，2）.

预测题4.3 已知⊥，=2，=3. 若点P是ABC所在平面内的一点，且=+t·，则·的最小值等于             .

解析：以点A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图. 则A（0，0），B（2，0），C（0，3），P（1，t），

所以=（1，-t），=（-1，3-t）.

所以·=-1-t（3-t）=t2-3t-1=（t-）2-≥-，当t=时取最小值，

所以·的最小值为-.

点评：平面向量既可以直接命题也可以作为数学解题工具与其它知识结合起来，应用十分广泛.它不仅可以和函数，不等式，三角函数，平面几何，解析几何等多个知识进行综合命题，也可能将其某个相关概念进行扩展延伸进行创新命题（例如：预测题4.2）.

求平面向量的模和数量积的最值（或取值范围）常用方法有两种：

一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值（或取值范围）;求的平面向量的模可以先利用=或2=2转换成数量积再求解.

二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值（或取值范围）.

考点五：含参数的不等式解法与恒成立问题

预测题5.1  解关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0.

解析：原不等式等价于（ax-1）（x+1）>0.

当a=0时，不等式等价于-x-1>0，解集为{x|x<-1};

当a>0时，不等式等价于（x-）（x+1）>0，解集为{x|x>或x<-1}.

当-1

当a=-1时，不等式等价于-（x+1）2>0，解集为.

当a<-1时，不等式等价于（x-）（x+1）<0，解集为{x|-1

预测题5.2  对于任意实数x，不等式tx2+tx-1<0恒成立，则实数t的取值范围是________.

解析：当t=0时，tx2+tx-1=-1<0，不等式恒成立;当t≠0时，由t<0，=t2+4t<0，解得-4

预测题5.3 已知关于x不等式x+2+x-3>a2-a-1恒成立，則参数a的取值范围是            .

解析：由绝对值不等式可知：x+2+x-3≥（x+2）-（x-3）=5，则有a2-a-1<5即a2-a-6<0，解得-2

点评：这里考查了含有参数的不等式解法与不等式恒成立问题. 解决这类问题的常用方法有两种：一种是直接通过对参数进行分类讨论求解;另一种则是先通过参数分离，再转换成函数的最值问题来求解. 此类题目变化多样，要多积累总结.

考点六：应用基本不等式求最值的问题

命题角度一：直接应用基本不等式或凑数（或凑项后）再求不等式的最值问题

预测题6.1  已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则xy的最大值是

解析：∵x>0，y>0，∴x+2y=8-2xy≥2=2·，解得0<≤即0

预测题6.2 当0

解析：∵00，则y=x（8-2x）=2x（4-x）≤2（）2=8. 当且仅当x=4-x即x=2时，y取得最大值8.

预测题6.3 已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（ ）

A. 1    B.     C. 2    D.

解析：选B.  ∵x∈（a，+∞），∴x-a>0，则2x+=2（x-a）++2a≥2+2a=4+2a（当且仅当x-a=1即x=1+a=时取等号），故有4+2a≥7，解得a≥.

点评：应用基本不等式求最值时必须注意“一正、二定、三相等”：一正即各项为正数;二定就是积定则和有最小值，和定则积有最大值，解题时定值很多时候是需要通过配凑得到的;三相等就是必须验证等号成立的条件，这是最容易出错的地方.

命题角度二：巧用“1”的代换或通过换元变形后再利用基本不等式求最值

预测题6.4 已知a>0，b>0，a+b=1，则+的最小值为           .

解析：∵a>0，b>0，a+b=1 ∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=5+2，故最小值为5+2.

预测题6.5 已知x>1，则的最小值为             .

解析：∵x>1，∴x-1>0，则==2（x-1）++2≥2+2=2+2（当且仅当2（x-1）=即x=1+时取等号）.

点评：当遇到ax+by与+两者已知一个求另一个最值时，可以通两者乘积运算变形后再应用基本不等式求解. 另形如y=这类函数的最值问题都可以化为y=A（x+d）++C形式后，再应用基本不等式或利用对勾函数性质或导数来求解其最值.

命题角度三：平方或通过代换减元后再应用基本不等式求最值

预测题6.6 若x>0，y>0，且2x2+=8，求x的最大值.

解析：已知x>0，y>0，现设t=x>0，则t2=x2（6+2y2）=2x2（3+y2）.

又∵2x2+=8，即6x2+y2=24，

∴ t2=2x2（3+y2）=×6x2（3+y2）≤×（）2=.

∴ t=x≤=，故x最大值为.

预测题6.7 设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为__________.

解析：∵x2-3xy+4y2-z=0，∴z=x2-3xy+4y2.

∴==+-3≥2-3=1，等号成立条件为x=2y.

∴ z=x2-3xy+4y2=（2y）2-3·（2y）y+4y2=2y2.

所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y=-2（y-1）2+2≤2.

故x+2y-z的最大值为2.

点评：当遇到不常规的最值问题时，可以思考是否能通过适当的变形，转化成我们熟悉的基本不等式类型来解决. 预测题6.6就采用了平方后再用基本不等式求最值. 预测题6.7则是通过基本不等式最值成立条件进行代换减元的方式求出结果.

总之，在高考复习中，要熟练掌握平面向量与不等式的知识概念，理解它的重难点所在. 考生要切实加强数学推理与化归转换能力. 在解题时要强调认真审题与计算，减少粗心与疏漏，考前还要重视对各类创新型题目的研究，力求在高考中取得满意的成绩.

责任编辑 徐国坚

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