探究问题本质，提升解题能力

马进

一、考题探究

（2021年高考全国I卷）若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）

A. eb

【考查目标】必备知识：主要考查导数几何意义、直线的方程、利用导数研究函数的性质;核心素养：考查考生的逻辑推理能力、数学运算能力.

【思路分析】设切点P（t，et），利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点在切线上且在已知函数的图像上，可得关于t的方程，且该方程有两个不同的解，最后通过构造函数，转化为两个函数的图像有两个不同的交点，利用导数判断新函数的单调性，从而作出新函数的大致图像，即可得出正确的结论.

【解法一】设过点（a，b）与曲线y=ex相切点P（t，et），对函数y=ex求导，得y′=ex，

所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=et（x-t），即y=etx（1-t）et .

由题意可知，点（a，b）在直线y=etx（1-t）et上，可得b=aet+（1-t）et=（a+1-t）et .

令f（t）=（a+1-t）et，则f ′（t）=（a-t）et.

当t0，此时函数f（t）单调递增，

当t>a时，f ′（t）<0，此时函数f（t）单调递减，

所以，f（t）max=f（a）=ea .

由题意可知，直线y=b与曲线y=f（t）的图像有两个交点，

则b

当t0，当t>a+1时，f（t）<0，作出函数f（t）的图像如下图所示：

由图可知，当0

【解法二】设过点（a，b）与曲线y=ex相切点P（t，et），对函数y=ex求导得y′=ex.

所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=et（x-t），即y=etx+（1-t）et，

由题意可知，点（a，b）在直线y=etx+（1-t）et上，可得b=aet+（1-t）et=（a+1-t）et，

即（a+1-t）et-b=0，

令g（x）=（a+1-t）et-b，则g′（t）=（a-t）et.

当t0，此时函数f（t）单调递增，

当t>a时，f ′（t）<0，此时函数f（t）单调递减，

由g（a）>0，可得b

【解法三】函数y=ex是增函数，即y′=ex>0恒成立，所以切点在x轴上方，若点（a，b）在x轴上或x轴下方，连线斜率小于0，不成立;

若点（a，b）在曲线上，只有一条切线，不满足条件;

若点（a，b）在曲线上方，没有切线，不满足条件;

所以只有当点（a，b）在曲线下方，并且x轴上方时，有两条切线，即0

【点评】求解与切线有关的问题时，若题目中没有给出切点坐标，那么，我们解题时就应设出切点坐标，再写出过该点的切线方程.

二、解题方法

（一）导数的几何意义：函数y= f（x）在x=x0处的导数f  ′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k=f ′（x0）= .

（二）曲线的切线的求法：若已知曲线过点P（x0，y0），求曲线过点P的切线，则需分点P（x0，y0）是切点和不是切点两种情况求解.

（1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）;

（2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P ′（x1，f（x1））;

第二步：写出过P ′（x1，f（x1））的切线方程为y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1）;

第三步：將点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1;

第四步：将x1的值代入方程y- f（x1）= f  ′（x1）（x-x1），可得过点P（x0，y0）的切线方程.

（三）求曲线y= f（x）的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P（x0， y0），求y= f（x）过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′（x0），由点斜式写出方程;

（2）已知切线的斜率为k，求y= f（x）的切线方程：设切点P（x0，y0），通过方程k= f ′（x0）解得x0，再由点斜式写出方程;

（3）已知切线上一点（非切点），求y= f（x）的切线方程：设切点P（x0， y0），利用导数求得切线斜率 f ′（x0），再 由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程.

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′（x0）求出切点坐标（x0，y0），最后写出切线方程.

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上;②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点. 因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.

三、教材原型

苏教版  选择性必修第一册  第193页：

（1）求曲线y=ex在x=0处的切线方程;

（2）过原点作曲线y=ex的切线，求切点坐标.

【解析】设f（x）=ex，所以f ′（x）=ex，则f ′（0）=1，f（0）=1，

故切线方程为y-1=1×（x-0），即x-y+1=0.

（2）设切点坐标为（t，et），则f ′（t）=et，所以切线方程为y-et=et（x-t），

又因为切线y-et=et（x-t）经过原点，所以0-et=et（0-t），解得t=1，

即切点坐标为（l，e）.

【点评】（1）需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率;二是该点坐标满足已知曲线的方程.

（2）当某点不在曲线上求过此点的切线问题时，要先设出切点坐标，利用导数几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求方程.

（3）当不能确定曲线上的点（x0，f（x0））是否为切点时，要注意分（x0，f（x0））是切点和不是切点两种情况进行讨论.

四、变式探究

（一）两曲线的公切线问题

例1. 已知函数f（x）=x2-x+t（t≤0），g（x）=lnx，直线l与函数f（x），g（x）的图像都相切. 试讨论直线l的条数，并说明理由.

【思路分析】

1. 设两个不同的切点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

2. 分别写出切线方程l1：y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1），

l2：y-f（x2）=f ′（x2）（x-x2）.

3. 因为l1，l2为同一直线，所以f ′（x1）=f ′（x2），f（x1）-x1  f  ′（x1）=f（x2）-x2  f ′（x2）.

4. 研究方程组x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22是否有解.

【解析】设直线l分别切f（x），g（x）的图像于点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

由f ′（x）=2x-1，得l的方程为：y-（x12-x1+t）=（2x1-1）（x-x1）.

由g′（x）=，得l的方程为：y-lnx2=（x-x2）.

所以2x1-1=，-x12+t=lnx2-1，消去x1得：lnx2+-（t+1）=0.……①

令h（x）=lnx+-（t+1），x>0，

则h′（x）=-==.

令h′（x）=0，得：x=1.

当x∈（0，1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减;

当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增.

从而h（x）min=h（1）=-t.

当t=0时，h（x）min=0，方程①在（0，+∞）存在唯一解，即存在一条满足题意的直线.

当t<0时，h（x）min>0，方程①在（0，+∞）无解，不存在满足题意的直线.

（二）曲线的双切点问题

例2. 已知函数f（x）=2lnx+x2-ax，a∈R，是否存在一条直线与函数y=f（x）的图像相切于两个不同的点？并说明理由.

【思路分析】

1. 设两个不同的切点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

2. 分别写出切线方程l1：y-f（x1）= f ′（x1）（x-x1），

l2：y-f（x2）= f ′（x2）（x-x2）.

3. 因为l1，l2为同一直线，所以f ′（x1）=f ′（x2），f（x1）-x1  f ′（x1）=f（x2）-x2  f ′（x2）.

4. 研究方程组x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22是否有解.

【解题策略】

方法1：由x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22.

消去x2，得2ln+-=0. ……①

令t=，由0

记p（t）=2lnt+-t，则p′（t）=--1=-<0，

所以p（t）为（0，1）上的单调减函数，所以p（t）>p（1）=0.

从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数f（x）的图像有两个不同的切点.

方法2：由x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22，

得：2ln===-. ……①

令t=，由0

记p（t）=2lnt+-t，则p′（t）=--1=-<0，

所以p（t）为（0，1）上的单调减函数，所以p（t）>p（1）=0.

从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一條直线与函数f（x）的图像有两个不同的切点.

【点评】解决一个函数的双切点及两个函数公切线问题常用方法是：设出两个切点坐标，分别求出两条切线方程，再根据两个切线方程重合求解

五、感悟高考

已知函数f（x）=x2+2x+a，x<0lnx，x>0其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），为该函数图像上的两点，且x1-ln2-1.

【证明】当x<0时，f ′（x）=2x+2;当x>0时，f ′（x）=.

所以当x1x1>0时，f ′（x1）≠f ′（x2），所以x1<0

函数f（x）的图像在点（x1，f（x1））处的切线方程为：

y-（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12+a.

函数f（x）的图像在点（x2，f（x2））处的切线方程为：

y-lnx2=（x-x2），即y=·x+lnx2-1.

所以=2x1+2，    ……①lnx2-1=-x12+a  ……②

由①及x1<0

由①②消去x2得，a=x12+ln-1=x12-ln（2x1+2）-1.

令t=2x1+2，t∈（0，2），则x1=-1.

记p（t）=（-1）2-lnt-1=-t-lnt，t∈（0，2），

则p′（t）=-1-=<0，所以p′（t）在（0，2）是减函数.

则p′（t）>p（2）=-ln2-1，所以a>-ln2-1.

责任编辑 徐国坚

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