数形结合思想之点化开窍

涂天明

一、引言

新版的普通高中课程标准指出，立德树人的育人导向体现在数学科的特点，就是学生在获得四基、提高四能过程中发现数学学科核心素养并逐步增强. 慢慢学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界. 而数学核心素养的灵魂是理性思维、科学精神. 标准还指出，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学. 形是山，数是水，数与形完美结合就像美丽的青山绿水. 数形结合思想是基本数学思想，贯穿于整个高中数学. 数学之本源于对现实世界的抽象，基于抽象结构通过符号运算、形式推理、数模建构等等方式实施. 伴随着新课程标准的实施以及新教材的使用，新高考也备受关注，从2021年高考新课标I卷数学试题分析，数形结合思想依然是命题的热点. 为莘莘学子科学备考、少走弯路，就数形结合思想而言，准备充分就能争取主动.

二、读懂读透教材中的数形结合思想

数学概念的结构经历从简单文字描述到精益求精的定量刻画，以代数为例，开始仅用来计算和解方程. 随着几何的代数化，数与形结合，几何也拓展到平面向量、空间向量于是产生了向量法. 用向量法研究几何问题，同坐标方法一样有其独到之处. 数形结合思想就是通过演绎方法研究形式结构. 由于形式的特点，演绎需要一个精确而严密的标准，研究几何图形直觉思维多，而代数方法逻辑推理多因此严谨. 学习新教材要注意内容与形式的结合，数与形的结合，注重思想方法的提炼，最终提升学生数学科核心素养.

1. 三角与函数

三角变换、图像性质、解三角形是三角部分三大件，是历年高考必考内容. 几何中的定性定理转化为可计算的定量演算，通过三角函数计算是解三角形中常用的数形结合. 例如，三角形中已知两边及夹角第三边就能确定，即余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，余弦定理的证明实质就是诠释数形结合思想.

例1. △ABC中，求证：a2=b2+c2-2bccosA.

【分析略解】思路1（向量法），△ABC中，=（+）2=++2·，即a2=b2+c2-2bccos（？仔-A）=b2+c2-2bccosA. 也可用坐标法，以A为原点，AB为建立如图所示的平面直角坐标系，则B（c，0），C（bcosA，bsinA），用两点间距离公式知，a2=（a-bcosA）2+（bsinA）2=b2+c2-2bccosA.

思路2（三角函数法），由正弦定理，

∴ a2=（2RsinA）2=4R2sin2（B+C）=4R2（sinBcosC+cosBsinC）2

=4R2（sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBcosCcosBsinC）

=4R2（sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+2sinBcosCcosBsinC）

=b2+c2-4R2（2sin2Bsin2C-2sinBcosCcosBsinC）

=b2+c2-8R2sinBsinC（sinBsinC-cosBcosC）=b2+c2+2bccos（B+C），

∴a2=b2+c2-2bccosA.

【点化开窍】向量法和坐标法都是数形结合思想，形式上不同但本质相同，容易理解也容易想到. 三角函数法完全离开了图形，基本是纯三角变换求得，只是演算比较繁琐.

例2.當0≤x≤2？仔时，由直线y=3与余弦曲线y=3cosx围成封闭图形的面积是______.

【分析略解】从图形看，由定积分的几何意义可知所求面积为（3-3cosx）dx，∵（，0），（，0）都是余弦曲线的对称中心，利用中心对称，∴ S=×6×2？仔=6？仔. 故填6？仔.

【点化开窍】新教材将解三角形放在平面向量的应用，并不等于弱化正余弦定理的应用，处理三角形中的边角转换符合数形结合思想. 本例用中心对称把矩形面积等分成两部分，自数而入，以形结束，真能体验数形结合思想之妙.

2. 向量与几何

新教材对向量的定位是向量法，平面向量、空间向量都如此. 学习向量法容易误解成建立坐标系用坐标法解决问题.向量的初等线性运算、数量积运算都有明显的几何意义，而平面几何、立体几何都有图形背景的定性研究问题，用向量法结合向量的几何意义或物理意义解决问题既有形的直观也有数的严谨.

例3. △ABC中，++=且==，求证：△ABC是正三角形.

【分析略解】设+=，∵ ++=，∴  =-，∴=，∵==，且OBDC是菱形，∴△OBD是正三角形. ∴∠OBC=30°，同理可知∴∠OBA=30°，即∠ABC=60°，同理∠BCA=∠CAB=60°，∴△ABC是正三角形.

【点化开窍】从过程看全是向量运算，若离开了图形，OBDC是菱形就不显然了，所以数形结合之关键可见一斑. 空间向量的线性运算和数量积运算也如此，过程之简颠覆人们想象. 平面几何与立体几何运算中用数形结合思想、几何意义解决，利用正交分解将几何问题向量化、生活化. 通过向量运算的几何意义证明几何问题、简化运算，体会向量集代数、几何于一身的特点，即可用数形结合思想研究.

3. 函数与曲线

说数形结合贯穿于整个高中数学一点也不过分，通过图像研究函数的性质是我们一贯的方法. 研究函数的定义、图像、性质三部曲. 而数形结合思想又将函数、方程、不等式紧紧联系在一起，所以函数与曲线本身就是诠释数形结合思想.

例4. 设函数g（x）=min{5-x，x+1，2x}，则函数g（x）的值域是________.

【分析略解】在同一坐标系中分别画出y=5-x，y=x+1，y=2x的图像，如图，观察图像可知，当x∈（-∞，2]时，函数g（x）单调递增，当x∈[2，+∞）时，函数g（x）单调递减，即函数g（x）在函数x=2时函数（g（x））max=g（2）=3，结合图形知函数g（x）的值域为（-∞，3]，故填（-∞，3].

【点化开窍】本例若用分段函数表示，难且抽象，将不同解析式的三个函数图像画在在同一坐标系中，数形结合问题迎刃而解. 教材中零点存在性定理拓展部分，一元二次方程根的分布问题，有很多可以总结的习题，将它们适当延伸或拓展一定会有意想不到的收获.

4. 直线与圆锥曲线

现实中，考生学习数学也经常用坐标方法即解析法.建立适当的平面直角坐标系，设出点的坐标，试图把直线或圆锥曲线转化为方程来解决，是逻辑主义者. 另一些人认为几何问题应该从几何切入，抽象概括，用逻辑推理证明，是直觉主义者. 横看成岭侧成峰，远近高低各不同. 就是从不同的角度看同一风景效果大不一样. 用在数学上就是从代数或几何切入同一问题各有千秋，前者不能在空间中想象，后者十分厌倦繁琐的演算. 直觉主义者与逻辑主义者都是相对的，只有数形结合思想，才能在两者之间拿捏得游刃有余，恰到好处.

例5. 若双曲线的顶点、对应的焦点到渐近线的距离分别为10、30，求该双曲线的离心率.

【分析略解】放入坐标系中如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线垂足为B、C，易知△OAB与△OFC相似，则双曲线的离心率为：e=====3.

【点化开窍】圆锥曲线本身就是曲线与方程两个方面，求曲线方程和根据方程研究去曲线就是解几中两大典型问题. 本例离心率的计算，转化为几何中相似三角形对应边成比例. 可以看到，图中没有双曲线但解决问题的过程中用到离心率的定义，数与形有机结合.

5. 微积分与曲线

以导数、微分、积分为工具，用数学分析方法研究曲线，是高等数学主要内容. 坐标方法下，用坐标表示点，用方程表示曲线. 导数就是曲线的切线的斜率，定积分就是曲边梯形的面积，微分是函数增量的线性主部. 根据微积分基本定理，牛顿莱布尼兹公式把两者紧紧联系在一起，导数及其应用也是为高等数学打基础.

例6. 求过点（0，-1）的曲线y=-4x3+5x-1的切线方程.

【分析略解】很显然点（0，-1）在曲线y=-4x3+5x-1上，∵y′=-12x2+5，∴ k=y′│x= 0=5，所以所求切线方程为y=5x-1，即5x-y-1=0.

【点化开窍】注意到图中虚线为原函数导数y′=-12x2+5的图像，且ymax=5（x=0），所以点（0，-1）是拐点. 不妨延伸一下，若换成点（1，0）情况会怎么样？很明显点（1，0）也在曲线上，用同样的办法也能求出一条切线7x+y-7=0. 数形结合，很明显还有一条2x-y-2=0（如图过程略）. 回到前面的例2，用微积分基本定理之牛顿莱布尼兹公式可求S=（3-3cosx）dx=（3x-3sinx）=6？仔-sin2？仔-（0-3sin0）=6？仔.

三、梳理驾驭解题中的数形结合思想

基于数学学科核心素养的数学教学倡导我们发挥数学的内在力量，数学育人要用数学的方式，其价值取向就是用一般的方法，通性通法考生更容易接受. 数形结合思想既然能贯穿于整个高中数学中，它的常用题路就更显重要. 考生要用一般性数形结合思想，越常规越重要，考生越容易想到，而不是剑走偏门，弄那些特殊化边缘化的技巧.

1. 代数中的数形结合思想

函数、方程、不等式以及函数与导数离不开函数图像很多问题需要结合图像切入. 除此外復数的几何意义、集合的表示方法，Venn图以及数轴标根法也和图形有关，下面举例说明.

例7. 集合A={x│x<1}，B={x│x≥-}，则图中的阴影部分表示的集合为_______.

【分析略解】本题是一个简单的Venn图，表示CA∪B（A∩B），∵A∪B=R，A∩B=[-，1），∴CA∪B（A∩B）={x│x<-或x≥1}. 故填（-∞，-）∪[1，+∞）.

【点化开窍】两个集合的交叉关系是计数问题中比较直观的体现，两集合之间的交、并、补运算用Venn图表述更具直观性.

例8. 若复数z满足方程z+3+z-2=10，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（     ）

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段

【分析略解】复平面内，复数-3，3对应点之间的距离为6，而动点到这两个点之间的距离之和为10，故满足条件的复数对应点的轨迹是椭圆，如图，选A.

【点化开窍】从z+3+z-3=10，数形结合选A. 实际应用时要注意条件2a>F1F2，当2a=F1F2时，轨迹为线段F1F2，2a

例9. 解不等式：

【分析略解】这种带根式的不等式一般的处理方法都是代数方法：

原不等式？圳x>0，4x-x2≥04x-x2

∴原不等式解集为（2，4].

【点化开窍】如果构造两个函数，在同一坐标系中画出函数y=，y=x的图像，由图像直观可以看出它们交于（0，0），（2，2）两点，x>2时直线在上方，结合定义域知原不等式解集为（2，4].

例10. 若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（   ）

A. eb

【分析略解】曲线y=ex时指数曲线，是下凸曲线，过凹面一侧的点作不了切线，过曲线y=ex上的点可作一条曲线，利用排除法可知，点A（a，b）的位置应是凸面一侧，剩下的问题就好办了. 过点A（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，说明点A（a，b）在x轴与曲线y=ex之间，即曲线y=ex凸面一侧，∴b∈（0，ea），故选D.

【点化开窍】新的课程标准倡导我们的课堂教学，都要按培养学生数学学科核心素养为导向，直观想象、数学抽象、逻辑推理直接就与图形相关，数学模型也有几何模型，当然也离不开图形. 本题很有特点，由点的位置决定正确选项，既符合逻辑，又形象直观.

例11. 求函数 f （x）=+的值域.

【分析略解】利用配方法将函数解析式化为f （x）=+=+，

就是两点间距离公式模型，即坐标系内动点M（x，y）到两定点A（-1，1），B（1，-1）的距离之和MA+MB，∵AB经过原点O，结合图形可知动点M（x，y）在原点时MA+MB最小，即（MA+MB）min=AB=2. 所以函数 f （x）=+的值域为[2，+∞）.

【点化开窍】当然也可以用均值不等式结合定义知 f （x）≥2=2≥2且等号能成立. 离开了图形，这种方法很难想到.

例12. 已知f （x）=4x-x2，若方程f （x）=kx+2有4个相异实根，求实数k的取值范围.

【分析略解】在同一坐标系中，分别作出y=f （x），y=kx+2的图像，用数形结合思想，关键在于过点P（0，2）的直线中，与中间那段抛物线相切时对应的斜率k. 令4x-x2=kx+2，整理得x2+（k-4）x+2=0，∴△=（k-4）2-8=k2-8k+8=0，解得k=4-2 （结合图形舍去k=4+2） ，∵k=-时，方程有3个相异实根，所以满足条件的实数k的取值范围是（-，4-2）.

【点化开窍】本例用图像交点的个数得出方程根的个数，是数形结合思想，k的取值变化时交点的个数也随之变化，也有分类讨论思想. 既有直觉主义者的直观，又隐含严谨的逻辑关系，是一道非常典型的案例.

2. 三角中的数形结合思想

三角函数中的数形结合可以归结为函数图像的应用，但三角函数有周期性，很特殊. 三角变换与解三角形又有密切联系，可以一并处理.

例13. 若函数f （x）=Asin（？棕x+？渍）（A>0，？棕>0，？渍<）一个周期内的图像如图所示. 则函数的解析式________.

【分析略解】采用先易后难法，由图可知，最大值4及最小值-4，且A>0，∴A=4，图像过点（0，2），∴sin？渍==，∵？渍<，∴？渍=. 这些都挺容易，本题难点是通过周期求？棕，根据五点法，图中的点（，0）相当于标准的正弦曲线五点中的第五点，于是令+=2？仔 解得？棕=2，故填f （x）=4sin（2x+）.

【点化开窍】根据解析式画出三角函数f （x）=Asin（？棕x+？渍）一个周期的图像很容易，反之，根据其一个周期大致图像确定其解析式也不难，只需按套路即可. 只是本题没有按常规方法给出条件，所以处理起来也不能按常规.

例14. cos=-cos=_____.

【分析略解】因，都不是特殊角，直接变形难度大，也不现实. 构造如图所示的图形使A=，∠ABC=∠C=，作∠ABC的角平分线BD，则∠ABD=∠DBC=，∴∠BDC=∠C=，∴ AD=BD=BC，设为1. ∵AB=AC，∴2cos=1+2cos，即cos-cos=，故填.

【点化开窍】本例通过构造图形模型，解决三角函数求值问题，独具匠心，可以说离开了图形无从谈起，是数形结合思想的典例.

例15. 设点O是△ABC所在平面内一点，且==，AB=25，AC=24，则·=________.

【分析略解】==说明O是△ABC的外心，==即△ABC的外接圆的半径，设为R，则所求即可转化为三角计算. 设===R，则·=（+）·=R2cos2C+R2cos（？仔-2B）=2R2（sin2B-sin2C）=（b2-a2）=（242-252）=-，故填-.

【点化开窍】本题可以算是由形到数，图形中·两个向量关系不明显. 先结合图形利用外心的性质，将所求数量积·转化为代数式2R2（sin2B-sin2C）就明显了，再做计算易如反掌.

3. 解析几何中的数形结合思想

例16. 求函数y=的值域.

【分析略解】本例用三角方法肯定能行，但构造图形特别简单. 因动点（cosx，sinx）在单位圆上运动，M（2，0）是定点. 函数值y即单位圆上动点与定点M（2，0）连线的斜率取值范围. 作切线MA、MB，A、B为切点，单位圆中，∵OA=OB=1，OM=2，∴∠OMA=∠OMB=30°，∵kMA=-，kMB=，结合图形数形结合可知y=的值域是[-，].

【点化开窍】由构造斜率公式模型，数形结合，借助图形直观得出结果，出奇制胜.

例17. 实数满足x-y-1=0，求二元函数？渍（x，y）=+的最小值.

【分析略解】本例较为抽象，难以切入，考虑到式子结构，配方变换为？渍（x，y）=+有明显的两点间距离公式模型，？渍（x，y）即直线x-y-1=0上的动点M（x，y）到两定点A（-3，2），B（0，1）的距离之和. 结合图形，先求点B（0，1）关于直线x-y-1=0对称的点C（2，-1），∵MB=MC即？渍（x，y）转化为MA+MC，数形结合可知拉直时，？渍（x，y）min=AC==.

【点化开窍】构造图形模型解决数学问题，有一定创新，有其独到之处，这种问题离开图形就寸步难行，这是数形结合.

例18. 椭圆？赘 ∶ +=1的右焦点为F2，过点F2的直线与椭圆？赘交于A、B两点，N为线段AB的中点，延长线段ON交椭圆？赘于点E. 求证：=2的充要条件是AB=6.

【分析略证】解析几何就是用代数的方法研究几何问题，原本就是数形结合. 本例以方程研究椭圆性质，从图形看AB的长与点N在OE上的位置之间的关联并不明显，按常规判断很难. 好在题目给出了=2与AB=6之间是等价的. 所以只需分必要性、充分性推进即可. 设点A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），当直线AB与x轴重合时，依题意N即原点O，易知不合题意，舍去;∵c2=a2-b2=16-4=12，∴F2（2，0），于是设直线AB的方程为：x=my+，联立方程组x=my+，x2+4y2-16，消去x，得关于y的一元二次方程：（m2+4）y2+4my-4=0，由 N为线段AB的中点可解得点N的坐标为（，-）. ①若=2，则点E的坐標为（，-），由点E曲线？赘上，得+=16，解得m2=8（m2=-4舍去）. ∵（y1+y2）2=（-）2=，4y1y2=-=-，由弦长公式AB===6 ∴ . 必要性得证. ②若AB=6，由①得=3，∴m2=8. ∴点N的坐标为（，±），射线ON方程为：y=±x（x>0），由  y=±x（x>0），x2+4y2=16，解得x=，y=±，∴点E的坐标为（，±），∴=2. 即充分性得证. 综上，=2的充要条件是AB=6.

【点化开窍】从过程看完全就是演算，对方程的处理占大部分篇幅，深刻体现了数形结合思想，后半部分设而不求，妙在其中. 与其说是是证明，不如说是计算.

4. 立体几何中的数形结合思想

虽然立体几何、平面几何都应该以逻辑推理为主，但向量法特别是坐标系下以坐标的形式解决立体几何有关问题，也是形转化为数.

例19. 正方体ABCD-A′B′C′D′中，E在AB 上，点E在什么位置时，平面A′BC′与平面A′EC′所成角的余弦值为.

【分析略解】按空间角的一般求法是做二面角的平面角再计算. 但点E不是定点，所以其平面角也不确定. 探索性问题本身就难以下手，从图形切入不现实. 只要将正方体放入坐标系，即建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，∵E在AB 上，可以设E（1，t，0）（0

【点化开窍】大漠孤烟直，形如直线与平面垂直. 长河落日圆，容易联想直线与圆的位置关系. 数形结合思想就是数学文化的一种诠释，比如对称美，简洁美. 本题主要考查面面角、空间向量在立体几何中的应用等知识要点，自形而出，以数收官，完美！

例20. 四面体ABCD中，平面AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BD=c，若四面体ABCD的外接球的表面积为，求a2+b2+c2的值.

【分析略解】由于a，b，c都是字母形式，所以很难联系外接球的半径. 注意到都是对棱相等，将四面体不幸成为长方体使其前后、左右、上下面对角线分别为a，b，c，则四面体和长方体外接球相同且直径为d=，半径为r==，依题意其外接球的表面积为S=4？仔r2=4？仔·=，∴a2+b2+c2=3.

【点化开窍】分割与组合，不规则图形转化为规范图形是基本题路，这里数形结合是点睛之笔.

5. 概率统计中的数形结合思想

概率统计主要体现核心素养中的数据处理，最多抽象概括，从思想方法看数形结合也不能忽视. 例如，用观测数据的散点图判断变量之间是否有线性的相关关系，关键看图中这些点是否能分布在一条直线附近. 下降趋势是负相关，上升趋势是正相关. 除此外，用散点图还可以判断变量之间是否有非线性的相关关系，或进一步进行更为精准的统计分析，是直觉思维而非逻辑思维，统计图表的研究与处理、概率密度曲线的研究都需要用数形结合思想.

例21. 若变量？孜服从标准正态分布？孜～N（0，1），则变量小于2的概率为P（？孜<2）=_______.

【分析略解】∵？孜～N（0，1），∴E？孜=0，？滓？孜=1，结合正态曲线的对称性以及3？滓原理知P（？孜<2）=1-（1-0.9544）=0.9772，故填0.9772.

【点化开窍】正态分布曲线的性质告诉我们对称是典型性质，根据3？滓原理，变量在均值的两个标准差邻域内的概率是0.9544，这才是那把开启智慧之门的钥匙.

例22. 交警部门从某驾校2021年学员科目一科目四考试平均成绩（笔试成绩）中抽出100名学员，将其笔试成绩（四舍五入均取整数）分成四段[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后画出的频率分布直方图如图所示，根据样板数据估计该驾校2021年所有学员的平均笔试成绩.

【分析略解】频率分布直方图的处理太普通了，本里也不例外，按老套路走即可. 平均笔试成绩为：65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.6=88.

【点化开窍】这里最关键的是，每一个方的高不是频率，而是频率除以组距，除非组距为1，组中值是指区间端点数的平均值. 除此外频率分布直方图还可以用来求中位数，先确定中位数所在区间，设为x，用等分两边面积各半计算.

6. 函数与导数中的数形结合

导数的几何意义、物理意义以及用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，都需要高精确度的函数图像. 高等数学对函数的进一步研究、微积分方法是学习理工科的敲门砖，数形结合思想之重要就不言而喻了.

例23. 已知函数y=sinx的图像与直线y=kx（k>0）有且仅有七个公共点，且交点的横坐标的最大值为？琢，则的值是_______.

【分析略解】f （x）的图像与直线y=kx（k>0）的三个交点如图所示，且在（3？仔，）内相切，其切点为A（？琢，-sin？琢），？琢∈（3？仔，）. 由于f ′（x）=-cosx，x∈（3？仔，），由导数的几何意义，数形结合，？琢最大时切点在最右边，即-cos？琢=-，即？琢=tan？琢，故填1.

【点化开窍】函数与导数本来就很难，如果选用三角函数与导数再结合图像用数形结合思想，难度就更加大. 这种题目有点边缘化，注意只能锦上添花，不能雪中送炭.

例24. 已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+

【分析略解】这是2021年高考新课标I卷数学压轴题，很多数学爱好者都研究过，有深刻的高数背景，有很多精彩的解答这里就不到赘述了，这里主要分享本题中的数形结合思想.

第（1）小题求导数研究函数的单调性基本算送分，∵ f ′（x）=-lnx，结合定义域知函数f （x）分别在（0，1）和（1，+∞）单调递增和单调递减，注意到函数f （x）=x（1-lnx）的零点是e，0虽不是零点，但∵，构造函数f （x）为f （x）=0，（x=0）x（1-lnx），（x>0）这时f （x）在x=0处有定义且连续. 这样就可大致画出函数f （x）的图像如图.

第（2）小题中，blna-alnb=a-b？圳-=-？圳（1-ln）=（1-ln），设=？姿，=？滋，则第（2）小题等价于：？姿，？滋为不相等的正数，且f （？姿）=f （？滋），证明：2<？姿+？滋 f （e-x）. 证明如下：构造函数g（x）= f （x）- f （2-x）（0<x<1），h（x）= f （x）- f （e-x）（0<x≤1），

∵g′（x）=-lnx-ln（2-x）=-ln（2x-x2），当0<x<1时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，

∴g（x）= f （x）- f （2-x）<g（1）=0，即 f （x）< f （2-x）得证. ∵h′（x）=-lnx-ln（e-x）=-ln（ex-x2），当0<x≤1时，ex-x2∈（0，e-1]，存在实数t∈（0，1）（t=）使h′（t）=0，即0<x<1时，ex-x2从0增加到1再增加到e-1，h′（t）从+∞减小到0再到-ln（e-1），h（x）从0增加到h（t）再增加到h（1）=f（1）-f（e-1）=2-e+（e-1）ln（e-1）>2-e+>0，即当0<x≤1时，f （x）> f （e-x）. 后面就迎刃而解了.

【点化开窍】对一道压卷題，难且繁，利用函数的大致图像与数形结合思想明确了解题的方向，按正确的方向步步推进，抽丝剥茧就水到渠成了. 对难题而言，只要方向正确，繁不是问题.

四、结束语

数形结合思想要遵循考生的认知规律，螺旋式上升，以发展数学科核心素养为追求. 作为考生，更应该认识自己，理解数学，理解技术. 在数形结合的问题处理中，以形为直观打开那扇门，通过数的严谨性对结论进行定性论证. 常言道，会则易，不会则难. 数形结合会让问题变简单，点化开窍，我点化，你开窍了吗？

责任编辑 徐国坚

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