基于问题驱动的初中数学深度学习课例研究

许科挺 毛孟杰

【摘 要】 在一个信息社会中，社会对人的素质提出较高的要求，而较高素质的培养，需要教师创导有利于学生主动的、积极的“深度学习”.文章通过对郑瑄老师执教的“神奇的黄金分割”新授课教学过程的分析，提出关于初中数学的深度学习的内涵、开展深度学习的途径、深度学习与数学核心素养的关系的三点思考.

【关键词】 问题驱动;深度学习;课例研究

0 引言

信息爆炸、专业分工细化的时代，社会对人的素质提出越来越高的要求，那种由被动的、孤立的、机械的“浅层学习”习得的零碎的知识，已经不能满足社会的需求.当下普遍存在的缺乏“深度学习”严重制约学生后续非义务教育的学习，“深度学习”已然成为初中数学教育界关注的焦点.

我们认为，数学深度学习是在教师的引领下，学生围绕具有趣味性、挑战性的数学学习主题，全身心积极参与，获得发展的有意义的学习过程.它除了要求学生学会理解数学知识的本质，关注数学知识之间的联系，更多地注重应用、分析、创造等高阶思维活动.它的最终目标指向是发展学生的数学素养[1].

开展数学深度学习有很多途径，其中，“问题驱动”是数学深度学习的一个重要途径.“问题驱动”是以“问题”为载体，通过“发现问题”“提出问题”“分析问题”和“解决问题”的一系列教学过程让学生深刻理解知识的本质，走进学生的情感与思维深处，发展他们的核心素养.本文是笔者对浙江省特级教师、正高级教师郑瑄老师在宁波惠贞书院执教的一节“神奇的黄金分割”新授课教学过程片段，进行个案分析，撰写成文，供读者研究.

1 教学片段1.1 创设情景，发现问题

教师：同学们，在初一我们学习了线段的中点.

如图1，若P是线段AB的中点，则有APBP=1，

并且AP=BP=12AB，它体现出线段的均衡、对称与和谐之美.那么，当时怎么找线段的中点呢？

学生1：有对折法、测量法和尺规作图法三种方法.

教师：很好，因为线段是对称图形，所以可用对折法找中点;由于线段可度量，所以可用测量法画中点;也可用尺规通过作线段AB的中垂线作出它的中点.下面，我们自然会想：中点P把线段AB分割成两条线段AP和BP，BPAP与APAB会不会相等？

学生2：BPAP=1，APAB=12，它们是不相等的.

教师：对，BPAP≠APAB，这说明中点在线段中并不是很完美的.那么，在线段上有没有这样一个特殊点P，使得BPAP=APAB呢？

评注 我们知道，教师要引出“黄金分割”“黄金分割点”和“黄金比”等新知识，应该找出新知识的生长点，不能简单地把新知识抛给学生，让学生硬性地、机械地接受.

在本案例中，郑老师以初一已学过的“线段中点”作为新知识的萌芽点，通过“线段中点”虽有在线段中的均衡、对称与和谐之美，但比例不够完美，让学生自然而然去思考一个问题：在线段上有没有这样一个特殊点P，使得BPAP=APAB呢？.笔者认为，郑老师这种通过设置相关学习情景的深度学习，已经不是表面的让学生简单的“算一算”“量一量”“猜一猜”等浅层的指令性的学习.这種带有挑战性的问题情境的深度学习能让学生主动地、兴趣盎然地发现问题，它不但可以提高学生对数学学科的兴趣和好奇心，而且会让学生养成运用数学的思维方式进行思考的习惯，而这种数学的思维方式无疑是学生形成数学核心素养（抽象、推理、运算等）的基础[2].

1.2 类比探究，提出问题

教师：如图2，点P把线段AB分成两条线段AP（较大）和PB（较小），使BPAP=APAB，那么称AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比.同学们，与学习“线段中点”相比，你们对今天的“黄金分割”会提出哪些感兴趣的问题呢？

学生3：黄金比会等于多少？

学生4：怎样找线段的黄金分割点呢？

学生5：黄金分割有什么应用？

教师：很好，同学们提出一个又一个有价值的问题，说明我们已经有问题意识、探究的能力，这往往比纯粹解决问题重要的多.

评注

让学生独立地、多角度提出问题的深度学习，可以让学生敏捷地、深刻地把握新知识的本质.事实上，让学生独立的、多角度的思考和提出深层次的问题比只习得新知识、新技能重要得多，因为那是在“授人以渔”，是在培养创新意识.

本案例中，郑老师给出“黄金分割”的有关概念后，给学生留出思考的时间，让学生针对“黄金分割”提出自己感兴趣的问题，这样设计，有利于提高学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力.然后让学生围绕着三个问题：“黄金比等于多少？”“如何找线段的黄金分割点”和“黄金分割有哪些应用”，这与引入环节中的回顾线段中点的两个问题“中点有哪些性质”和“中点如何找”前后呼应.她如此精细的设计的根据是：“一个好的教学应该遵循学生的数学现实，教师要努力寻找学生的最近发展区，寻找新知识的生长点.”只有做到了这一些，才能驱动学生思维的齿轮，拨动学生心中的激昂琴弦.

1.3 合作交流，分析问题

问题1 如图2，若BPAP=APAB，求APAB（或BPAP）的值.

学生各自思考、计算，然后把自己的做法与同桌进行讨论、交流.过一段时间，相继有4位学生板演.

学生6（方法1）：设AB=1，AP=x，则BP=1-x.于是，1-xx=x1，得到x2+x-1=0.解得，x1，2=-1±52.因为x﹥0，所以x=5-12，即APAB=5-12.

学生7（方法2）：设APAB=x，则AP=x·AB，BP=（1-x）AB.于是，（1-x）·ABx·AB=x·ABAB，即1-xx=x1…

学生8（方法3）：设AP=1，BP=y.于是，y1=1y+1，得到y2+y-1=0.解得y=5-12（负值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

学生9（方法4）：设AP=a，BP=b，则AB=a+b.于是，ba=aa+b，得到ba2+ba-1=0.解得ba=5-12（负值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

教师：很好，我们比较一下这四种方法的思路异同.

学生10：它们的基本思路都是用方程思想处理几何问题;不同之处：（1）方法1把整条线段AB设为单位“1”，而方法3把线段AP设为单位“1”.（2）方法2是直接设未知数，另外三种方法则是间接设未知数，通过求线段比得出黄金比.

问题2 如何找线段的黄金分割点.

教师：对折一条线段能实现吗？为什么？

学生11：不能，因为黄金比是5-12，而对折n次只能得到含有它的12n整数倍线段.

教师：能用测量法近似找到线段的黄金分割点吗？如果能找到的话，这样的点有几个？

学生12：能，因为黄金比是5-12≈0.618，因此，如图3，我只要用刻度尺在线段AB上量出AP=0.618·AB或BP′=0.618·AB即可，这样的点有2个.

教师：能用尺规作出线段的黄金分割点吗？

学生陷入沉思之中，很多学生处于惘然，略待片刻，教师缓缓提示：关键是作出5.学生陆续完成作图，教师选择2位同学呈现他们的作图过程.

学生13：如图4，作CB⊥AB于点B，使CB=2AB，

连结AC，截AD=AB，则CD=（5-1）AB，作CD的中垂线，

垂足为E，截AP=CE，则点P即为线段AB的黄金分割点.

学生14：如图5，作CB⊥AB于点B，使CB=12AB，

连结AC，得AC=52AB.截CD=CB，则AD=5-12AB，

再截AP=AD，于是，点P即为线段AB的黄金分割点.

教师：很好！这两位同学构造直角三角形解决“黄金比”中的5.在图5中，如果把用圆规截取CD=CB和AP=AD看作图形的折叠，可得到2012年施恩州的一道中考题.

（2012年施恩）如图6，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″=AB′.这是B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.

学生15：设正方形ABCD的边长为2，因为E为BC的中点，

所以BE=1，所以AE=AB2+BE2=5.

又因为B′E=BE=1，所以AB″=AB′=AE-B′E=5-1，

所以AB″AB=5-12，即点B″是线段AB的黄金分割点.

……

评注 郑老师围绕着“黄金分割”的主题，引导学生自主探索“黄金比是多少”和“怎么找线段的黄金分割点”两个子问题，然后通过师生互动交流，展现各自的思维成果.在探究“黄金比是多少”的问题中，郑老师先让学生独立思考，在合作交流中，让学生展现自己的思维方式和解决问题的獨特方法，在多样的解法中，引导学生概括解法的异同.在探究“如何找线段的黄金分割点”时，郑老师通过类比“中点”的找法，让学生自然地从“对折”“测量”和“尺规作图”三个角度进行思考，然后把“尺规作图”与施恩州的一道“四次折叠找黄金分割点”的中考题联系起来.

显然，这种围绕问题的深度学习的教学方法能够使学生真正触及到底层知识，掌握新知识的本质，而且也有利于学生分析、综合等高阶思维的培养.

1.4 生活应用，解决问题

问题3 黄金分割的应用.

教师：黄金分割具有艺术性与和谐性，蕴含着丰富的美学元素.请同学们欣赏神奇的黄金比值0.618，展现PPT：

名画《蒙娜丽莎》、维纳斯女神、帕特农神庙、埃及的金字塔、大自然中蝴蝶、摄影作品中，“主体”在横向和纵向两个维度上基本处于黄金分割点;小提琴在弦的黄金分割点上弹奏，会发出动听、悦耳、和谐的声音.

在公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯线段分割状态下存在一种和谐美，后来古希腊美学家柏拉图正式称之为黄金分割，并一直被称为最佳比例……

此刻，学生迷恋于对黄金分割的欣赏之中，充满对数学美的无限遐想……

评注 我们知道，从问题探究中获得的新知识，最终都需要把新知识回归到在学科或在生活上的应用，只有这样才能体现新知识的价值，才能增强学生的应用意识.

在本案例中，探究“黄金分割”的应用，郑老师站在数学文化的维度上，让学生充分感受到“黄金分割”与“艺术之美”“自然之美”的内在联系，让数学洗涤学生的灵魂，使学生感受到数学的魅力[3].在整个探究过程，始终关注学生的思维和情感，朴实无华，自然天成.郑老师将“黄金分割”“黄金比”和“黄金分割点”等新知识与自然、艺术结合起来，让学生潜移默化地养成用“数学的眼光认识生活的环境与生活”的习惯，这才是问题解决的终极目标，同时也提高了深度学习中的应用与评价的高阶思维.

2 三点思考

2.1 初中数学的深度学习是什么

什么是初中数学深度学习？很多老师可能认为只要能使学生理解数学基础知识，并且会在实际问题情景下应用这些知识，再有点数学思想方法，这种学习就是初中数学的深度学习.笔者则认为，初中数学的基础知识、基本的数学思想方法的学习固然重要，但更重要的是学生批判性、创造性学习能力的培养.因为只有学生当具备一定的批判性、创造性的学习能力时，他们就会对数学本身产生浓厚的兴趣，充满欲罢不能的好奇心，才会对后续的非义务教育的数学学习提供源源不竭的动力.而这种学习能力的认知基础，应该是分析、应用、评价和创造等高阶思维活动，而在数学教学过程中的应用、评价和创造等高阶思维的培养是数学深度学习的基本内涵.

2.2 初中数学的深度学习如何开展

初中数学深度学习的开展有很多途径，问题驱动是其中的一个较为有效的方法.因为问题是数学的心脏，是思维的源头和动力.以“问题为中心”的教学，是通过引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题等一系列的学习过程，帮助学生理解知识的来龙去脉，帮助学生构建较为完整的知识体系，形成批判性、创造性的学习能力，逐渐培养成良好的思维方式.在这个过程中，教师的主导作用就体现在如何设置一个有挑战性、层次性的问题系列，通过问题系列充分调动学生的好奇心和求知欲，让学生在问题解决的过程中，知识理解不断地深入，思维不断地得到优化，创造力不断得到提升，情感得到培育.

2.3 初中数学的深度学习与数学核心素养的关系

中小学数学教育的终极目标在于，会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.数学眼光更多地指向数学抽象、直观想象，数学思维更多表现在逻辑推理和数学运算，数学语言更多地体现为数学模型、数据分析.因此，数学核心素养应该包括数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学模型和数据分析等成分，这是当今信息社会的“学会学习”在数学方面的必备素质.而这些数学核心素养并不是学生数学学习的必然产物，因为大多数学生学习数学采用的是死记硬背、题海战役的方式，他们习得的知识大多是片面的、不正确的，伴随认知过程所产生的情感大多是负面的、消极的，以至于一些优秀生也常有“数学枯燥无味”的感觉.但是，如果我们的教学是促进学生进行主动、有意义的“深度学习”，是基于理解的基础上把促进学生的高阶思维和实际问题的解决作为我们追求目标，那么，培养学生的数学核心素养目标就会逐步达成.

3 结束语

综上所述，深度学习是与浅层学习相对的学习方式，它更关注学生知识的整合和批判性、创造性思维的培育.深度学习是一种過程性的学习，它着眼于学生的高阶思维的发展和终身学习能力的培养.初中数学的深度学习，有助于学生在获得数学核心素养的同时，也有助于他们的创新意识的养成和实践能力的提高.

参考文献

[1]孙学东，周建勋.数学深度学习是什么？常态课堂如何可为？[J].中学数学教学参考，2017（7）：57-60.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]郑瑄.数学课[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

作者简介 许科挺（1982—），男，浙江宁波人，中学高级教师;主要研究中学数学教育.

毛孟杰（1968—），男，浙江宁波人，中学高级教师;主要研究中学数学教育.

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