在情境中发现，在发现中感悟，在感悟中探究

戴惠

[摘  要] 用数学的眼光观察世界，发现和提出生活中的问题并抽象成数学问题，通过构建数学模型解决生活中的问题，让数学学习更具趣味性，激发学生学习数学的兴趣.文章以“太阳光线下的数学问题”的教学设计为例，从熟悉的情境、简单的问题入手，引导学生在感悟中探究关联情境，解决较复杂的问题，渗透模型思想，发展初中学生的数学核心素养.

[关键词] 建模;模型思想;三角函数

数学建模作为数学核心素养要素之一，是学生学习数学的重要过程与方式. 建模的过程可以让学生初步体验数学在生活中的应用，发展数学思维. 在义务教育阶段的数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、方程、不等式、函数以及各种图表、图形等都是数学模型. 苏教版教材的“用一元一次方程解决问题”“用锐角三角函数解决问题”“用二次函数解决问题”等内容是抽象后的数学建模. 对于这部分内容，传统的教学方法往往是通过题型训练代替建模过程，课堂枯燥且趣味性不大，无法提高学生提取信息、分析问题的能力.

教育源于生活，教师需要引导学生用数学的眼光观察世界. 本文章以一节关于太阳光线的数学问题的公开课为例，谈一谈在课堂教学中如何引导学生发现问题并提出问题，让学生初步感受数学建模的一般步骤，渗透模型思想.

教学过程的设计

1. 情境发现，感受建模

問题1：如图1所示 ，一棵高8 m的树，当太阳光线与水平面的夹角为30°时，影子在什么位置？影长是多少？

师生活动：学生回顾用三角函数解决问题的方法，将树干抽象成线段AB，将太阳光线抽象成平行线，于是得到了Rt△BAC（如图2所示，∠A=90°，∠C=30°）. 已知对边求邻边，可以利用正切求解.

设计意图  学生在学习“图形的相似”这一章节时，曾遇到过将树干抽象成线段AB，将太阳光线抽象成平行线，熟悉的情境、简单的问题，学生能够很快得到答案. 在解决问题的过程中，让学生初步感受将实际生活中的问题抽象成数学问题，用三角函数解题的过程其实就是一种建模的过程.

问题2：如图3所示，一个直径为22 cm的足球，当太阳光线与水平面的夹角为30°时，影子在什么位置？影长是多少？

师生活动：将球抽象成圆，由两条与圆相切的平行线确定影子的位置. 连接切点（B，C）和圆心（O），可证B，O，C三点共线，BC=22. 师生共同探究，得出：

方法1：如图4所示，过点E作EG⊥BF于G，易证四边形CEGB为矩形. 在Rt△EFG中，∠F=30°，可得EF=44.

方法2：如图5所示，过点C作CI∥EF与BF相交于点I，易证四边形CEFI为平行四边形. 在Rt△BCI中，∠BIC=30°，可得EF=CI=44.

方法3：如图6所示，延长BC与EF相交于点J. 在Rt△JCE中，∠CEJ=30°，JE=2CJ;在Rt△BJF中，∠BFJ=30°，JF=2BJ. 由△JCE∽△JBF可得EF=44.

然后总结方法思路：通过添加辅助线将已知的边和角集中到同一个直角三角形中，再用三角函数解决.

设计意图  根据维果斯基的最近发展区理论，求足球的影长能调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平. 学生再次经历建模的过程，让每位学生都参与课堂活动，让学生用数学语言描述问题，积极地分析、思考、解决问题 ，使学生感受到数学源于生活，与生活密切相关.

2. 问题深究 ，感悟建模

问题3：如图7所示，遮阳伞可以抽象出什么数学图形？画出太阳光线下影子的位置.

小组讨论：如图8、图9所示，遮阳伞可以抽象成线段、弓形等数学图形，引导学生用数学符号语言刻画出研究对象的主要的位置关系和数量关系.

问题4：如图10所示，BC过点O，PQ与圆O相切于点P，圆O的半径为1 m，PQ∥BC，∠BOE=120°，求此时伞面的影长.

动手操作：画出平行光线，找到确定影子位置的两条平行光线. 类比问题2，共同探究影长的求解方法，然后请小组的代表上台展示：

方法1：如图11所示，连接OP，过点C作CN⊥PQ于N. 易证∠PQC=30°，四边形POCN为矩形. 在Rt△CNQ中，CQ=2.

方法2：如图12所示，连接OP，过点O作OM∥CQ，与PQ相交于点M. 易证∠PQC=30°，四边形OCQM为平行四边形. 在Rt△OPM中，OM=2，所以CQ=2.

设计意图  学生自主探究与小组合作探究相结合，在集体中相互交流个人的看法，相互启发、相互学习. 设置问题由浅入深、循序渐进，通过类比前问所学的方法，每个学生都能想出至少一种解决本题的方法，逐步构建良好的认知结构，从整体上掌握知识，同时帮助学生认识自我、建立信心.

3. 应用拓展，探究建模

问题5：如图13所示的遮阳篷，遮阳篷宽100 cm.

（1）当太阳光线与水平面的夹角为30°时，求阳光照射不到的高度.

（2）若太阳光线与水平面的夹角变大，被遮阳篷遮挡的区域会发生怎样的变化？什么时候阳光恰好照不到室内？

（3）当太阳光线与水平面的夹角为30°时，想让阳光恰好照入室内，要如何安装遮阳篷？

师生活动：

学生自主探究，抽象出数学图形，提出数学问题：在Rt△BCD中，∠BDC=30°，CD=100 cm，求BC的长. 当夹角变大时，通过几何画板的动态演示，发现BC在变大，再引导学生进行逻辑证明：BC=CD·tan∠BDC=100·tan∠BDC，当∠BDC变大，tan∠BDC的值变大，BC也变大，当点B与点A重合时阳光恰好照不到室内. 在此基础上，学生画出了阳光恰好照入室内的示意图（如图14所示），求得遮阳篷安装在门上方的 cm处.

设计意图  从研究影子落在水平面上转换到影子落在竖直墙壁上，从利用三角函数解决具体的数学问题到利用三角函数的知识去解决实际生活中的安装遮阳篷的问题，让学生经历了知識的形成与应用的过程，从而能更好地理解数学知识的意义.

问题6：（1）惹玻璃门AB高200 cm，冬天某一时刻，阳光刚好全部照入室内，此时太阳光线与水平面的夹角为31°;夏天某一时刻，阳光刚好全部被挡住，此时太阳光线与水平面的夹角为80°，则遮阳篷的宽是多少？（tan31°≈0.6，tan80°≈5.6）

（2）（一般化）若玻璃门AB=h，冬天某一时刻，阳光刚好全部照入室内，太阳光线与水平面的夹角记作α;夏天某一时刻，阳光刚好被全部挡住，此时太阳光线与水平面的夹角记作β，用α，β，h的代数式表示遮阳篷的宽.

师生活动：请学生将题目信息标注在图形中，利用电脑一体机投影学生答题情况，由学生讲解.

设计意图  冬天某一时刻，阳光恰好照入室内;夏天某一时刻，阳光恰好被挡住，这为后面学生自主设计遮阳篷做好了铺垫. 将具体数据换成字母，让学生体会到从特殊到一般的思想方法.

4. 迁移应用，内化提升

课后作业：为我们学校门卫室设计一款遮阳篷.

设计意图  设计遮阳篷是北师大版九年级下册教材“综合与实践”的一小节内容，把这个完整的数学建模作为课后作业，由小组共同协作完成. 由于学生的直观感受不同、所处的地理位置不同、太阳光线与水平面的夹角不同等，其中涉及了多种学科知识，因此需要学生查阅资料，找到合适的夹角. 学科融合有利于提高学生的核心素养，促进学生数学能力的提升. 通过小组协作分工完成，可以激发学习的积极性和主动性，并有效发挥各自的学习潜能，培养学生的创新意识和实践能力.

思考

1. 模型思想在课堂中的逐步渗透

数学建模是数学学科六大核心素养之一，模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出的十个核心概念之一. 在实际的教学过程中，用数学的眼光观察世界，从学生的实际生活经验中提取教学素材创造机会，转化成教学资源，使学生经历“观察实际情境—发现并提出问题—抽象成数学模型—解决实际问题”的过程，逐步从简单到相对复杂，从具体到相对抽象，了解建模的一般步骤，掌握建模的一般方法，渗透模型思想. 引导学生从情境中发现，在发现中感悟，在感悟中探究，发展学生的数学核心素养.

2. 通过数学建模改善教与学的方式

数学建模不同于简单完成一道应用题，它是一个综合性非常强的过程，从传统的教师的教转变为学生的学，由教师引导、启发，学生作为学习的主体自主去查阅资料、分析并解决问题、撰写报告，可以有效加强数学应用. 建模的过程可以帮助学生认识数学、体验数学，形成正确的数学观，同时使学生通过这一过程学会数学思考，掌握数学思想方法. 在实际的教育教学中可以从多个方面进行尝试，比如：可以尝试以课堂教学为铺垫，确定数学建模课题，在课后作业中尝试建模，采用小组协作的学习方式，提交课题研究报告;也可以尝试在学校的趣味数学社团课程中组织学生，从实际的生活经验出发，自主确定建模课题，走入社会，进行调查，收集信息;还可以尝试组织计算机学得较好的学生，借助于计算机特有的编程功能寻求建模新方法.

结语

数学建模不仅是数学学科六大核心素养之一，还是高中数学课程内容的四条主线之一，并要求数学建模理念贯穿整个高中数学的始终. 根据心理学家皮亚杰的研究，初中学生还处在具体思维到抽象思维的过渡阶段. 数学建模对学生能力的要求较高，对于很多初中学生来说具有一定的难度. 如何根据具体的课程内容和要求逐步渗透模型思想，如何做好初高中的衔接，让学生的“学”更自主、有效，都很值得一线初中数学教师进行研究.

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