基于拆书教学法的线性代数教学探索与实践

欧阳苗， 欧启通

(1.厦门理工学院 应用数学学院，福建 厦门361000; 2.西南交通大学 数学学院，成都610000)

1 引 言

课堂教学是培养高质量人才的主战场，课堂教学质量的高低决定人才培养的质量，教学工作者们一直努力在创造和改进教学方法的的路上，比如项目教学法[1-3]，案例教学法[4-5]，情境教学法[6-7]，任务驱动教学法[1，8]，以问题为导向的PBL教学法[9-10]，以及启发式教学法[11-12]等.这些教学方法各有优势和适用学科，比如项目教学法立足于项目训练，最适合职业实训类的中职教育课程；案例教学法以现实世界中的特定事件作情境开展教学，医疗卫生界，政治法律界有相当多的案例使教学开展起来生动而自然；而任务驱动式和以问题为导向(PBL)教学法，本质教学理念相似，实践中多用于计算机学科，工程类学科，以及大量的医学院中.至于情境教学和启发式教学，因其重视情感的生发和思想的活动，更多地使用于中小学语文，思想政治类、文史哲类课程中.

遗憾的是，以上多种多样的教学法对于理科类课程教学，或多或少的存在某些方面的不足.不可否认数学、物理理论性强，概念繁多，逻辑严密，与其他学科相比，“教清楚、学明白”的难度更大.然而，只要遵循理学学科的特点，重视学科立体逻辑结构，重视知识点演化推导思维过程，理科的理论课程也是可以讲得开阖自如、鲜活灵动，让听者思维水平实现大幅飞跃.

本文正是发扬著名数学家华罗庚先生“由厚到薄，由薄到厚”[13]的学习方法和思想，设计了拆书教学法，并在厦门理工学院进行了教学探索及实践，从学生的学习效能来看，该教学方法是积极有效的，理论性强的各类理工课程均可借鉴，具有普遍参考价值.

2 探索与实践

2.1 拆书教学法

拆书，浅显地理解，是把教材的主要章节，进而章节中的主要知识点进行拆解[14].但“拆书”不局限于拆解，而应通过阅读、理解和应用，实现知识体系构建[15].拆是手段，合是目标.现将“RIA拆书法”应用于教学与学习中.R((Reading)——阅读拆页(某节内容中的主要知识点或整个课程的主要章节)；I(Interpretation)——重述知识(强调用自己的话描述，最好写下来)；A(Appropriation)——说出自己的经验，或是错误的理解，自己仿照例题出题举例. 在“拆书”的过程中，在教材上的知识中处处渗入自己的看法和实践，进一步尝试结合专业背景，重现相关知识点.

2.2 拆书教学法的实施过程

研究借鉴“拆书帮”的工作程序，以电气工程专业卓越班《线性代数》课程为例，在R-I-A三个过程中构建了“1+N+X”的“拆书”程序：1=1张思维导图，N=N句“名人名言”，X=X项实例.

1=1张思维导图

课程伊始，教师帮助学生构建课程知识体系——思维导图.“拆书”第一步，是对线性代数进行整体设计，带领学生绘制 1 张包含“学习目标”“学习进度和时间安排”“支持服务”“知识点提要”的课程思维导图，如图1，包含16次课的大致内容的提要，重构知识点之间的逻辑关系，以安排学习的先后顺序，同时提供习题库支持，科学计算可视化支持.在教考分离的背景下，知识点及考点，详细的考查要求，掌握程度及典型例题点击进入即可查看.

图1 《线性代数》拆书思维导图(第一层)

当一门课程的知识点立体呈现出来，学生和教师的任务就由1拆成N.近年研究表明，成人短时记忆容量的平均值为4个组块，即人脑更容易接受 3～5个记忆单位的内容[16].因此，将《线性代数》拆解为四部分，每个部分再拆成4个主要知识点是比较合适的做法；太少构不成知识体系，太多不能体现提纲挈领的脉络，易使学生感受纷繁复杂的压力.

在R的环节中，翻转和互动是关键.学习的过程其实是在兴趣驱动中，追逐好奇和喜欢新鲜事物的过程.如果同一个教师始终用同一种方法演绎教学内容，久而久之，学生难免感觉枯燥[17].在拆书教学法的R环节中，有时讲授，有时研讨；有时翻转，有时实践[18].有时让学生主讲，有时让学生以小组形式进行协作与探究，随机应变、不拘一格，每有即兴之举，常感学习之乐[19].教师肯定学生的探索，参与讨论点评，不乏权威和专业，又能锻炼学生的语言表达能力，思辨能力，真正教学相长，提高了创新能力.

N=N句“名人名言”

选择与学生专业关系密切的知识点，将这些知识点之间的逻辑关系，聚点成面，合面成体，让线性的知识立体起来，远看逻辑分明，近看内容丰富，引导学生构建个人知识体系[20].例如“矩阵”部分，教师不采用通用教材中的厂家-产品-单价利润的引例，改而分析电气工程中多输入多输出情况，同学们能在此基础上自发找到更多线性系统领域中的应用实例——“一千个读者眼中，有一千个哈姆雷特”.不论定义，性质，还是定理，推论，不再是枯燥的理论骨架，呈现出有血有肉，姿态万千的专业面貌.

在实例练习环节中，学生应吃透例题内在含义，鼓励设计同类习题，提交上来由教师分析正误优劣，提炼反馈给全班学生.“大家一起做”是学习效能提升明显的环节.教师拆解课程、提炼知识点是驱动学习的过程，最终学习成果还需要由学生来体现[21].由学生陈述出来，他们特别有成就感，正向激励了自己和其他同学的继续参与到“思辨”和“举一反三”中去，挑战更有意义，是大部分同学踮踮脚尖，跳跳高就能够得着的.

X=X项实例

这是课堂学习中最为关键的一步，帮助学生将教材核心知识观点内化——拆为己用.一般可分三步进行.首先要反思并提炼运用的窍门，找到关联点.其次，要规划应用，思考哪些是可以换，哪些固有不能变，反演出自己的例子.最后，正向复盘，演练巩固和强化知识点.

举例来说，在“范德蒙行列式”的计算公式中，每个学习小组都有自己的发现“第一行(列)全是1”“n个数在指数为1的行(列)中找”“特点是幂次从0增长到n-1”“公式中是大下标-小下标，而不是大数-小数”……当第一次的发言作为做“名人名言”被记录在黑板上，学生会自己依照这些理解举出许多实例.当实例也记录在前方黑板时，全班同学均可使用公式计算自导自演的行列式，并开始第二轮的思辨，例如“幂次一定是增长的吗？”，2019级电气工程卓越2班的大炜同学举出了每行的幂次从0，-1，…，-(n-1) 的例子，全班约75%的同学看到“幂次的绝对值增长”才是本质.2019级电气工程卓越1班的李志浩同学举例了一个似是而非(非等差幂次增长)的范德蒙行列式

虽然不是范德蒙行列式，但通过补充一行缺失的幂次项和一列虚拟的x对应幂次项，可构成一个标准的高阶范德蒙行列式如下所示：

再使用行列式的定义，求出x3系数，即间接地计算出原行列式..

整个教学过程中，学生在拆书教学法下进行学习时拓宽的眼界和挖掘的深度.一个学期结束时，N个知识点，带给师生的收获是无穷无尽的X，拆书教学，巧在不仅传授教材知识，而且吸收读者的经验精华； 拆书教学，不仅是开发个体小宇宙，而且集合集体大智能.拆书教学法和学习法的魅力在课堂教学中体现得淋漓尽致.我们不禁希望获知更加客观的，实证的学习效能分析结果，进而做了以下学习效能检验.

3 教学效果

3.1 研究设计

本实验采用 SPSS 25. 0 独立样本进行 T 检验，研究“拆书教学及学习法”实施下的5维-学习效能差异性分析，并对主要原因做探究. 本次研究实验对象选取厦门理工学院2019级电气工程卓越班(106人)，2019级智能电网电气工程卓越班(93人) ，下称实验班与对照班.实施时间从2020年9月到2021年1月，线性代数共32课时.研究采用自陈式调查问卷，依据拆书过程中“R-I-A”3个环节，在研读国内外文献的基础上自行编制.问卷内容由目的目标、思辨能力、举一反三、学以致用、情感满足，共五维，17条目组成；采用五分量表法，选项反映“完全符合”“基本符合”“一般”“不符合”“完全不符合”五个程度，依次记5到1分，部分题目采取反向记分.2020年12月向给试验班和对照班通过课堂发放问卷，收集两班学生的学习效能情况.回收实验班有效问卷105份，对照班有效问卷93份.

3.2 实证分析

先将代表各维度的个案选项得分求和，分析其均值与方差，按班别作独立样本T检验得五个维度得分总和具有方差齐性，见表1.

表1 五维学习效能及总值齐性检验统计资料

再求得两个班的五维-学习效能总值的平均值与方差，见表2.

表2 两个目标班级的五维学习效能齐性检验群组统计资料

最后选择等方差独立样本T检验统计量[18]

分析两个班在线性代数课程中实施“拆书教学及学习法”与否的情况下，学习效能总值及五个维度指标的均值分别是否具有显著性差异，数据结果见表3.

表3 拆书教学法及学习法下大学生学习效能独立样本T检验结果独立样本检定

通过实施“拆书教学和学习”，实验班学生的学习效能总值(42.429 分) 比对照班高出16.676 分，t=18.091，P<0.05，说明拆书教学法及学习法下班级学习效能水平显着高于未实施的班级.因此，得出通过本次拆书教学法及学习法，学生整体学习效能有显着差异.

以下逐一分析五个维度:

“目的目标”“思辨能力”和“学以致用”三个维度检验统计量概率P<0.01，表明“拆书教学”显着地促进了学生明确学习目标目的，增长了学习过程中正反两面考察概念、分步尝试多种计算的思辨能力、能达到掌握的教学要求，将基础课知识拆解出适用于专业学以致用的案例.

“情感满足”上，实验班与对照班有显着差异，数据有较好的正态性.本学期实施“拆书教学和学习法”的收获，主要体现在“硬货”的提升，也促进学生学习兴趣的培养，“软能”同步优势增长，“软硬兼顾”产生良性互动，也是实践中“拆书教学和学习法”效果明显的加速器.

“举一反三”能力差异显着与学时有限有较大关系，一周一次课，课堂上系统地回顾前情，引例分析，推导概念、性质和定理，再安排足够的课堂练习示范及小练手，“拆书教学和学习法”在有限的线下时间里，发动了班级共同举例，对于思维敏捷、敢于发言的同学而言，无疑获得了学识和自信培养的多重收获；从线下教学效果看，实验教学班整体表现能举一反三，达到对线性代数主要内容知识点的深刻理解和灵活掌握.

通过对电气工程与自动化学院两个卓越班线性代数课程实施拆书教学法及学习法，学生的学习效能总值存在显着差异，拆书教学法对提升学习效能有显着效果，有 95% 的置信度使我们相信可以提升14.1～19.3分.因此，“拆书教学及学习法”可提升大学生基础课程的学习效能，特别是在激发学生明确目的目标、运用思辨能力及学以致用方面有积极影响.

3.3 结论

拆书教学能够有效地提升工科大学生学习效能，尤其适用于产业要求高的应用型专业.本次线性代数拆书教学试点实施，明确了学生学习的目的目标，充分发挥其主观能动性，适应“亲产业、 应用型”地方本科院校发展规律，是知识、能力、素质的有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维[24]；也是课程内容反映前沿性和时代性并持续更新，教学形式呈现先进性和互动性，学习结果具有探究性和个性化[25]；能够把学生的个性特点发挥出来，能激发学生发挥潜能，对所学知识进行融会贯通和拓展应用，培养创新性思维和批判性思维[26].

实践证明，“拆书”不仅适用于成人进行碎片化学习，也适用于全日制在校生学习基础课. 公共课对工科专业本科生而言，是底层思维的植入，是程序算法的核心，晦涩的教材和知识点拆解为“1+N+X”条主要内容的过程，可以激发学生的学习热情和自主性，提高学生学习的参与度.“拆书”(课程)是手段，是亲产业应用型地方本科院校理科公共课中引导学生深入学习，最终学会学习的过程，符合教育部高教司提出的“建设中国金课”的理念.总之，“拆书”(课程)教学法和学习法响应了国家的号召，顺应了时代的要求，值得广大应用型本科院校借鉴和试用.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.