数学实验帮助学生思维
——评《长方形和正方形的面积》一课教学

文|潘小福（特级教师）

《长方形和正方形的面积》一课，是苏教版教材三年级下册的教学内容。作为“图形与几何”领域的学习内容，它适于以数学实验的方式展开探究活动，让学生经历面积计算公式的推导发现过程。同时这是平面图形面积计算公式推导的起始课，是“种子课”，学好了这节课，学生的数学思维会有质的飞跃，能让学生对平面图形面积计算推导形成认知结构，为后续学习平行四边形、三角形、梯形、圆等面积计算公式的推导，提供良好的、可迁移的研究方法结构，便于学生自主、独立地展开学习活动。

一、解析教材编排的意图

苏教版教材在编写《长方形和正方形的面积》这一内容时，共编排了三个例题，这三个例题的编排有其特有的内在逻辑结构与编排意图。

第一个例题（教材第66 页例4），用几个1 平方厘米的正方形摆长方形，初步体会摆出的长方形的长和宽与小正方形个数之间的联系，初步感知小正方形的个数与长方形的面积之间的联系，强化对“摆了多少个小正方形，长方形的面积就是多少平方厘米”这一知识的认识。第二个例题（教材第66 页例5），用1 平方厘米的正方形“量”已知长方形的面积，引导学生在探索快速“量”出长方形面积的过程中，想到“要知道一共可以摆几个正方形，只要知道横排摆几个，竖排摆几个，就可计算长方形面积”的简便方法。第三个例题（教材第66 页例6），对已知长和宽的长方形，不用边长是1厘米的小正方形摆，就能“想”出它的面积是多少平方厘米。引导学生在与同伴的互动交流中，理解、巩固长方形的面积与摆的正方形个数之间的多重关系，并能利用“计算的方法”得到长方形的面积。在此基础上，通过回顾反思以上学习过程，在“长方形的面积与什么有关？可以怎样求长方形的面积？”的引领下，推导出长方形的面积计算公式。

教材的编写结构引导着学生的思维过程。从“满摆”（第一个例题）到“简摆”（第二个例题），再到“想摆”（第三个例题），引导着学生建构起长方形面积计算公式推导的认知结构。从“满摆”中发现“横排正方形的个数就是长方形的长，竖排正方形的个数就是长方形的宽，正方形的个数就是长方形的面积。”在用正方形“量”长方形的面积过程中，引发学生思考“是否一定要把长方形摆满才能得到长方形的面积”，从而引出“简摆”。在充分“摆”的过程中，得出结论“长方形的面积＝长×宽”。在此过程中，每一次的思考、发现，即学生思维火花的迸发，都是在“摆”的实践活动中自然生成，因此，数学实验活动成为学生思维的助推器，帮助学生在推导长方形面积的计算过程中，不仅有明晰的思维方向，还有丰富的数学思维体验。

二、把握数学实验的特征

数学知识本身是抽象的，数学结论需要通过严密的演绎得到，但是数学学习的过程可以是灵动的、活泼的。数学实验借助物化工具，让学生在清晰的实验目的引领下，通过规范的实验操作，对实验结果进行数学化的分析和结论表达，帮助学生个性化地建构数学意义。数学实验可以充分激发学生数学学习的积极性和主动性，让学生在动手实践、自主探索、互动合作的学习活动中，发展数学思维，培育创新意识。

1.数学实验要有清晰的实验目的。

数学实验不同于一般的操作活动，在实验前要明确解决什么问题，问题聚焦指向目标。譬如，教材的第一个例题，用1 平方厘米的正方形摆长方形，并填写表格。如果单从这一活动要求看，这仅是一个操作活动，学生只要按要求摆出长方形，填写表格，至于为什么摆，填写表格后有什么发现，都没在活动之前告知学生。要用数学实验帮助学生思维，就必须在实验操作之前清晰实验的目的，在第一个例题教学之初，就率先提出问题（实验目的）：长方形的面积与什么有关？然后引导开展数学实验。

2.数学实验要重视规范的操作。

数学实验往往要借助物化工具，依托《数学实验单》开展操作活动。譬如，教材的第二个例题，用1平方厘米的正方形量长方形的面积时，怎么“量”才能很好地引发思考，就需要引导学生规范实验过程。教学时可以为学生提供《数学实验单》，包括“实验问题、实验材料、实验过程、实验结论”等几个方面，尤其是实验过程，要把实验的关键步骤记录下来，便于后续互动交流的深化，更为学生数学结论的得出提供充分的数学事实基础。

3.数学实验要重视数学化的分析和结论表达。

在数学实验过程中不仅要重视实验体悟，更为关键的是要帮助学生学会思维。譬如，当学生用1 平方厘米的正方形摆出不同的长方形并填写表格后，“摆”“填”两项数学实验操作活动，都只是提供了数学事实，而真正引发思维的，是“从中发现了什么”，这就需要用到数学的方法，引导学生多向“对比”：横向摆了几个正方形，长是几厘米；纵向摆了几个正方形，宽是几厘米；一共摆了几个正方形，面积是多少平方厘米；长相同，宽越长，面积越大；宽相同，长越长，面积越大。通过这样的对比，就容易形成数学结论：长方形的面积与长和宽有关。还可以引导学生概括：摆出的第1 个长方形，用“长×宽”算出的正好是这个长方形的面积，摆出的第2、3、4……个长方形也是如此，由此提出数学猜想：长方形的面积是否可以用“长×宽”来计算。这样，就发挥了数学实验帮助学生思维的作用。

三、创生学会思维的课堂

根据不同的数学知识类型，结合儿童认知规律与思维特点，小学数学实验教学一般有规律发现式、策略探究式、问题解决式、意义建构式这四种课型范式（如下图）。在具体的教学实践中，教师要灵活应用，创造适合的学习方式，更好地帮助学生思维。

在《长方形和正方形的面积》一课中，常州市实验小学的陈老师和溧阳市竹箦中心小学的芮老师，都是在用数学实验帮助学生思维，且在具体课堂实践中能根据学生学情的特点，采用不同的方法策略。

陈老师执教的学校是常州市中心城区的学生，他们见识广泛、思维活跃。因此，陈老师没有拘泥于教材的教学逻辑，而是先提出挑战性问题：“这里有两个没有分好格子的长方形，想知道它的面积有什么好办法呢？”让学生的思维发散开来，顺势开展第一次的数学实验。该数学实验属于问题解决式，学生开动大脑，充分尝试，并不断自我纠偏或讨论完善，初步得出结论：长方形的面积要用边长是1 厘米的小正方形去量，长方形的面积与长和宽有关，初步发现，用长方形的长和宽相乘就可以算出长方形的面积。进而，深化学生的思维：两、三个例子是否就能得出“长方形的面积等于长乘宽”的数学结论？于是开展第二次实验，采用规律发现式，让学生充分举例，用边长是1 厘米的小正方形摆出不同的长方形来进行验证。学生进行实验，摆出各种不同大小的长方形，并试图寻找反例，进而深入思考：为什么举不出反例来？发现横排摆出的正方形的个数，其实就是长方形的长，而竖排摆出的正方形的个数，其实就是长方形的宽，由于正方形的个数根据乘法的意义可以用横排个数乘竖排个数，那么自然长方形的面积可以用“长×宽”来计算。最后，引导学生回顾反思两次实验的过程，形成思维链，顺势推导出长方形的面积计算公式。在此过程中，数学实验为学生数学思维的展开提供了数学事实，也促进了其思维的进阶，让学生充分体验了数学学习的快乐！

芮老师执教的学校是乡村小学校的学生，因而芮老师遵循了苏教版教材的编排逻辑，在课始先安排了一个观察活动，教师动态演示，拉动长方形的长或宽，让长或宽的长度发生变化，同时观察面积的变化，从而形成共识：长方形的面积与长方形的长和宽有关。继而，设计了第一个数学实验：长方形的面积到底与长、宽有怎样的关系呢？把摆出的长方形列表整理，分析表格中的数据，初步发现，长方形的面积等于长乘宽。接着设计了第二个数学实验，用正方形“量”长方形的面积，在多维度的观察、比较、思辨、交流中理解“面积单位的个数与长方形的面积”之间的内在关系。最后，深化思考，概括长方形的面积计算公式。芮老师的教学在动手摆、量的基础上，让学生理解长方形的面积与长、宽的关系，让学生经历从特殊到一般、具体到抽象的概括过程，凸显数学知识发生、发展的逻辑线索，不仅帮助学生理解长方形的面积计算公式，还发展了学生的归纳推理能力，使学生理解到位，学得扎实。

数学实验帮助学生思维，就单一实验活动而言，有着数学实验活动应有的规范，但当几个数学实验“串联”起来时，就会创造出鲜活多姿的数学实验课堂。教师要依据不同的学情特点，灵活选择适切的、有助于学生思维的结构展开，让数学学习的过程思维涌动、活力绽放。