滚塑模具内表面传热系数与模具转速间关系的研究

刘学军

（北京工商大学人工智能学院，北京 100048）

0 前言

本文研究的滚塑模具是一个只绕着其轴线转动的圆筒形模具，所采用的加热方式是在模具的外表面进行电加热。加热阶段是指从滚塑模具开始受热到其内部粉料开始熔融之间的这一段过程，并将该过程所花费的时间简称为加热时间。对于一个电加热的滚塑模具，在加热阶段热量以导热的方式从模具的外表面传导到其内表面，同时内表面以对流换热的方式将热量传递给模内空气和粉料的混合物，模内空气与粉料之间同时也在进行对流换热。模具内表面与模内混合物之间的对流换热本质上是一个固体表面与气固两相流的流动与传热问题，其传热机理非常复杂，因此要想精确得出滚塑模具的内表面传热系数是非常困难的。在对滚塑加热过程进行仿真计算时，模具的内表面传热系数用作传热理论模型的输入参数，因此准确的内表面传热系数有助于提高滚塑加热过程的仿真精度，尤其是提高模内温度的计算精度。

以往涉及到滚塑模具内表面传热系数的研究主要分为两大类。第一类是先通过实验测得模具外表面温度和模内温度，然后建立一个滚塑工艺的传热理论模型，通过该模型对加热阶段进行仿真计算，从而得到模具的内表面传热系数［1-2］。但文献［1］研究的是一个没有装粉料的空模具，与实际情况相差甚远；文献［2］没有研究模具转速等因素对内表面传热系数的影响。第二类是根据经验直接给出模具内表面传热系数的估计值［3-7］，但并未给出采用这些值的理论或实验依据。这些研究所采用的模具内表面传热系数的大小差异较大，这也是造成在这些研究中模内温度仿真精度较低的主要原因之一。

Olinek等［8］通过实验研究了单轴转动的圆筒形模具转速的变化对其内部粉料运动情况和分布状态的影响，根据模具转速由低到高依次将粉料的运动状态分为滑动、雪崩、翻滚、瀑布、离心5种状态。Nguyen等［9］应用光滑粒子流体动力学方法（SPH）模拟了粉料在圆筒形滚塑模具内部的流动状态，其计算结果与实验结果吻合较好。但在这两项研究中均未考虑转速对模具内部传热过程的影响。Adams等［10］通过实验研究了在加热阶段滚塑模具的转速对模内粉料的运动情况和模内温度的影响。该模具为一个受电加热的单轴转动的圆筒形模具，实验工况包括粉料在模内体积占比分别为10%和30%，在这2种工况下他们分别给出了在不同转速下模内粉料的加热时间的实测值。

综上所述，迄今为止尚未见有关滚塑模具内表面传热系数的影响因素的报道，尤其是研究该传热系数是如何随模具转速而变化的。如果能发现这个变化规律，就能获知最大内表面传热数所对应的转速。那么在实际应用中就可以将滚塑模具的转速设置为相同值，从而缩短滚塑工艺的加热时间，提高滚塑工艺的加热效率。另外也可以通过该研究，得到在滚塑加热阶段模具与模内粉料和空气混合物之间的传热机理。为此，本文基于滚塑工艺加热阶段的tumbling模型［3-5］，为电加热的滚塑模具建立了一个更为简化的传热理论模型，其中常微分方程采用MATLAB软件进行求解。通过本传热模型并借助文献［10］中实验测得的加热时间，即可得出在不同模具转速下的内表面传热系数。文献［10］中没有给出在模具处于静止和较高转速下的加热时间，但在这2种工况下模内粉料的状态是确定的而且不随时间改变，因此可以比较方便地通过FLUENT软件对其进行仿真计算以得到加热时间，并转换成模具的内表面传热系数。这样就得到了当粉料在模内空间占比分别为10%和30%时，模具内表面传热系数随其转速变化的全景图，所得的研究结论可为滚塑工艺加热阶段的过程控制和参数最优化提供理论依据。

1 计算参数及实验结果

如图1所示，一个圆筒形钢制模具绕轴线O做单轴转动，其外表面被通电的加热带均匀加热。根据文献［10］，模内空间的内径为210 mm，长度为220 mm，模具壁厚为2 mm。模具外表面的热流密度为3 120 W/m2，模具的初始温度为30℃，模内的初始温度为26℃。模内装有聚乙烯粉料，其表观密度为353 kg/m3，热导率为0.1 W/（m·K），比热容为660 J/（kg·K），熔融温度为128℃。采用圆柱坐标系研究该流动与传热问题，r为径向坐标，θ为周向坐标，轴向坐标z过轴心O并与纸面垂直。

图1 圆筒形滚塑模具的横截面示意图Fig.1 Schematic of cross-section of cylindrical rotational mold

如图2所示，文献［10］给出了粉料在模内体积占比分别为10%和30%的2种工况下，模内粉料在不同模具转速时的加热时间的实测值。可以看出，当粉料体积占比为10%时，加热时间随模具转速的变化很小；当粉料体积占比为30%时，加热时间先是随模具转速的增加而显著缩短，在达到最小值后开始随转速的增加而缓慢变长。

图2 粉料的加热时间随模具转速的变化Fig.2 Variation of heating time of powder with rotational speed of the mold

2 传热模型的建立

2.1 控制方程

文献［10］没有给出在不同转速下模具的内表面传热系数。本文建立了一个简化的传热理论模型，以将该文献中实测的加热时间转换成内表面传热系数，这样就可以研究该传热系数随模具转速的变化规律。为建立本传热模型，有必要先作出以下2点假设：（1）由于钢制模具的热导率比较大，但壁厚很薄，因此可忽略在模具壁厚内的温度梯度。（2）假设模内粉料与空气混合非常均匀，整个混合物与模具内壁面发生对流换热。这样模具温度和模内温度都只是时间的函数，而与空间位置坐标无关，因此所列出的控制方程为简单的常微分方程。

根据能量守恒原理可知，电加热带传给模具的热量等于模具内能的增量与内部混合物内能的增量之和，同时模具与内部混合物的对流换热量等于内部混合物内能的增量。由此得到本传热模型的控制式（1）和式（2），初始条件为t=0，Tm=Tm0，Tap=Tap0。

式中 Ai——模具内表面的面积，m2

Ao——模具外表面的面积，m2

hi——模具内表面传热系数，W/（m2·K）

Ma、Mm、Mp——内部空气、模具、粉料的质量，kg

q——模具外表面的热流密度，W/m2

t——时间，s

Tap、Tap0——模内混合物的温度、初始温度，℃

Tm、Tm0——模具的温度、初始温度，℃

Cap——模内混合物定压比热容，J/（kg·K）

根据内部空气和粉料的质量分数按式（3）计算Cap：

式中 Ca、Cm、Cp——内部空气、模具、粉料的定压比热容，J/（kg·K）

严格来讲，模具内表面的瞬时传热系数随着加热过程是变化的。即在加热刚开始时，瞬时传热系数很大，随着加热过程的进行快速下降，然后下降的幅度慢慢变缓［2］。但为了避免式（2）变成数学上求解困难的非线性微分方程，这里的内表面传热系数hi指的不是瞬时传热系数，而是在加热时间段内平均的内表面传热系数。

2.2 粉料开始熔融的温度条件

采用MATLAB软件对方程式（1）和（2）进行求解，所得的计算结果是模具的温度和模内混合物的温度。要将实测的加热时间转换成模具的内表面传热系数，就必须首先定义当粉料刚开始熔融并粘附在模具内表面的那一时刻所对应的模具或模内混合物的温度。以往的研究均未给出严格的理论或实验依据来确定当粉料刚开始熔融时模具或模内混合物的温度具体值。文献［3］认为当模具温度上升到粉料的熔融温度时，粉料即开始熔融。但根据传热学中的牛顿冷却公式［11］可知，此时模内粉料的温度肯定还低于其熔融温度，实际上熔融还未开始。另外模具温度对内表面传热系数的变化也不敏感，因此采用某个模具温度作为熔融开始的依据并不合适。

本文采用模内混合物的温度作为粉料开始熔融的依据，并规定当模内混合物的温度达到粉料熔融温度的90%即115.2℃时，模内的粉料开始熔融，其对应的时刻就是实测所得加热时间的终点。文献［10］给出了在加热阶段的前6 min内的模内温度的实测值。对应的工况是粉料占比为30%和模具转速为2 r/min，实验结果表明在该工况的加热时间为9.5 min。在第6 min实测的模内温度约为70℃，模内温度随时间的变化大致是按线性比例关系。那么可以估算出在该工况下，当粉料开始熔融时模内温度约为110.8℃。因此，认为当粉料开始熔融时模内混合物的温度为115.2℃是在合理的温度范围内。

2.3 传热模型的求解步骤

对方程式（1）和（2）的求解步骤是：首先在某一个工况下，即某个确定的模具转速和粉料体积占比，假设一个内表面传热系数，可计算出在实测的加热时间末了时刻模内混合物的温度。如果该温度等于115.2℃，那么内表面传热系数的假设值就是该工况下实际的内表面传热系数，计算过程即可终止。如果该温度高于115.2℃，则减小前述内表面传热系数的假设值，重新求解方程式（1）和（2），反之则增大传热系数的假设值，重新求解该方程组，这样不断调整假设的内表面传热系数，直到模内混合物的温度刚好等于115.2℃为止。

3 计算结果及分析

3.1 传热模型的验证

如图3所示，针对粉料的体积占比为30%和模具的转速为2 r/min工况时，采用本传热模型计算出模具的内表面传热系数为7.6 W/（m2·K），同时算出了在整个加热时间9.5 min内的模内温度，并与该工况下模内温度的实测值进行了比较，总体上计算结果与实验结果吻合的比较好。图3上特意标出了当模内温度的计算值达到115.2℃，理论上认为粉料刚开始熔融，其对应的时刻即为加热时间570 s的终点。

图3 模内温度的计算值与实测值的比较Fig.3 Comparison of calculated results with tested ones for internal temperature

由图3还可以看出，实测的模内温度随时间基本上是按线性比例关系升高，但由传热模型计算得到的模内温度先是随时间缓慢升高，然后随时间升高的速率越来越快。实测的模内温度实际上是模内空气的温度，而计算所得的模内温度是模内混合物的平均温度。在加热阶段的早期，由于模内粉料与空气混合的还不均匀，模内空气的温度要高于粉料的温度，因此模内混合物的平均温度低于模内空气的温度。另外如前所述在整个加热阶段，传热模型里采用的都是模具内表面平均的传热系数，低于在加热阶段早期的瞬时传热系数，这2个原因造成了模内温度的计算值要低于实测值。但是根据该图曲线2的趋势，可知到了加热阶段的后期模内温度的实测值将会变得低于计算值。这是因为当粉料温度升高到一定程度，其定压比热容开始显著增大，实际上让粉料继续升温需要消耗比早期更多的热量，但是本传热模型为避免求解困难的非线性微分方程，没有考虑此变物性的影响。

3.2 模具静止和转速较高时的工况

文献［10］未给出在粉料的体积占比分别为10%和30%这2种工况下，模具静止和转速较高时的加热时间。当模具静止即转速为零时，由于重力的作用，粉料肯定沉积在模具内部空间的底部。而另一方面模具转速也可以高到让模内粉料处于离心状态，即离心力大到能让粉料紧贴在模具内表面上形成一层均匀的粉料层。使模内粉料处于离心状态的模具转速应该是大于某个转速的范围值，但目前并不知道这个转速的具体范围值，本研究就把使得模内粉料处于离心状态的转速范围统称为模具转速较高的工况。

如图4所示，当模具静止和转速较高时，模内粉料的状态简单且不随时间改变。因此很容易应用FLUENT软件对其进行仿真计算以获得这2种工况下的加热时间，然后再转换成模具的内表面传热系数。虽然在实际的滚塑工艺中一般不会采用这2种转速，但它们是所有转速中的2种极端情况。将这2种工况下模具内表面传热系数与其他转速对应的内表面传热系数一起研究，可以更深刻地揭示模具内表面传热系数随转速变化的内在的流动与传热机理。

图4 不同模具转速时模内粉料的状态Fig.4 The condition of powder inside the mold at different speed

图5（a）给出了当模具静止时，对于体积占比分别为10%和30%的粉料，由FLUENT软件计算出的模内温度随时间的变化情况。计算过程显示前者的加热时间为590 s，后者的加热时间为769 s。图5（b）给出了当模具的转速较高时，对于体积占比分别为10%和30%的粉料，由FLUENT软件计算出的模内温度随时间的变化情况。计算过程显示前者的加热时间为318 s，后者的加热时间为540 s。

图5 不同模具转速时模内温度的计算值随时间的变化情况Fig.5 Variation of calculated internal temperature with time when the mold rotates at different speed

3.3 模具内表面传热系数随模具转速的变化规律

将图2所示以及模具静止和转速较高的所有工况下的加热时间通过本传热模型转换为内表面传热系数分别显示在图6中。图6中，将模具转速较高时的内表面传热系数用水平虚线表示，并不与某个或某些特定的转速相对应，仅用于与其他较低转速时的传热系数进行比较。

由图6（a）可以看出，当粉料的体积占比为10%时，模具由静止到转速为2 r/min，其内表面传热系数快速增大，随后内表面传热系数随模具转速的变化很小。当模具静止时，其内表面与模内混合物间的传热方式是导热，而不是对流换热，因此传热系数很低。10%的体积占比意味着模内粉料所受的惯性力比较小，只要模具稍微有一点转速，粉料就会运动起来与模内空气混合，同时二者的混合物与模具内表面进行对流换热，从而使得内表面传热系数急剧增大。在转速达到2 r/min后继续增加模具的转速，由于模内的粉料比较少，其运动状态的变化对模具内表面向模内混合物的传热效果影响不大，因此内表面传热系数的变化也变得不明显。

当模具的结构尺寸和粉料的物性确定后，模具内表面传热系数的高低主要取决于粉料与模具内壁接触面积的大小和粉料的运动状态这两个因素的综合效果。当模具的转速高到使得粉料层处于紧贴内表面的离心状态时，粉料与内表面的接触面积最大，但粉料与模内空气的混合运动却很弱。当粉料的体积百分比为10%时，由于粉料层很薄，因此来自模具的热量通过导热方式在粉料层内传递的很快。也就是说此时粉料与模具内壁较大的接触面积使得传热系数升高的程度超过了粉料与模内空气较弱的混合运动使得传热系数降低的程度，因此如图6（a）所示当粉料的体积占比为10%时，较高模具转速工况下的内表面传热系数要明显高于较低转速下的内表面传热系数。但是由于较高转速下滚塑设备各个运动零部件的惯性力会很大，严重削弱了机械的结构强度，因此即使具有较高的内表面传热系数，实际中滚塑模具也不会采用使粉料处于离心状态的较高转速。

图6 不同粉料体积占比时模具内表面传热系数随转速的变化Fig.6 Variation of heat transfer coefficient at inner surface of mold with different volume percentage of powder against rotational speed

由图6（b）可以看出，当粉料的体积占比为30%时，模具由静止到转速为2 r/min，其内表面传热系数快速增大，但增大的速率相对粉料体积占比为10%要低。这是因为前者粉料的质量较大，所受的惯性力也大，所以粉料与模内空气的混合运动很难快速变强。当模具的转速增加到5 r/min之后，内表面传热系数升高的幅度开始变缓。当模具的转速达到20 r/min时，内表面传热系数升到了最大值，然后随着模具转速的继续增加开始减小。转速过了25 r/min后，该传热系数减小的速率变的很缓慢。

另外由图6（b）还可以看出，在模具转速较高的工况条件下内表面传热系数要小于绝大部分转速较低的工况，这与粉料的体积占比为10%时完全不同。这说明当粉料的体积占比为30%时，在较高的模具转速下，即使粉料与模具内壁有最大的接触面积，但这使传热系数升高的程度仍然不及由于粉料与模内空气较弱的混合运动而使其降低的程度。因此当模内的粉料量较多时，为了获得高的模具内表面传热系数，首要考虑的是模具转速应能使得粉料与模内空气的混合运动更剧烈，其次才是让粉料尽可能与更多的模具内表面保持接触。

图6（b）显示当模具转速处于10～30 r/min范围内时，内表面传热系数相对较高。在此转速范围的粉料的运动模式应该是文献［8］中所显示的翻滚状态或者瀑布状态。当模内粉料的运动处于翻滚状态时，一方面，在模具底部的粉料堆整体随着模具的转动向上运动；另一方面在粉料堆的自由表面处有一层粉料连续的从上向下流动。这个流动的粉料层同时与其下方的粉料堆和上方的模内空气进行对流换热，因此增强了模具内表面向模内混合物的传热效果。当模内粉料的运动处于瀑布状态时，同样在模具底部的粉料堆整体也是随着模具的转动向上运动；另外此时粉料所受的惯性力大到能把一部分粉料甩入到模内空气中，与之充分混合，因此也强化了模具内表面与模内混合物之间的换热。

在实际的滚塑工艺中，圆筒形模具转速一般为4～20 r/min［8］，与图6所示的较高内表面传热系数所对应的转速范围部分重合。在滚塑加热阶段的仿真计算中，一般需要事先知道模具内表面的传热系数，将其作为已知条件输入传热模型。为简便起见，可将图6中在转速范围4～20 r/min的内表面传热系数取算数平均值，从而得到在实际的滚塑加热阶段圆筒形模具的内表面传热系数：当粉料体积占比为10%时该传热系数约为 6.8 W/（m2·K），当粉料体积占比为 30%时该传热系数约为14 W/（m2·K）。

4 结论

（1）为圆筒形滚塑模具在粉料开始熔融前的加热阶段建立了一个简化的传热理论模型，通过该模型将实验测得的粉料加热时间转换为模具的内表面传热系数；当粉料的体积占比为10%时，随着模具由静止开始增加转速，内表面传热系数先是快速增大，但在转速达到2 r/min以后，内表面传热系数随模具转速的变化变得很小；当粉料的体积占比为30%时，随着模具由静止开始增加转速，内表面传热系数显著增大，在转速达到5 r/min以后，内表面传热系数的增速变缓，并在20 r/min时达到了最大值；继续增加转速，该传热系数开始减小，并在25 r/min后减小的速率变缓；

（2）在实际的滚塑加热阶段，当模内粉料的体积占比为10%和30%时，圆筒形模具的内表面传热系数分别约为 6.8 W/（m2·K）和14 W/（m2·K）。