无限维3-Pre-李代数

白瑞蒲 刘山

摘要： 构造3-Pre-李代数一直是一个很困难的问题 ， 目前关于3-Pre-李代数的例子很少. 利用单无限维3-李代数Aw =?Lm |m ∈ Z?上所有权为0 的齐性 Rota-Baxter 算子 ， 构造了5 类不同构的3-Pre-李代数 Bk ;0 ? k ?4 ， 且对所构造的3-Pre-李代数的结构进行了研究 ， 证明了 B2和 B4是2 类单3-Pre-李代数 ， B1是具有无限多个1 维理想的不可分解 3-Pre-李代数 ， B3是具有有限多个理想的不可分解 3-Pre-李代数.

关键词：3-Pre-李代数;3-李代数;齐性 Rota-Baxter 算子

中图分类号： O152.5 文献标志码： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.001

Infinite dimensional 3-Pre-Lie algebras

BAI Ruipu1，2 ，  LIU Shan1，2

（1. College of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding Hebei 071002，China;2. Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence ofHebei Province， Hebei University， Baoding Hebei  071002， China）

Abstract： Constructing 3-Pre-Lie algebras has always been a difficult problem; until now， there have been very few examples of 3-Pre-Lie algebras. In this paper， we use homogenous Rota-Baxter operators of weight zero on the infinite dimensional 3-Lie algebra Aw =?Lm|m ∈ Z? to construct 3-Pre-Lie algebras Bk ;0 ? k ?4 ， and we subsequently discuss the structure. It is shown that B2  and B4  are non-isomorphic simple 3-Pre- Lie algebras， B1  is an indecomposable 3-Pre-Lie algebra with infinitely many one-dimensional ideals， and B3 is an indecomposable 3-Pre-Lie algebra with finitely many ideals.

Keywords：3-Pre-Lie algebras;  3-Lie algebras;  homogenous Rota-Baxter operator

0  引言

Pre-李代数与3-李代数[1-2]在微分几何及对称空间中有着广泛的应用. 文献[3]将经典的 Yang- Baxter 方程进行了推广 ， 得到了3-李代数的 Yang-Baxter 方程 ， 并将 Pre-李代数推广为3-Pre-李代数. 3-Pre-李代数的结构与3-李代数的 Yang-Baxter 方程的解有着非常紧密的关系. 但到目前为止 ， 关于3-Pre-李代数的例子很少 ， 且一直未有无限维3-Pre-李代数的例子. 人们一直在探讨如何从已知的代数结构中构造出3-Pre-李代数 ， 这一直是研究者力图解决但尚未解决的问题. 本文根据3-李代数上权为零的 Rote-Baxter 算子与 O-算子的关系 ， 利用已知的3-李代数的结构构造3-Pre-李代数. 在无限维线性空间 V =?Lm | m ∈ Z ?上构造出5 类不同构的无限维3-Pre-李代数.

在无特殊说明的情形下 ， 本文中以 C 表示复数域 ， Z 表示整数集. 对线性空间 V 的子集 S ， 用?S?表示S 张成的 V 的子空间. 为方便起见 ， 在给出代数的乘法表时 ， 省略乘积为零的基向量运算.

1  预备知识

定义1[3]   设 A 是域C 上的线性空间 ， 若3-元线性运算{ ，  ， } ： A ? A ? A → A 满足

{x1， x2 ， {x3， x4， x5}}= {[x1， x2， x3]c ， x4， x5}+ {x3 ， [x1， x2， x4]c ， x5}+ {x3， x4 ， {x1， x2， x5}} ，

{[x1， x2， x3]c ， x4， x5}= {x1， x2 ， {x3， x4， x5}}+ {x2， x3 ， {x1， x4， x5}}+ {x3， x1 ， {x2， x4， x5}} ，

{x1， x2， x3}= ?{x2， x1， x3}，  xi ∈ A， 1 ? i ?5 ，

对任意x， y， z ∈ A ，有

则称 A 为3-Pre-李代数.

3-李代数[1]是具有线性运算[， ，]： L∧3 → L 的线性空间 L， 且满足：?x1， x2， x3， y2， y3 ∈ L ， [[x1， x2 ， x3]， y2， y3]= [[x1， y2， y3]， x2， x3]+ [x1 ， [x2， y2， y3]， x3]+ [x1， x2 ， [x3， y2， y3]].EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

设 L为3-李代数 ， V是线性空间 ， ρ： L ∧ L →gl（V）是线性映射 ， 且满足

xi ∈ L， 1? i ?4 ， 则称（V， ρ）为 L 的表示[2] ， 简称 V是3-李代数 L -模.

对于任意3-李代数 L ， （L， ad）是3-李代数 L 的伴随模 ， 其中

ad ： L ∧ L → gl（L）： ?x1， x2 ∈ L，  adx1;x2（x）= [x1， x2， x]， ?x ∈ L.

3-李代数 L 的权为零的 Rota-Baxter 算子[4] R 是 L 的线性变换 ， 且满足：?x1， x2， x3 ∈ L ，

定义2[3]   设 L是3-李代数 ， （V， ρ）为 L -模， 若线性映射 T ： V → L满足

则称算子 T 为3-李代数 L 的与（V， ρ）相关联的O -算子.

引理1  设 L是域C 上的3-李代数 ， R 是 L 的权为零的 Rota-Baxter 算子 ， 则R 是3-李代数 L 的与伴随表示（L， ad）相关联的O -算子.

证明由伴随表示的定义及式（2）和式（3）可得结论 ， 证毕.

引理2[3]   设 L是3-李代数 ， （V， ρ）为 L -模 ， T ： V → A 为与（V， ρ）相关联的 O -算子 ， 则（L， {， ， }）是3-Pre-李代数 ， 其中

{x， y， z}= ρ（Tx， Ty）z， ?x， y， z ∈ L.（4）

在文献[5]中 ， 作者研究了单的无限维3-李代数Aw的一类特殊的权为零的 Rota-Baxter 算子 ， 称其为齐性 Rota-Baxter 算子.3-李代数是以{Lm|m ∈ Z}为基的线性空间 ， 具有运算

上权为零的齐性 Rota-Baxter 算子是权为零的 Rota-Baxter 算子 R ， 且存在 Z -可加映射f ： Z → C， 使得 R（Ln）= f（n）Ln ， ?n ∈ Z.

首先给出Aw上权为零的齐性 Rota-Baxter 算子.

引理3[5]   3-李代数Aw上所有权为零的齐性 Rota-Baxter 算子定义为

其他情形;

其他情形;

其他情形.

其他情形;

式中： m， k ∈ Z ; a ∈ C＼{    n ∈ Z， n  0}; b ∈ C ＼{0}; m0 ∈ Z>0; m ∈ Z>1; m1 ∈ Z ＼{0}.

2  构造3-Pre-李代数

本章利用3-李代数Aw上权为零的齐性 Rota-Baxter 算子构造无限维3-Pre-李代数 ， 并对构造的3- Pre-李代数进行分类.

定义3  3-Pre-李代数（A， {， ， }）的左中心Zl（A）和右中心Zr（A）分别定义为

且称 Z（A）= {x |{x， A， A}= {A， A， x}= 0， x ∈ A}为 A 的中心.定义4  设 I为3-Pre-李代数 A 的子空间. 如果{I， A， A}? I ， 则称 I为 A 的左理想

如果{A， A， I}? I ， 则称 I为 A 的右理想.如果I 既是 A 的左理想又是 A 的右理想， 则称 I为 A 的理想.

如果3-Pre-李代数 A 可分解为2 个真理想的直和 ， 则称 A 为可分解的3-Pre-李代数 ， 否则称 A 为不可分解的3-Pre-李代数.

如果3-Pre-李代数 A 没有真理想 ， 则称 A为单的3-Pre-李代数.

命题1  设I为3-Pre-李代数（A， {， ， }A）的理想.则商空间 AI = A/I ={x + I|x ∈ A}按下列运算构成3-Pre-李代数 ， 并称其为A 关于理想 I 的商代数 ，具体表示为

{x + I， y + I， z + I}= {x， y， z}A + I， ?x， y， z ∈ A. （5）

证明对 x， y， z， x′， y′， z′ ∈ A ， 且 x + I = x′ + I， y + I = y′ + I， z + I = z′ + I ， 則存在 x′′， y′′ ， z′′ ∈ I， 使得 x = x′ + x′′， y = y′ + y′′， z = z′ + z′′. 所以

{x， y， z}A = {x′ + x′′， y′ + y′′， z′ + z′′}A = {x′， y′， z′}A + i.

式中 i ={x ， y′′′， z }′ A +{x ， y ， z′′′′}A +{x  ， y ， z }′′′′ A +{x  ， y ， z′′′′′}A +{x  ， y′′′′， z }′ A +{x ， y′′′， z′′}A +{x′′， y′′ ， z′′}A ∈ I .所以 ， 由式 （5）定义的运算有意义. 直接计算可验证式 （5）满足定义 1， 计算过程省略 ，证毕.

定理1  设V是3-李代数Aw的基空间 ， 即 V是以{Lm|m ∈ Z}为基的无限维线性空间 ， 则 V上由权为零的齐性 Rota-Baxter 算子Rk ， 1? k ?5 ， 按照等式（4）构造的3-Pre-李代数在同构的意义下有且仅有如下5 类.

Abel的3-Pre-李代数;

式中： a ∈ C ＼{  | n ∈ Z， n  0}; b ∈ C ＼{0}; t1 ∈ Z; t2 ∈ Z>1; t3 ∈ Z>2.

证明记（Ak ， {， ， }k）（简记为Ak）， k =1， 2， ·· · ， 5 ， 表示由Aw上权为零的齐次 Rota-Baxter 算子 Rk 按照式（4）构造的3-Pre-李代数. 由引理3 可知A3为 Abel 的， 因此得到 B0.

由算子 R1和R5构造的3-Pre-李代数分别为

显然 ， A1和A5均与 B1同构.

由引理3 及式（4）可知， 由算子 R2和R4构造的3-Pre-李代数分别为

易见 ， 当m0 =1时 ， A2同构于 B2; 当m0 >1时 ， A2同构于 B3.

当m > 2时 ， A4同构于 B4; 当m = 2时 ， 直接进行计算可验证线性映射

?： A4 → B3， ?（Lm）= {

L2k ?1，   m =2k +1，     L2k+2，   m =2k， ?k ∈ Z

是A4到 B3在t2 =2时的代数同构. 因此， 得到3-Pre-李代数Bi ， 0? i ?4.

下面证明Bi不同构于Bj ， 0? i  j ?4 .

显然 ， B0不同构于 Bi ， 1? i ?4 .由乘法表可知 ， B2的左中心 Zl（B2）= 0 ， 而对于任意固定的 t1 ∈ Z ， t2 ∈ Z>1 ， B1 ， B3和B4分别有非零左中心

所以B2不同构于 B1、B3和B4. 再由 B1的乘法可知 ， 对任意n ∈ Z ， I =?Ln?是 B1的右理想 ， 而B3和B4没有1 维的右理想. 所以B1不同构于 B3和B4.

由 B3的乘法表可知 ， {B3， B3， Zl（B3）}B3  ? Zl（B3）. 所以左中心 Zl（B3）是 B3的理想. 而B4的左中心不是 B4的理想， 证得 B3与 B4不同构. 所以， Bi不同构于Bj ， 0? i  j ?4 ， 证毕.

3  3-Pre-李代数Bi（1 ? i ?4 ）的结构

本章進一步研究3-Pre-李代数Bi的结构 ， 1? i ?4 .为叙述方便 ， 对任意3-Pre-李代数（A， {， ， }）及 x， y ∈ A ， 定义左乘映射：

首先研究 B1的结构.

定理2  对任意给定的t1 ∈ Z ， 有：

1） B1的左中心和右中心分别为

且左中心的任意子空间都是 B1的理想.

2） B1是不可分解的3-Pre-李代数.

证明由定理1 中 B1的乘法表可直接得到结论1）.

如果 B1是可分解的3-Pre-李代数 ， 则存在真理想 I 和 J 使得 B1 = I ⊕ J ， 则一定有 Lt1    I 且 Lt1    J .事实上 ， 如果Lt1  ∈ I （或是Lt1  ∈ J ）， 则由 B1的乘法可知，

{Lt1 ， L1?t1 ， Ln}B1  =τLn ∈ I， ?n ∈ Z＼{t1 ， 1? t1}.

式中τ= [（2n ?1）（? 1）t1  +（1? 2t1）（? 1）n]b  0. 因为 I  B1 ， 所以L1?t1    I ， 则存在

使得 L1?t1  = x + y .由上述讨论可知 km   1 ? t1 ， 1? m ? q .所以 ， y =?x + L1?t1 L1?t1. 得到

与 I ∩ J  0矛盾.因此Lt1    I （Lt1    J ）.

于是 ， 存在 x ∈ I， y ∈ J， x  0， y  0， 使得 Lt1  = x + y .由 {B1， B1， x}B1  ? I， {B1， B1， y}B1  ? J 及{B1， B1， Lt1}B1  ={B1， B1， x}B1  +{B1， B1， y}B1  ={0}， 得到 x， y ∈ Zr（B1）. 所以 ， 存在 α， β， α′， β′ ∈ C，使得 x =αLt1  +βL1?t1， y =α′Lt1  +β′L1?t1. 因为 x， y 线性无关 ， 所以? = det （      ）  0. 再由Lt1  = x + y 可得β= ?β′ ， α+ α′ =1. 因为对任意n ∈ Z＼{t1 ， 1? t1} ， 有

得到β[（2n ?1）（? 1）t1  +（1? 2t1）（? 1）n]bLn ∈ I ∩ J .所以 ， β= β′ =0 ， 与?  0矛盾.证得 B1是不可分解的3-Pre-李代数 ， 证毕.

定理3  对任意给定的t2 ∈ Z>1 ， 有：

1） B3有t2 ?1个极小理想 Is = ? L2kt2+2s， L1+2kt2+2s | k ∈ Z ? ， s =1， 2， ·· · ， t2 ?1 .EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

2） B3的每个真理想是极小理想的直和.

3） B3的左中心是最大真理想 ， B3的右中心等于零.

4） B3是不可分解的3-Pre-李代数.

证明由定理1 中 B3的乘法表可知 ， 对于任意给定的 t2 ∈ Z>1以及 s ∈ Z，  1? s < t2 ， Is = ? L2kt2+2s， L1+2kt2+2s | k ∈ Z ?是 B3的极小理想. 所以结论1）成立.

设 I为 B3的任意一个真理想 ， 则对任意k ∈ Z ， L2kt2    I .

事实上 ， 如果存在k0 ∈ Z ， 使得 L2k0t2  ∈ I ， 由

及 k2， k3的任意性 ， 得到 {I， B3， B3}B3  = B3 ? I ， 矛盾 .所以?k0 ∈ Z .

任取非零x ∈ I ， 则存在si， ri， r ∈ Z， 0? si < t2 ， n ∈ Z ?1 ， 使得

对于任意1 ? i ? n， 有λi   0或?i   0.

对1 ? j ? n ， 不妨设?j   0. 设k1， k2 ∈ Z 满足k1+ k2+ rj = 0 ， k2   k1 ， 则

因此， 对任意m ∈ Z ， t ∈ Z>0 ， 有

式中σi = （ma ?m+1）（m ?ma+1）， i =1， ·· · ， n .由范德蒙行列式性质可知 ， L2sj  ∈ I ，

同理 ， 如果， 由?m ∈ Z ， 及?t ∈ Z>0 ， 有 lL（t）2mt2;L1? 2mt2（Y）∈ I ， 得到 .因此{B3， B3， L1+2sj }B3  = Isj  ? I .

再由 I是真理想得sj > 0 ， 1?j ? n .证得 I是极小理想的直和. 得到结论2）.

由结论1）和结论2）可以直接得到结论3）.

如果 B3是可分解的 3-Pre-李代数. 则由结论 2）可知 ， B3是極小理想的直和. 因此 ， 存在 ， 使得

对于任意1 ? i ? n 有λi   0或?i   0. 这与线性无关相矛盾. 所以结论4）成立， 证毕.

定理4  B2和B4都是单的3-Pre-李代数.

证明首先讨论 B2的情形. 设 I为 B2的非零理想 ， 则任取非零x ∈ I ， 存在ri ∈ Z ， 1? i ? n ， n ∈ Z ?1 ， 使得

对于任意1 ? i ? n ， 有λi   0或?i   0.

对于任意 1? j ? n ， 不妨设 ?j   0. 设  k1， k2（∈ Z）满足：  k1+ k2+rj = 0 ，  k2   k1 ， 则 X =  {L2k1t2 ， L2k2t2 ， x}B2 =   ?iL2（ri ?rj）+?jL0 ∈I .所以， 对任意m ∈ Z ， t ∈ Z>0 ， 有，τi =   0， 1? i ? n .由范德蒙行列式的性质可知 ， L0 ∈ I .再由B2 的乘法表可知 ， {L0， B2， B2}B2  = B2 ? I ， 得到I = B2. 所以， B2没有真理想. 证得B2是单的3-Pre-李代数.

同理， 可证得 B4是单的3-Pre-李代数 ， 证毕.

[参考文献]

[1]白瑞蒲， 马越.3-李代数 A 的模与诱导模[J].华东师范大学学报（自然科学版）， 2021（3）：8-16.

[2]白瑞蒲， 侯帅， 亢闯闯.对合导子构造的3-李双代数与3-Pre-李代数[J].数学学报（中文版）， 2020， 63（2）：123-136.

[3]BAI C M， GUO L， SHENG Y H. Bialgebras， the classical Yang-Baxter equation and Manin triples for 3-Lie algebras [J]. Adavances in Theoretical and Mathematical Physics， 2019， 23（1）：27-74.

[4]BAI R P， GUO L， LI J Q， et al. Rota-Baxter 3-Lie algebras [J]. Journal of Mathematical Physics， 2013， 54：063504.

[5]BAI R P， ZHANG Y H. Homogeneous Rota-Baxter operators on the 3-Lie algebra Aw  [J]. Colloquium Mathematicum， 2017， 148（2）：195-213.

（责任编辑：陈丽贞）EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD