抛物线中双定点性质的探究*

江西省南昌市第一中学 (330000) 喻瑞明

抛物线性质的教学是高中数学教学实践中不可缺少的一部分，有关抛物线性质的考题也是层出不穷.我们知道，抛物线中蕴含了许多优美的结论，本文从2018年全国Ⅰ卷文科第20题考查抛物线的性质出发，利用几何画板探究了抛物线中双定点的一些性质，供同仁参考.

文[1]中已探究了抛物线的性质，并得到如下结论：

结论1 如图1，已知抛物线y2=2px(p>0)，点B(-m,0)(m>0)，设斜率存在的直线l与抛物线相交于M,N两点，则直线l过定点A(m,0)的充要条件是kBM+kBN=0.

结论2 如图2，已知抛物线y2=2px(p>0)，A(m,0)，B(-m,n)(m≠0)，直线l过点A且与抛物线相交于P,Q两点，则kPB+kQB=2kAB.

图1

图2

综观上述两个结论，我们可以发现，得出了已知两个定点A,B的抛物线的两条性质，本文依此为背景，进一步研究的抛物线中双定点的一些性质.

首先，我们先一起探究以下引理：

引理若A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上不相同的两个点，则直线AB的方程为(y1+y2)y=2px+y1y2.

以此引理为基础，以几何画板为手段，探究得出如下结论：

图3

图4

由结论3，进一步探究得出结论4.

由结论3、4，进一步推广得出结论5和结论6.

图5

图6

结论6 如图6，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，定点A(-a,0)(a>0)，定点B(a,m)(m≠0)不在抛物线C上，过点A的直线与抛物线C相交于M,N两点，直线MB与抛物线C相交的另一个交点为Q，记直线NQ恒过的定点为G，直线NB与抛物线的另一个交点为P，则(1)A,P,Q三点共线；(2)M,P,G三点共线.