基于极值搜索算法的四旋翼姿态PID控制*

许海洋， 郭玉英

(1.西南科技大学 信息工程学院，四川 绵阳 621010； 2.特殊环境机器人技术四川省重点实验室，四川 绵阳 621010)

0 引 言

四旋翼无人机(unmanned aerial vehicle,UAV)因其操作简便、可靠性强、勤务性好等特点，而被广泛用于航拍、搜救、险情巡视、火星探测等领域。此外，简单的结构、新颖的外形、低廉的成本、卓越的性能以及独特的飞行控制方式使其逐步成为国际上新的研究热点。

由于四旋翼无人机多变量、非线性、欠驱动、强耦合的特性，四旋翼姿态控制是最主要的研究难点。目前四旋翼姿态控制主要比例—积分—微分(proportional integral differential,PID)[1]、反步法[2]、自适应控制[3]、滑模控制[4]、自抗扰控制[5]等多种控制算法使用较多。PID 控制方法以原理简单、适应性强、鲁棒性较好而广泛应用于四旋翼无人机姿态控制。经典PID控制器存在的快速性与超调之间的矛盾受增益参数影响较大，而四旋翼时刻处于多变的环境当中，PID 控制器的参数整定存在一定的难度，通常需要经验丰富的技术人员在线整定。四旋翼强非线性和强耦合性导致了其精确模型难以获得，而非线性控制多基于精确的模型。极值搜索(extreme seeking,ES)算法是一种不基于模型，在闭环系统内迭代地修改代价函数的参数使其达到极小值的寻优方法。通过代价函数最小值的搜索确定控制器参数的最优选取。文献[6]采用扰动ES算法估计路面附着系数。文献[7]采用ES算法与PID控制方法相结合设计飞艇姿态控制器。文献[8]提出了基于反演设计的块控型极值搜索系统一体化控制方法。

为了降低模型不确定性对系统产生的影响以及对PID控制器参数自适应调整，本文将ES算法与PID相结合应用于四旋翼姿态自适应控制，方便飞行过程中对PID参数实时进行自整定，提高系统的动态性能，以期获得一种结构简单、易于实现而又具有较好控制效果的四旋翼姿态控制方法。

1 四旋翼无人机飞行原理与模型建立

四旋翼结构简图如图1，四个旋翼分布在十字形支架的四个顶点，依次编号为1,2,3,4。飞行时，一组(1,3)旋翼始终逆时针旋转，另一组(2,4)旋翼始终顺时针旋转。如此，当四个旋翼转速相等时，四旋翼将会悬停或者做竖直方向的线运动。增大(减小)一组旋翼转速的同时等效的减小(增大)另一组旋翼地转速，四旋翼产生偏航运动。减小一组中一个旋翼的转速同时等效地增大同组另一个旋翼的转速，四旋翼产生俯仰或滚转运动。

图1 四旋翼结构简图

忽略空气阻力和陀螺效应，四旋翼做小角度运动，欧拉角的角速度[,,]与机体角速度[,,]之间的转换矩阵R为

(1)

根据牛顿—欧拉运动方程，四旋翼无人机动力学模型描述为

(2)

式中 [φ,θ,ψ]为飞行器三个姿态的欧拉角度，分别代表滚转角、俯仰角和偏航角；[X,Y,Z]为飞行器质心在惯性坐标系中的位置坐标；l为飞行器半径长度，表示每个旋翼末端到飞行器重心的距离；m为四旋翼无人机的负载总质量；Ii为围绕每个轴的转动惯量。

2 控制系统设计

2.1 总体控制方案

由式(1)和式(2)可以看出四旋翼各通道具有强耦合性，当无人机做小角度飞行如悬停状态时，X通道和Y通道与姿态角的耦合性比较强。四旋翼的控制是通过调节四个旋翼的转速实现的。一般通过两个控制回路对四旋翼实现控制。内环控制四旋翼的姿态，外环控制四旋翼的位置。四旋翼整体控制框图如图2。

图2 四旋翼整体控制框图

2.2 ES-PID控制器设计

ES算法是由Tsien教授于1954年提出的一种不依赖于被控对象模型的寻优方法。ES算法从诞生至今大致有如下几个发展方向：单变量ES算法理论、多变量ES算法理论、滑模ES算法理论、斜率搜索算法理论、离散时间ES算法理论、退火回归神经网络ES算法理论，以及应用极值算法进行PID参数整定[9]。以位置环高度控制为例，设计ES-PID控制器，ES-PID控制框图如图3。

图3 ES-PID控制框图

图3中，r(t)和y(t)分别为参考信号和输出信号，J(θ(k))为待优化目标函数，θ(k)为待寻优参数。ES算法通过不断调整PID控制器的参数，使给定的代价函数最小化，从而搜索到最合适的PID参数。该方法使用误差平方积分准则函数ISE为代价函数J(θ)[10]

(3)

θ=[Kp,Ti,Td]

(4)

式中e(t,θ)=r(t)-y(t,θ)为闭环输入与输出的误差，θ为PID控制器参数。离散ES原理图如图4。

图4 离散ES原理

图4为基本极值搜索循环,通过探测信号的扰动获取目标函数的梯度信息，并沿着负梯度方向进行搜索，寻找目标函数的极值,然后根据该梯度信号对控制器参数的最优值不断进行在线搜索。

2.3 ES算法收敛性证明

假设J(θ)具有如下二次形式

(5)

式中f″>0(在不失一般性的情况下)，若f″<0，则将图4中k代换为-k。算法的目的是让θ*-θ尽可能地小，使J(θ)逼近它的极小值f*。由图4，用表示未知最优输入θ*的估计值

(6)

表示估计误差，因此

θ-θ*=asinωt-

(7)

将式(3)代入式(1)有

(8)

展开表达式(8)，并利用基本三角恒等式2sin2ωt=1-cos 2ωt得到

(9)

(10)

然后通过与sinωt相乘来解调该信号，得到

(11)

由于θ*是一个常量，所以·=-·，通过积分环节-k/s可滤除cos 2ωt、sin 3ωt,sinωt等高频，因此

(12)

(13)

由式(13)，当时kf″>0，系统稳定。通过选择合适的增益k和振幅a，经过不断迭代即可得到→0，亦或说收敛到θ*。

3 仿 真

根据前文数学模型，在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，所使用的系统参数设置：四旋翼飞行器质量m为2 kg，轴距l为0.2 m，重力加速度g为9.8 N/kg,绕X轴的转动惯量I1为1.25 kg·m2,绕Y轴的转动惯量I2为1.25 kg·m2,绕Z轴的转动惯量I3为2.5 kg·m2。

3.1 基于ES算法的参数整定

以高度控制器为例，用ES算法整定PID控制器的三个参数(Kp，Ti，Td)。ES算法代价函数和PID控制器参数整定仿真结果如图5。

图5 代数函数J(θ)和PID参数整数仿真结果

从图5可以看出代价函数J(θ)随着参数整定过程逐渐收敛到0;PID控制器参数在4 s左右逐渐稳定到9.8,0.05,0.2。

3.2 不同控制方法的控制效果比较

本文将经典PID、ES-PID、初始化参数ES-PID三种控制方法对四旋翼无人机姿态的控制效果进行对比来验证ES算法参数优化与参数整定能力。基于四旋翼数学模型、ES原理以及3.1节(四旋翼无人机系统参数)进行仿真实验。由于无人机欠驱动的特点，不能同时对6个自由度进行控制，因此，本文通过对[x，y，z]和偏航角ψ进行跟踪，同时保证另外两个角度θ和φ为0°。设定无人机起始位置状态[x，y，z]=[0，0，0]，起始角度状态ψ=0，期望目标位置[x，y，z]=[1，1，2]，期望目标姿态[ψ,θ,φ]=[0,0,0]，仿真结果如图6所示。

图6 四旋翼无人机定点悬停位置与姿态仿真

从图6(a)仿真结果来看，图7(a1)～(a3)显示的位置状态的超调量σ(经验调参PID)>5 %>ES-PID的σ大于初始化参数ES-PID的σ，响应时间均在4 s左右达到期望目标。从图6(b)仿真结果看出：图(b1)显示的俯仰角波动范围在0.55°～-0.25°之间；图(b2)显示的滚转角波动范围在-0.55°～0.25°。之间;图(b3)显示的偏航角变化较小，几乎为0。

图6(a)和图6(b)稳定时间都在4s左右，稳态误差为0，三个姿态响应速度较快，满足四旋翼无人机飞行时需要稳定、快速的要求。在控制性能上ES-PID比传统经验调参PID有一定提高，经过参数初始化的ES-PID在快速性上比经验调参PID和ES-PID有了提高。

3.3 ES算法参数变化的影响

探测信号的选取以及滤波器设计是ES算法中最重要的部分，而探测信号幅值α与滤波器增益k对代价函数优化有重要的影响，因此本文对这两个参数进行了研究。α和k越大，对于算法初值选取的范围就越大，ES算法的收敛域随着α和k的增大而减小，选取探测信号幅值和滤波器增益时首先要保证系统的稳定性。

选择三组参数分别为[α,k],[α/2,k],[α,k/5]，其中α=0.1，k=1 000。得到如图7所示代价函数仿真曲线。

图7 不同参数的代价函数曲线

由图7可以看出，随着探测信号幅值α和滤波器增益k的减小，代价函数收敛速度变慢，ES算法收敛变慢，但不同参数下的代价函数最终都收敛于一个趋于0的值。由此可见，虽然ES算法收敛速度受探测信号幅值和滤波器增益影响，但收敛结果不受其影响，因此,参数选择对系统模型的依赖性不大，方便了控制器的设计。

4 结 论

本文针对四旋翼无人机姿态控制中PID控制器参数整定较困难，采用ES算法对PID控制器参数进行整定。为了验证ES算法的有效性，通过MATLAB/Simulink仿真验证证明，ES算法能够很好地进行参数整定与寻优。相比于传统PID控制，ES-PID控制算法对四旋翼无人机姿态控制效果更好。同时研究了ES算法中探测信号和滤波器参数对系统影响。