隐含随机波动率模型：构建由数据驱动的金融衍生品定价模型

随机波动率建模是金融计量经济学和金融工程学领域中的重要进展之一。本文介绍的 “隐含随机波动率模型”，基于观测到的隐含波动率曲面信息，来客观且直接地构建由数据驱动的金融衍生品定价模型。这一发现可广泛应用于各种类型标的资产期权，助力交易决策和风险管理，进而对我国金融衍生品发展具有重要指导意义。

金融衍生品市场

在国际和国内金融市场的发展中，金融衍生品在对冲基金、风险管理、优化资源配置、提高金融创新能力、有效地增加市场流动性等方面发挥着重要作用。特别是，随着我国经济对外开放和渗透全球市场的程度以及经济市场化程度的提高，经济不确定性的上升导致企业和金融机构等市场参与者对于风险管理的需求随之攀升。近年来我国金融市场正在迎来金融衍生品的发展机遇。以沪深300交易所交易基金（Exchange Traded Fund，简称ETF）期权为例，在2020年新冠肺炎疫情期间，“黑天鹅”事件频发，我国股票市场行情波动加大，投资者不仅面临方向性风险，也面临波动性风险。但是沪深300ETF期权在自身稳定运行的基础上，有效发挥了“保险”功能，特别是作为下跌“保险”的看跌期权，其成交、持仓占比均持续走高，体现了期权积极满足市场避险需求的作用。又如，我国也在大力发展如贷款市场报价利率（Loan Prime Rate，简称LPR）期权等利率衍生品，这将弥补中国利率市场中期权产品的空白，对未来整个人民币衍生品市场的创新和发展都具有深远意义。

随机波动率建模：从经典方法到创新理念

隐含波动率（Implied Volatility）是市场参与者衡量期权和其他嵌入了期权的金融资产价格的一种通用标度。成功地进行期权定价的关键在于建立可以充分拟合隐含波动率曲面的随机模型。而在以往的金融计量经济学与金融工程学的研究和实践中，为了便于实施无套利定价，自然要从标的资产的价格出发进行建模，而此时对于隐含波动率的刻画和建模往往是间接的，如使用针对标的资产价格及其波动率建立的随机波动率（Stochastic Volatility）模型。

随机波动率建模是金融计量经济学和金融工程学领域中继布莱克-舒尔斯-墨顿（Black-Scholes-Merton，1973）期权定价理论（1997年诺贝尔经济学奖所表彰的工作）之后最重要的进展之一。赫斯顿（Steve Heston）在其1993年题为《随机波动性期权的显式解及其在债券和货币期权中的应用》（A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options）的著名论文中，较早地提出了此类模型的典范，这篇文章发表于《金融研究评论》（Review of Financial Studies），并长期跻身于该期刊所发表论文中的高被引文章行列，在学术研究和实践中均影响深远。这类传统的建模方法需要首先假设并处理模型的具体而又特定的数学表达形式，之后再进行模型参数校准（Calibration）或者参数估计（Estimation）。因此，对于拟合隐含波动率数据而言，这样的模型构建过程是相对主观和间接的。此外，这类建模方法通常需要在数学易处理性和实证表现这两者之间做出权衡。然而，越来越多的研究顯示，要解释真实交易数据的统计特性，与数学上较难处理的模型相比，一些分析上易处理的模型往往并不能够产生令人满意的实证表现。

那么，一个创新的想法自然就是，如何基于观测到的隐含波动率曲面信息，来客观且直接地构建由数据隐含的随机波动率模型，使得该模型自动地拟合隐含波动率曲面的形状规律与动态演化过程，从而在尽可能灵活而丰富的模型框架下进行期权定价。

《隐含随机波动率模型》一文针对该问题进行了开创性的探索，为随机波动率建模带来了全新的理念，使其呈现出前所未有的“人工智能化”与“机器学习化”。

理论根基：从隐含波动率曲面到模型系数函数

文章应用连续时间金融计量方法和技术，成功地构建了隐含随机波动率模型（Implied Stochastic Volatility Model）。其首先假设标的资产价格和其波动率服从一般的随机波动率模型，模型中的漂移（Drift）和扩散（Diffusion）项的函数均为一般化的形式，它们有待推断确定[而非大量文献中人为假设的具体参数化形式，参见例如Heston（1993）]。进而建立了这些未知函数和隐含波动率曲面之间的联系，即将这些未知函数通过波动率曲面上可观测的几何特征表达出来，如平价（At-the-Money）短期限情形下的曲面高度（Level）、斜率（Slope）以及凸性（Convexity）等。

这一理论贡献依赖于笔者系统性、创新性地基于马利亚万（Malliavin）随机分析理论提出并发展的针对任意连续时间随机微分方程模型的显式渐进展开（Asymptotic Expansion）理论和方法。此方法的“雏形”可参见笔者较前期独立撰写发表的论文，例如2013年发表在统计学国际顶级期刊《统计年刊》（Annals of Statistics）上题为《通过显式密度展开进行扩散过程的最大似然估计》（Maximum-likelihood Estimation for Diffusion Processes via Closed-form Density Expansions）的论文;2014年发表在运筹学国际顶级期刊《运筹学数学》（Mathematics of Operations Research）上题为《显式展开、条件期望和期权定价》（Closed-form Expansion，Conditional Expectation，and Option Valuation）的论文;以及于2021年合著发表于计量经济学国际顶级期刊《计量经济学杂志》（Journal of Econometrics）上题为《带跳跃的随机波动率模型的显式隐含波动率曲面》（Closed-form Implied Volatility Surfaces for Stochastic Volatility Models with Jumps）的论文。此方法灵活有效，可以突破以往大量研究中模型设定带来的局限性，适用面宽广，为在复杂而尽可能接近现实的模型下进行金融衍生品定价和相关的计量经济学实证分析提供了有力工具。

实证方法：构建隐含波动率曲面数据驱动的随机波动率模型

基于上述模型和隐含波动率之间的理论关系，即可“构建”与模型系数函数相应的观测数据。进而，自然地使用非参数回归（Nonparametric Regression）技术来实现对于这些未知函数的非参数估计，从而客观地推断模型应有的形式。这样即实现了隐含波动率曲面数据（衍生品价格相关数据）和标的资产价格随机波动率模型的直接对接，实现了建模过程的“数据驱动”化。文中的蒙特·卡罗（Monte Carlo）模拟以及基于标普500指数期权数据的实证研究，表明了方法是成功且稳健的;实证结果证明其拥有较好的样本外表现。特别是，应用2007年至2011年这一跨越2008年全球金融危机的时间段的数据和金融危机之后的2012年至2017年时间段的数据，分别构建隐含随机波动率模型，实证结果显示出应有的敏感度和稳健性，进而从金融计量经济学角度为此次金融危机提供了一些理解。

数据驱动的金融衍生品定价模型

《隐含随机波动率模型》一文提出的方法可被广泛地应用于基于各种类型标的资产的期权（例如股票期权、股指期货期权、利率期权等）。特别是，在我国金融衍生品市场逐步发展的当下，也无疑会提供一种新工具，可有助于探索和建立适应我国市场的新模型，从而助力交易决策和风险管理。隐含随机波动率模型的研究充分体现了，当前在大数据时代的管理科学研究中应注重数据驱动（Data-driven）建模的理念，同时兼顾理论发展和实际应用，在相关的学术和实践领域正在产生积极影响。笔者期待《隐含随机波动率模型》一文能对后续系列研究带来启发。

（李辰旭为北京大学光华管理学院教授。原论文《隐含随机波动率模型》（Implied Stochastic Volatility Models）由作者与普林斯顿大学教授Yacine A t-Sahalia等合作完成，刊发于《金融研究评论》（Review of Financial Studies）2021年1期。本文编辑/孙世选）