断层影响区内隧道涌水的Goodman解析解

成国文，李鲒，傅鹤林，安鹏涛

(1.广东省南粤交通投资建设有限公司，广东 广州 510101；2.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

山岭隧道穿越断层破碎带，常会遇到富存地下水的情况从而可能导致涌水塌方等事故，影响施工安全和施工质量[1]。所以，根据工程地质资料和水文资料，进行隧道涌水量预测，具有重要的意义。有关隧道穿越普通富水地层的涌水量预测，学者们做了许多研究。EL TANI[2]采用复变函数保角变换的原理，得到了在半无限地层条件下圆形隧道的涌水量大小；PARK 等[3]在此基础上，对隧道和水位线方程进行优化，得到了水下隧道涌水量的解析解；李鹏飞等[4]比较分析了各种隧道常规涌水量预测方法的差异，指出各类方法的局限性和适用条件。除了普通围岩外，隧道在特殊地区，例如软土地区、断层区域的涌水量预测也有相应的研究成果，张丙强等[5]考虑了软土地层中非达西渗流的影响，推导了软土隧道的非达西渗流解析解；HWANG 等[6]采用卷积反卷积方法，对隧道揭露倾斜含水层时掌子面的涌水量进行了理论求解；王媛等[7]利用有限元分析方法，采用共轭梯度迭代法，建立了非达西流有限元模型，并用此模型预测了深埋隧道在断层破碎带的涌水量；DENG 等[8]利用地下水径流模数法、降雨入渗系数法、good‐man地下水动力学方法对比计算了隧道在深埋断层区高应力高水压条件下的涌水量，发现goodman地下水动力学方法能够达到较高的精度；师文豪等[9]建立了耦合Darcy 方程、Forchheimer 方程和Navier-Stokes方程的突水非达西流模型，并通过有限元的方法模拟了矿山巷道在遇到破碎岩体时突水的演化过程；ZHAO 等[10]通过试验手段研究了隧道在断层破碎区的涌水特征；朱彬彬等[11]在渗流微分方程的基础上，提出了隧道在富水断层控水模型中的涌水量公式。可以看出，在边界条件较为简单的普通地层水下隧道涌水量计算中，目前已有很多较为精确的隧道渗流场分布及涌水量大小解析解。但在遇到断层的特殊地区，解析求解则会变得极为复杂，所以大部分研究都是凭借经验公式、有限元数值计算或试验手段对涌水量进行预测。此外，在断层构造带区域，由断层中心地带向两侧会呈现出明显的地质分区特征[12]，在断层中心地带，岩体较为破碎，为断层破碎区Ⅰ，在Ⅰ区之外一定范围内属于断层影响区Ⅱ，该区节理裂隙较为发育，且分布分散，在Ⅱ区之外，则为普通岩体区Ⅲ。其中，断层破碎区Ⅰ水害主要发生在隧道揭露断层时，掌子面发生的突涌水，HWANG 等[6]利用卷积反卷积方法给出了相关半解析解，而在普通岩体区Ⅲ的隧道涌水量计算也诞生了较多的工作，而在断层影响区Ⅱ，则少有学者给出解析解答。所以本文通过断层等效的方式简化了模型，并利用镜像叠加原理表征了地表和断层面的供水边界影响，然后推导了在断层影响区域隧道渗流场的Goodman 解析解，通过与数值模拟对比，验证了该解析方式的合理性和适用性。

1 断层影响范围隧道渗流模型的提出

在存在断层的地下空间，隧道掌子面的横断面内，隧道与断层的关系，如图1所示。

图1 横剖面内隧道与断层的几何关系Fig.1 Geometric relationship between tunnel and fault in cross section

在图1 中，H1为隧道到地下水位面的垂直距离，a为横断面内隧道中心到断层面与水位面交点的水平距离，α角为横断面内断层倾角，为了减少断层倾角带来解析计算中的困难，文献[11]和文献[13]将图1 中的原始倾斜断层等效为垂直断层，如图2所示，其中，H2为等效模型中隧道与断层之间的等效距离。文献[11]中将原始模型中隧道到断层的垂直距离视为等效距离，但是注意到当视倾角α趋近于0 时，即地下渗流变为半无限空间渗流，此时，=H1，这与实际存在差异，相比之下，文献[13]中将原始模型中隧道到断层的水平距离作为等效距离更符合实际。所以，本文将在此模型的基础上进行隧道渗流场的解析推导。

图2 等效断层模型Fig.2 Equivalent fault model

2 渗流解析求解

断层作为渗流补给边界，本文拟采用镜像叠加的原理将断层边界的影响用虚拟隧道来代替，从而把有限的渗流区化为虚构的无限渗流区，把求解断层边界附近的隧道排水问题，转化为无限含水层中实际隧道和虚拟隧道同时排(注)水问题。模型示意图如图3所示。

图3 断层影响区地下渗流模型Fig.3 Underground seepage model in fault-affected area

在上述模型中，隧道半径为R，实体隧道T1分别以水位面和等效断层面为镜像面生成2个虚拟供水隧道T2和T3，同时T2和T3又分别以等效断层面和水位面为镜像面生成虚拟排水隧道T4，各个隧道以中心为原点建立极坐标，同时实体隧道T1还以中心为原点建立直角坐标系统，则地层中某点A在各隧道坐标系上的半径距离分别为ρ1，ρ2，ρ3和ρ4，根据余弦定理，各半径关系如式(1)。

同时模型采用Goodman 假定：在无限渗流区范围内，单个隧道排水近似井流排水，即满足：

其中：K为渗透系数，m/h；h为总水头值，m；ρ为土体中某点到隧道中心的距离，m。

模型边界条件为：1) 水位面为恒定水头，即z=H1时，h=H1；2)断层内部作为良好的蓄水空间，其水头值也为恒定值，即x=H2时，h=H1；3) 隧道开挖后，其轮廓线为自由出水界面，所以该界面水头等于其位置水头，即ρ1=R时，h=R· sinθ。

根据叠加原理，在多个排(供)水源的影响下，地下渗流场为各个排(供)水源影响下的子渗流场的线性叠加，以满足渗流连续性微分方程，即h=，在上述假定的条件下，单个隧道在无限渗流空间的水头分布为h=lnρ+C，则在如图3所示的模型中，地下渗流场水头可由式(3)表示。

其中：C1到C5均为常数，通过边界条件求得。将式(3)代入上述边界条件。1) 当z=H1时，即ρ1=ρ2，ρ3=ρ4，则

2)当x=H2时，即ρ1=ρ3，ρ2=ρ4，则

3)当ρ1=R时，则

此外，还可以借助一个特殊点辅助求解，即图3中的B点，此时ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=，则

注意到因为隧道T1和T2反对称，对B点水头贡献数值相等，正负相反，所以C1=-C2，同理，C3=-C4，由于T1和T4正对称，则C1=C4，所以

由上式可知，边界条件1)和2)自动满足，式(8)则可写成

将ρ1=R和式(1)代入式(9)，可得

由式(12)注意到C与变量θ有关，这与其常数的属性不符，主要由于Goodman 井流假定与隧道轮廓线水头值为其位置水头的假定存在差异，尽管如此，仍然可以对式(10)进行探讨。由式(10)可以得到在H1，H2不变的情况下，C与θ和隧道半径R的变化关系，此处取H1=35 m，H2=30 m，以及H2，R不变的情况下，C与θ和H1的变化关系，此处取H2=30 m，R=5 m，计算结果如图4 和图5所示。

图4 C与θ以及隧道半径R的敏感性分析Fig.4 Chart of sensitivity analysis of C to θ and R

图5 C与θ以及H1的敏感性分析Fig.5 Chart of sensitivity analysis of C to θ and H1

可以看出，C对θ的敏感程度远比R和H1小，且当隧道半径R越小，H1越大时，θ对C的影响越小，尤其当H1远远大于R时，C几乎为常数。此外，由式(10)可以看出C为关于θ的周期函数，所以本文取C-θ曲线波峰波谷的平均值作为C的均值，经过计算，θ=0 时，所得的C即为均值，所以式(10)可写成式(11)。

此式在隧道小半径大埋深条件下更为适用。将式(8)和式(11)代入式(3)，可得到渗流场水头表达式。

得到断层影响区的水头分布后，便可得到隧道的涌水值，如下式所示。

3 数值模拟验证

为了验证式(12)和式(13)的合理性，本文利用abaqus 对包含倾斜断层不同的工况进行了数值计算，同时将倾斜断层对应的等效竖向断层工况利用式(12)和式(13)进行解析求解，并对比两者的计算结果。数值模型建立如图6 所示，模型长500 m，高200 m，隧道半径取为6 m，模型采用稳态渗流，以隧道轴线高程的水平面为基准面，令其竖直方向为z方向，在水位面和断层面上，设置总水头值为恒定值H1，同时，代表地层无限远处的模型水位面以下左右边界也恒定为H1，底部边界为不透水边界，而隧道开挖后其轮廓线孔隙水压为0，则围岩总水头值即为z值，因为模型重点关注地下水渗流场变化，所以约束了土体所有的位移自由度。

图6 倾斜断层数值模型Fig.6 Numerical model diagram of inclined fault

解析模型建立同图2，渗透系数K取为0.18 m/h，模型几何参数及隧道涌水量Q计算结果如表3所示。

由表3 可以看出，式(12)和式(13)所得到的隧道涌水量解析解与数值计算结果有一定的差距，但随着隧道埋深的增加，此差距逐渐缩小，且解析解求得的Q随视倾角α变化的趋势与数值模拟计算结果一致。所以利用式(12)和式(13)计算断层影响区内围岩的渗流场及其隧道涌水量具备一定的适用性。

表3 对比模型几何参数及涌水量结果对比Table 3 Geometric parameters of the model and comparison of the results of water inflow

4 地层几何参数敏感性分析

利用式(12)和式(13)，以隧道涌水量作为计算指标，来分析断层影响区内，地层各几何参数对隧道涌水量影响规律。本文建立了考虑3种几何参数的组合工况，分别为H1=15 m，35 m，55 m，75 m，a=10 m，30 m，50 m，70 m，α=40°，50°，60°，70°，互相组合，总共64 种工况，并对各工况的隧道涌水量进行计算，在各模型中，隧道半径R取为6 m，渗透系数K同样取为0.18 m/h。

利用控制变量法，计算并统计了各工况下涌水量Q随隧道中心到水位线的距离H1的变化曲线，如图7所示；涌水量Q随横断面内隧道中心到断层与水位面交点的水平距离a的变化曲线，如图8 所示；以及涌水量Q随断层视倾角α的变化曲线，如图9所示。

图7 各工况Q随H1变化的曲线Fig.7 Curves of Q variation with H1 under different working conditions

图8 各工况Q随a变化曲线Fig.8 Curves of Q variation with‘a’under different working conditions

由图7 可以看出，当a和α不变时，隧道涌水量Q与H1呈现近似线性关系，隧道离水位线的距离越远，涌水量越大，且随着隧道与断层的距离逐渐变小，Q增长的斜率逐渐变大；而由图8 和图9可以看出，各工况涌水量变化曲线随着H1不同而表现明显的分簇，各簇曲线的高度决定于H1的值，而a和α则在各自簇的范围内对曲线造成影响，说明3 个几何参数中，H1对涌水量的影响最大。此外，图8 表现出当H1不变时，若α较大，则曲线斜率变化也会较大，而α较小，曲线较缓，说明α较小时，a对Q的影响也会变小，同样，图9 也表现出类似的规律，H1不变时，若a较小，α对Q的影响变大，反之，则α对Q的影响变小，经过分析，这主要由于参数a和α均反映了隧道与断层的距离，在解析解中，两者均表现在隧道与等效断层的等效距离H2上，当a越大，α越小，则H2越大，说明断层补给边界离隧道越远，隧道涌水量也越小。

5 结论

1) 利用镜像叠加的原理将水位面边界和断层边界对渗流场的影响用虚拟隧道来代替，同时基于无限渗流区内井流理论，并考虑等效模型的边界条件，推导了在断层影响区内，与断层走向较为平行的隧道开挖引起的地下渗流场和隧道涌水量的Goodman 半解析解。通过数值模拟计算对比，此半解析解具备较好的适用性，尤其是深埋小断面隧道。

2) 通过不同工况的渗流计算，分析了断层影响区内的地质几何参数对隧道涌水量的影响，认为隧道离水位线的垂直距离H1对涌水量影响最大，当H1不变时，近似呈线性关系，在不同等级的H1的工况下，涌水量大小出现明显的分级。

3)在H1作为隧道涌水量主要影响因素前提下，断层的倾角α以及横断面内隧道到断层与水位面交点的水平距离a也会放大或减弱H1的作用效果，α越大，涌水量越大，反之则越小，而a的影响效果则相反。