顾及控制点空间分布的坐标转换模型研究

贺俊凯，徐东升，王明远，李明峰

(1.南京工业大学 测绘科学与技术学院,南京 211800；2.江苏省地质矿产局第二地质大队,江苏 常州213022)

0 引言

不同基准下的坐标转换是基于两种坐标系下的公共控制点(以下简称公共点)，通过坐标转换模型计算转换参数而实现的.影响坐标转换精度的因素不仅包括转换模型和控制点坐标误差，还包括公共点的空间分布等因素.关于转换模型与控制点精度影响的研究已相对比较成熟，形成了较为完善的理论和方法[1-4].

近年来，关于公共点选取的研究取得了一定进展.王玉成等[5]、焦立芬[6]等研究发现，适当增加公共点个数能有效地提高转换精度；公共点分布越均匀，所得转换精度越稳定.周跃寅等[7]研究了公共点图形外围和内部点位精度与公共点空间分布的关系.但控制点分布的均匀性尚缺乏数学描述，影响了坐标转换模型的精度和效率.因此，分析公共点空间分布对坐标转换模型精度的影响，构建顾及控制点空间分布的坐标转换模型，对当前广泛推行的原有坐标系向CGCS2000 的转换具有重要的理论意义和实际应用价值.

本文根据独占圆[8]思想提出控制点均匀度(UCP)，利用平均最邻近距离表征控制点密度，分析控制点空间分布对坐标转换模型精度的影响，构建公共点空间分布约束下的坐标转换模型，并结合实例验证模型的有效性.

1 控制点空间分布

1.1 控制点均匀度

表征点集空间分布均匀程度的指标有多种，主要分为基于密度的方法与基于最邻近点间距离的方法.已有研究表明，基于密度的方法并不能有效地表征点的离散程度[9].本文将基于独占圆思想，提出UCP 概念并建立表达模型.

在n个控制点组成的集合中，以某控制点为圆心，以其到最临近控制点欧氏距离的一半为半径所画的圆为该控制点的独占圆.平面内各独占圆皆不重叠，最近的空间关系是相切.

如图1 所示，d12是点1、点2 间的欧氏距离；D1为点1 至所有点的距离中最小值，称为点1 的最邻近距离；r1为D1的一半，定义为点1 独占圆的半径r1.两点间欧氏距离dij与最邻近距离Di的计算公式如式(1)～(2)所示：

图1 独占圆示意图

式中：xi、yi为i点的坐标；xj、yj为j点的坐标.

对各独占圆位于坐标转换区域内的面积求和，该面积和可以在一定程度上表示控制点均匀程度；面积和越大，控制点集越均匀.设区域内面积和为a，其计算公式为

式中：ai为第i个独占圆在转换区域内的有效面积；si为其超出区域的面积；ri为其独占圆半径.

显然，a相同并不代表其均匀程度一致.结合图1可以推断，在a一定的情况下，各独占圆面积越相近，控制点分布越均匀.设为与面积ai对应的有效独占圆半径，则有

在控制点均匀度表达中应考虑独占圆面积大小的离散程度，其程度可以用有效独占圆半径中误差σr表示

为了使独占圆面积和能更加准确地表示均匀程度，通过离散程度对面积和a赋以权重.设权为pr，经实验可知，pr取值范围为2/3～1 时，均匀度与坐标转换精度拟合效果最佳，因此有

式中，A为坐标转换区域面积.pr越接近1，说明各独占圆的面积越相近，均匀度越高.

控制点等间距行列排布时控制点分布最均匀.为了更好地表述控制点均匀度，顾及独占圆间的间隙，控制点均匀度L计算公式为

L的大小直观反映了控制点的均匀分布程度.控制点分布越均匀，各独占圆的面积越相近，则独占圆面积总和a越大，L越趋近于1.即有

1.2 控制点密度

控制点密度描述转换区域内控制点的疏密程度，即坐标转换时研究区范围不变，其密度指标是指控制点的个数.坐标转换中公共点个数应大于转换模型要求的最低个数，同时与坐标转换计算量有关.已有研究表明，坐标转换区域内公共点个数存在最佳值[6].

在控制点均匀度相近的情况下，控制点的个数直接影响控制点间平均最临近距离，距离越大则控制点集分布越稀疏，反之控制点集分布越密集.因此，控制点间平均最邻近距离dmin可以同等反映控制点分布的疏密程度，同样存在最优值.坐标转换区域大小不同，公共点最优个数也不同.设该种地形下某等级控制点的最优平均最邻近距离为，则最佳公共点个数t可根据下式计算：

2 控制点均匀度与密度约束下的坐标转换模型

基于上述分析，构建UCP 与密度约束下的坐标转换模型，探讨地方坐标系到CGCS2000 的坐标转换流程.常用的坐标转换模型有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、二维四参数模型等模型.在三维坐标转换中，布尔莎模型应用最广泛，其通过对坐标系的平移、缩放与旋转完成不同基准下的空间直角坐标转换.因此，本文基于布尔莎模型展开讨论，该模型共有7 个转换参数，至少需要3 个公共已知点，其坐标转换公式为

式中：X1、Y1、Z1为原坐标系下坐标；X2、Y2、Z2为待转换坐标系下坐标；TX、TY、TZ为平移参数；εX、εY、εZ为旋转参数；k为尺度参数.

顾及高程异常值精度较低对大地高的影响，结合王解先等[10]研究得出大地高误差对转换得到的平面坐标影响很小的结论，本模型在转换后将坐标投影到平面，并评定转换精度.

控制点密度和均匀度从两个角度反映了控制点的空间分布特征，两者间存在一定联系.t较小时，随机选取的不同组公共点间L差异较大；随着t值增加，L离散程度有所下降.实际转换中，应首先根据式(9)确定公共点个数t，再寻找L能符合条件的公共点组合，因此两者并不会相互影响.

模型从平面内外符合精度来评估坐标转换精度.内符合精度 σin由公共点平差的验后单位权中误差评定.外符合精度σout由检核点转换前后坐标残差的均方根值表示，其计算方法如式(11)所示：

式中：Δxi、Δyi为检验点转换前后x、y方向上的坐标差；n为检验点个数.

基于上述讨论，建立顾及控制点空间分布约束的坐标转换模型，转换流程如图2 所示.

图2 均匀度与密度约束下的坐标转换流程

坐标转换具体步骤如下：

2)随机选取t个控制点为公共点，计算均匀度L.设阈值为L0，若L＞L0，则使用其计算转换参数；否则继续随机选取公共点.若循环次数m高于限定值，则会选取其中L最大的一组公共点.

3)将公共点平面坐标经高斯反算得到大地坐标，再将大地坐标(B，L，H)换算为空间直角坐标.

4)使用布尔莎模型计算转换参数，将检验点转换至目标坐标系下.

5)将检验点转换后空间直角坐标投影至平面，并依据式(11)评定精度.

3 算例分析

某区域面积5 079.2 km2，整体地形较为平坦，共有GPS 控制网成果点235 个，包括D 级点81 个与E级点154 个.以该区域地方坐标转换至CGCS2000坐标为例，分析空间分布对转换精度的影响，求解该区域的坐标转换模型并验证其有效性.

3.1 控制点密度对坐标转换精度影响

为便于求解坐标转换参数与分析讨论，首先选取3 个控制点作为公共点，并逐渐增加至15 个.对于不同的t值，随机选取若干组 0.4＜L＜0.5 的D 级控制点集计算转换参数，使用均匀分布的E 级点作为检核点，记录各组内外符合精度的精度平均值.实验结果如表1 所示.

表1 控制点密度与转换精度关系

由表1 可以得出以下结论：

1)随着t值增加，基本上呈不断增大趋势，内符合精度降低；

2)t=3 时，控制点组合dmin值过大，最大，＞3mm 的公共点集所占比例最高，此时坐标转换的精度最低；

4)t＞7时，坐标转换精度提升减缓；当t=11 时，坐标转换精度最高，即该地形下D 级公共点值为24 km；当t＞13 时，坐标转换精度反而降低.

3.2 公共点均匀性对坐标转换精度影响

基于3.1 节中的结论，公共点数t取11.从D 级点中随机选取11 个作为公共点，统计控制点均匀度L和外符合精度 σout.为充分反映规律，进行多组实验，并对结果进行幂函数拟合.以上述方法计算得到的L和σout的关系，如图3 所示，图中每个点表示每组转换的 σout.

图3 L 对σout 的影响拟合曲线

由图3 可知：

1)L较低时的公共点计算得到的 σout离散且基本偏大；

2)随着L的提高，σout逐渐向2 mm 以下集中，且不再出现较大误差；

3)随L的提高，σout降幅越来越小；在L超过0.40 后，拟合曲线趋于平缓，L增加对精度的影响作用有限.

因此，在实际应用中选取L大于0.40 的组合，可有效保证坐标转换精度.

4 结语

本文通过研究控制点均匀度与密度对坐标转换精度的影响，构建了顾及控制点空间分布的坐标转换模型，解决了坐标转换中公共点选取缺乏标准的问题.具体结论如下：

1)公共点选取应兼顾转换区域控制点的均匀度与密度，先确定公共点密度，再决定均匀度；顾及控制点空间分布的坐标转换模型可有效提高转换精度；

2)坐标转换精度随公共点均匀度增加呈提高趋势，L达到0.4 后可满足坐标转换的精度要求；

3)公共点密度对应坐标转换精度具有最佳值；以平坦地区D 级控制点作为公共点时，dmin取24 km所得转换精度最高.

本文只考虑了均匀度与密度指标，地形起伏较大区域内坐标转换精度可能与所选公共点的竖直方向分布有关，后续研究中应考虑控制点高程的影响.