两线结合 轻松解题

宋海明

[摘 要]角平分线和垂直平分线是非常重要的解题“钥匙”。研究角平分线和垂直平分线的综合应用，能让学生灵活、轻松解题。

[关键词]角平分线;垂直平分线;综合应用

[中图分类号]    G633.6        [文獻标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0023-03

角平分线和垂直平分线作为初中数学的“两线”，无论是其定义、性质、判定、画法还是应用，都在初中数学几何中有着举足轻重的地位。可以说，学生掌握好这“两线”对解题大有裨益。本文结合实例对角平分线和垂直平分线的综合应用进行分析。

一、角平分线和垂直平分线的妙用

角平分线和垂直平分线的教学都是按照定义、性质、判定、画法、应用五个方面进行的。角平分线和垂直平分线既有相通、相似之处，又能结合起来设置更具灵活性的问题。一般来说，角平分线和垂直平分线有如下妙用。

（一）角平分线的妙用

角平分线的作用非常多，常用来求证点到线的距离相等问题。具体思路有“角平分线 + 垂两边”“角平分线 + 造全等”“角平分线、平行线 + 等腰三角形”“角平分线、垂线 + 等腰三角形”。

[例1]如图1所示，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[AD]平分[∠BAC]，交[BC]于点[D]。若[DC=7]，则[D]到[AB]的距离是            。

分析：首先，要充分理解“D到[AB]的距离”，此为“点到直线的距离”定义，所以应过点[D]作[AB]的垂线;然后再结合“[AD]平分[∠BAC]”这一条件，过角平分线AD上的一点向[∠BAC]的两边作垂线，最后利用“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质来解决问题。

[例2]如图2所示，[∠1=∠2]，[OE=OF]，连接[DE]，[DF]，求证：[△ODE≌△ODF]。

分析：本题欲证明两个三角形全等，那么应先寻找证明其全等的条件。由题意可知，两个三角形的两个对应夹角未知，而这需要根据“[OC]平分[∠AOB]”获得。……