巧同构 妙分离

林敏

[摘 要]含参不等式恒成立问题是高中数学学习的一大重点，它以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受命题者青睐，而同构思维法是破解此类问题的常见思维方法之一。

[关键词]不等式;恒成立;分类讨论;同构;分离参数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0029-03

含参不等式恒成立问题是高中数学学习的一大重点，它往往综合函数、不等式、方程等相关知识，注重考查数学运算、逻辑推理等素养，以及函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等。其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受命题者青睐。含参不等式恒成立问题切入点不明显，让人无从下手，破解的实质是结合题目条件对恒成立不等式进行等价转化，合理转化为熟悉的不等式、函数或方程问题后，根据相应的不等式、函数或方程问题来分析与处理。

一、题目呈现

【题目】（清华大学2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试文科数学试卷第12题）已知不等式[x+aln x+1ex≥xa]对[x∈（1，+∞）]恒成立，则实数[a]的最小值为（ ）。

A. [-e] B. [-e2] C. [-e] D. [-2e]

二、题目解析

此题涉及指数、对数、幂混合型函数所对应的不等式恒成立，在此条件下确定对应参数的取值范围问题。知识融合度大，能力要求多，题目难度大，对考生的数学基本知识、数学思想方法和数学能力等各方面的要求比较高。

该题背景创新，设计新颖，把指数、对数、幂函数这三类基本初等函数加以巧妙融合，综合不等式恒成立这一个热点加以合理构造，把函数、方程、不等式等知识有机交汇，借助代数运算、不等式性质、函数与导数等相关方法来转化与处理，充分体现高考在知识交汇处命题的指导思想。……