马氏链平稳分布应用案例的教学设计

刘秀芹， 李 娜， 张志刚

(北京科技大学 数理学院，北京100083)

1 引 言

随机过程是针对高年级本科生和研究生开设的一门专业课,是概率论与数理统计的后继课程,它是研究随机现象随着时间变化的动态特征,具有抽象性和理论性强的特点.在经济与管理科学、信息科学、生物学、计算机科学和其它工程领域都有广泛应用.本文从随机过程的经典应用案例——市场占有率预测问题出发, 以手机市场占有率问题为例，做到教学案例贴近学生的生活和思想，案例具有鲜明的时代特色.通过提出问题、分析问题、解决问题、拓展问题,将课堂内容延伸到课外, 使学生既能准确掌握其中的理论知识，又能把理论应用于实际.作者曾多次将案例教学法引入到随机过程的教学过程中[1-2]，讲解过程中还进一步融入课程思政元素, 实现思政元素与有趣的应用案例有机结合[3]，使随机过程教学起到“润物无声”教书育人效果[4-5].

2 提出问题

首先，通过与同学互动的方式提出如何提高手机市场占有率，以及市场占有率受哪些因素的影响？(这位同学，我能知道你用的是什么手机吗？如果老师给你一个机会换部手机，你还会买这个品牌吗？旁边这位同学呢，下一次更换手机的时候，你会选择换一个品牌吗？这就是今天要研究的市场占有率问题，企业都希望提高自己的市场占有率，如何提高市场占有率？市场占有率又受什么因素的影响呢？)通过用与同学们息息相关的手机市场占有率问题，激发同学们的好奇心.

下面利用马氏链的基本方程和平稳分布的知识，来解决市场占有率相关问题.

3 解决问题的基本原理

假设市面上有三种品牌的手机，通过市场调查得知，第一季度甲、乙、丙三种品牌的手机市场占有率分布为(0.5, 0.2,0.3)，预计第二季度甲保留原有客户的60%，分别获得乙15%的客户和丙10%的客户；乙保留原有客户的70%，分别获得甲10%的客户和丙20%的客户；丙保留原有客户的70%，分别获得甲30%的客户和乙15%的客户，客户迁移情况见表1.

表1 第一季度到第二季度的客户迁移

首先，建立马氏链模型，用Xn表示第n季度客户手机的品牌，则Xn是一个随机过程，它的状态空间为E={甲,乙,丙}，参数空间为T={1,2,3,…}，根据实际情况，可以假设Xn是一个马氏链，则当前市场占有率为马氏链的初始分布，客户迁移情况是它的一步转移概率矩阵，记为P.有了马氏链模型，问第二季度甲的市场占有率是多少？

3.1 马氏链基本方程P(k+1)=P(k)P的应用

第一季度的占有率分布为P(1)=(0.5,0.2,0.3)，由马氏链的基本方程得

算得第二季度的占有率分布为(0.36,0.25,0.39)，显然甲的占有率为36%，比第一季度下降了14%，能否进一步预测第三季度的情况呢?

假定转移概率矩阵P不随时间改变，即Xn是一个齐次马氏链，则从第二季度到第三季度的转移概率矩阵仍然是P，计算得第三季度的占有率分布为

第三季度甲的市场占有率为29.3%，比第二季度甲的市场占有率36%又降低了7%.可见，甲品牌的手机市场占有率连续两个季度走低，如果按转移概率矩阵P一直转移下去，甲品牌会从市场上消失吗？为了回答这个问题，利用Matlab编程进行辅助计算.

从第一季度的分布(0.5,0.2,0.3)开始，按照转移概率矩阵P转移下去，由P(k+1)=P(k)P可得，第k+1(k=1,2,3,…)季度的分布状况见表2、图1，如表(图)所见，甲、乙、丙的市场占有率从某时刻开始趋于平稳，都变成了同一个分布(0.235, 0.353,0.412).表2中也可以看到，在保留三位小数点的条件下，从某个时刻开始各品牌的市场占有率不再改变，并且稳定到这一分布.其中甲的市场占有率为23.5%.

图1 手机市场占有率随时间的变化趋势

稳定后的分布受什么因素影响呢？是受初始分布还是一步转移概率矩阵影响呢？

为了解决这一问题，下面将初始分布换成(0.7,0.1,0.2)，一步转移概率矩阵仍然是P，经计算发现，这时仍然从某时刻开始趋于稳定，并且稳定到同一分布(0.235,0.353,0.412)(见表2)，可以看出稳定后的市场占有率与初始分布没有关系.

表2 给定第一季度占有率分布，编程计算以后各季度占有率分布情况

可见，在手机市场占有率问题中，从某个时刻开始，市场占有率分布经过一步转移不再发生改变,即P(k+1)=P(k)P=P(k),满足这一条件的概率分布称为齐次马氏链的平稳分布.

3.2 平稳分布的定义

设{X(n),n=1,2,3,…}是一个齐次马氏链,状态空间为E,一步转移概率矩阵为P=(pij)N×N,若存在向量r=(r1,r2,…,rN),满足

(1)

(ii)rj≥0,j∈E；

则称r=(r1,r2,…,rN)为齐次马氏链的平稳分布[6].其中式(1)被称为平稳方程组，也可以写成r=rP;

前面分析可见，平稳分布不受初始分布影响，它是否受一步转移概率矩阵影响呢？

假定一步转移概率矩阵变为P1，

初始分布仍然使用上面的两种分布(0.5,0.2,0.3)和(0.7,0.1,0.2)，基于马氏链的基本方程，使用Matlab编程辅助计算每个季度的市场占有率(见表2)，可见趋于平稳这一现象没有改变，但是最后稳定到的平稳分布(0.631,0.158,0.211)发生了改变，并且观察到，甲的市场占有率有了显著提升，由23.6%提升到了63.1%.

甲的市场占有率为什么会提升呢？来观察一步转移概率矩阵P1相对于P的变化.

注意到甲原有客户的保留率由60%提升到了90%，表明甲品牌留住了更多的老客户，另一方面，甲品牌也吸引了更多的新客户(吸引乙品牌客户的比例从原来的15%提高到了20%，吸引丙品牌客户的比例从10%提高到15%)，这两方面就是使得甲的市场占有率提升的原因.

这就回答了开始提出的第一个问题，想要提高市场占有率，需要从留住老客户和吸引新客户这两方面下功夫.通过前面的学习发现，决定市场占有率的关键因素为客户的迁移情况.

4 问题结论和拓展

4.1 问题结论

建议企业要重视客户的忠诚度，当前市场营销中提高客户忠诚度流行的做法是粉丝营销策略，粉丝营销的关键有两个方面：一是保住原来的客户，在客户中沉淀粉丝，二是经过粉丝的口碑相传，来吸引更多的新客户，这正是前面使用马氏链分析得到的提升市场占有率的两个重要方面.Vivo，Oppo两个手机品牌就是使用粉丝营销策略提升市场占有率的典范，据知名市场调研机构Canalys公布的“2021年第一季度国内智能手机市场报告数据”显示，它们在2021年第一季度国内手机占有率排行榜中，排在了前两位.

4.2 思政元素融入

企业只靠粉丝营销可以吗？答案是：不行，应该靠拥有关键核心技术，提高产品的质量和竞争力.核心技术的研发都离不开数学的作用.李克强总理在很多场合都强调，“数学是自然科学的皇冠，是其它科学研究的主要工具”；华为总裁任正非也在接受采访时多次强调数学的重要性，并指出“人工智能的本质就是数学”.作为数学专业的学生，大家应该夯实基础，为国产品牌拥有核心技术贡献力量.

4.3 问题拓展

前面讲的齐次马氏链的变化规律，在实际当中，影响市场占有率的因素非常复杂，一步转移概率矩阵P会随时间的变化而发生改变，这时马氏链变为非齐次马氏链，请同学们课后进一步思考，非齐次马氏链随着时间将如何变化？

5 教学过程小结

5.1 经典案例结合实际背景

市场占有率预测是随机过程教学过程中的一个经典案例，本教学设计结合与同学们日常生活息息相关的手机市场占有率问题进行展开，从同学们的角度，每位同学都是某一手机品牌的客户，从厂家的角度，中国手机市场竞争日趋激烈，为提高市场占有率，各商家可谓煞费苦心，各种品牌手机也是层出不穷，教学案例具有鲜明的时代特色，课程一开始就从一个每位同学都关心的主题入手，具有很强的代入性和现实意义.

5.2 问题启发，环环相扣

首先提出两个问题：其一是如何提高手机市场占有率，其二是市场占有率受什么因素的影响？引起同学们思考，激发他们的好奇心.

为了解决问题，建立了马氏链模型，紧接着由初始分布和一步转移概率求出第二、第三季度的市场占有率分布，从第二、第三季度甲的市场占有率逐步降低这一现象出发，进一步引出“甲会在市场上消失吗？”根据马氏链的基本方程，利用Matlab编程进行辅助计算，发现经过一段时间的转移后，手机市场占有率趋于“平稳”这一现象，从而引出马氏链的平稳分布这一概念.

这种稳定性，以及稳定后的分布受什么因素影响呢？ 从初始分布和一步转移概率两个方面着手来分析和解决这一问题，仍然利用Matlab编程辅助计算，得到结论：平稳分布是由一步转移概率决定，与初始分布无关.这就是课程一开始提出的“市场占有率受什么因素的影响？”的答案.

通过前面的Matlab模拟计算发现，改变转移概率矩阵后的平稳分布中甲品牌的市场占有率有了显著提高，通过分析转移概率矩阵P1和P的差异得到了 “如何提高手机市场占有率”要从两方面着手：尽可能保留原来的老客户，还要吸引更多的新客户.

从“手机市场占有率”这一与每位同学息息相关的问题，引出市场占有率预测问题；从生活中的现象和例子入手，从形象的描述引入抽象的概念，整节课的讲解从提出问题，分析问题到解决问题.生动活泼的授课模式下，环环相扣，层层推进，如行云流水一般.

5.3 思政元素融入

在本节课的结尾，结合提高市场占有率不能只靠市场营销，还要靠“拥有关键的核心技术，提高核心竞争力”，从李克强总理“数学是自然科学的皇冠，是其他科学研究的主要工具”到华为总裁任正非也在接受采访时多次强调数学的重要性，并指出“人工智能的本质就是数学”引出数学是“提高核心竞争力”的关键因素，从而激发同学们的专业自豪感，激发同学们的学习热情，起到“润物无声”教书育人的效果.

6 教学效果

近年来，本文作者在随机过程教学过程中坚持采用实际案例与启发式教学相结合的方法，有效的激发了学生的学习兴趣；在教学过程中适当融入思政元素，促进了立德树人根本目标的落实，实现教书育人的效果.这样的教学设计得到了同学们的高度评价，学校教务系统学生课程评教成绩比以往有了显著提高，近两个学期平均成绩达到98.2分；在对老师想说的话环节中同学们写到：“在马氏链讲解过程中，刘老师上课讲解结合大量贴合实际的案例之后，这么多抽象的数学概念一下子变得触手可及、简单易懂起来.”“随机过程在实际中的应用如故障诊断、谷歌搜索，甚至研究了思政课的内容，应用领域之广泛令我惊叹.课上大量的翔实、丰富的教学实例.”“刘老师经常教育大家诚信”等做人的道理，使同学们感受到亲切的人文关怀，刘老师更注重立德树人.”作者进一步利用词云图对学生们所说的话(147名学生样本)进行了文本挖掘分析(图2)，发现“非常”“优秀”“认真负责”“喜欢”“受益匪浅”“清晰”“结合实际”“启发式”等词在同学评价中出现的频率最多，由此可以看到他们对该教学设计与实践的肯定.

图2 学生评价词云图

7 结 论

本文对马氏链平稳分布在市场占有率问题中的应用的讲解进行了详细设计.从同学们身边的案例——手机品牌市场占有率问题出发，以问题为导向，通过提出问题、分析问题、解决问题、激发同学们的学习热情；课程最后引入思政元素，使思政元素水到渠成般融入课堂，学生满足求知欲的同时实现立德树人的目标.

致谢感谢北京科技大学范玉妹教授、徐尔教授在该论文的写作过程中给予的指导和建议；同时也非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.