现象教学视角下的专题复习教学尝试

徐建东

摘  要：现象教学是从现象出发进行的教学;专题复习要让学生系统地把握所学知识，构建完整的知识体系. 现象教学视角下的专题复习教学倡导学生参与探究活动，注重知识的自主生成，是新课程理念在课堂教学中的具体落实.

关键词：现象教学;专题复习;教学范式

现象教学是从现象出发进行的教学. 这里的现象可以是生活中的现象，也可以是学科中的现象，但其中隐含着丰富的教学内容. 现象教学注重生成，强调对学生问题意识的培养，主张学生参与真实的探究，注重过程性评价. 专题复习是课堂教学的基本课型之一，以某个专题为主对基本概念、公式、定理等进行全面的梳理和归纳，并要将其应用于具体的问题中. 专题，可以视为大概念、大单元、项目或主题，并在相应观念的指引下设计出各自的教学方式. 更可以视为数学现象，设计出现象教学的方法. 相比于新课教学阶段，在复习教学阶段学生有更丰富的知识储备及更强的综合分析能力，因而当把专题视为数学现象时，他们能够进行多角度的探究，开展多种形式的数学活动，进行更为全面的知识整合和素养生成. 本文以一节立体几何专题复习课的设计与实施为例，闡述现象教学视角下的专题复习教学尝试.

一、现象教学视角下的专题复习教学实录

题目  如图1，已知边长为[a]的正方体[ABCD-ABCD，]点[P]为面对角线[BC]上的一个动点，当点[P]沿着[BC]运动时，尝试探究过点[P]的线（或面）与平面[ACD]的位置关系.

教师给学生呈现了一个数学现象：一个具有开放性的立体几何问题，其中蕴含了可供研究的素材. 学生在面对“运动的点P”时，能体验到空间点、线、面及其位置关系，知道有些关系（数量的、位置的）在变化，于是提出问题，随之产生探究的欲望. 进而在师生、生生的互动交流中进行思维的碰撞和提升，从而达到提升“四基”，发展“四能”的教学目标.

师：大家能想象出这个运动过程吗？有什么发现？

生1：当点[P]在线段[BC]上移动时，点[P]经过的路径[BC]始终与平面[ACD]平行.

师：如何验证其正确性？

新课程倡导培养学生“三会”，即会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，强调要让学生经历知识形成的全过程. 显然，生1根据“点动成线”及线面平行的判定定理得到了结论，这是一种数学直觉，但仅凭直觉判断不一定准确，需要经过理性的思辨认证，教师要给学生提供梳理思路的时间和空间，让学生用数学语言准确论证其猜想的正确性，在论证的过程中学会学习.

生1：点[P]的运动路径为线段[BC，] 易得[BC∥AD.] 根据线面平行的判定定理，可以得到[BC∥]平面[ACD.]

师：很好，生1利用线面平行的判定定理证明了他的猜想是正确的，即当点[P]在线段[BC]上运动时，点[P]的运动路径始终与平面[ACD]平行.（教师在黑板上简要书写结论和线面平行的判定定理.）

师：还有其他发现吗？

此题具有较大的开放性，可供学生探究的内容非常丰富. 根据教师的预设，本节课需要复习的知识点包括线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系、线面角、面面角、体积等.

生2：点[P]到平面[ACD]的距离是一个定值.

师：如何验证其正确性？

生2：根据生1的结论[BC∥]平面[ACD，] 易得点[P]到平面[ACD]上的距离处处相等，即可等价转化为点[B]到平面[ACD]的距离. 根据等体积转化法，得[VB-ACD=][VD-ABC.] 可求出点[B]到平面[ACD]的距离为定值，即动点[P]到平面[ACD]的距离为定值.

生3：还可以转化为点[D]到平面[ACD]的距离，同样可以利用等体积法转化，得[VD-ACD=VD-ACD.] 进一步求得点[D]到平面[ACD]的距离为定值，即动点[P]到平面[ACD]的距离为定值，且定值为[33a.]

师：很好，生2和生3在生1结论的基础上求出了点[P]到平面[ACD]的距离，并在求解的过程中进行了多次等价转换，体现了生2和生3对于点到平面的距离概念的深刻理解，以及对等体积转换的熟练运用. 归根结底，体现了生2和生3对数学核心概念的熟练掌握. 大家还有其他的发现吗？

生4：我发现三棱锥[P-ACD]的体积是一个定值.

师：生4的结论很明显，大家看出来了吗？请生4简要说明一下理由.

对于明显的结论要督促学生严谨论证说明，这是数学学科培养学生严谨科学、实事求是的学习和生活准则，体现了数学学科中的德育教育.

生4：根据生2的结论，可知点[P]到平面[ACD]的距离是一个定值，且[△ACD]的面积是一个定值，根据锥体体积计算公式[VP-ACD=13S△ACDh，] 可得三棱锥[P-ACD]的体积为定值[16a3].

师：很好，生4在生2结论的基础上猜测并证明了三棱锥[P-ACD]的体积是一个定值，体现了生4善于用数学眼光来观察图形，用数学思维来思考问题，抓住了动态问题中的不变量，得到了一个一般性的结论. 大家继续挖掘，还有其他发现吗？

生5：连接线段[CP，] 可以求出直线[CP]与平面[ACD]所成角的正弦值范围（最值）.

师：很好，刚才找的都是定值，生5挖掘出了一个范围，说一下你的思路.

范围问题的探究是较高层次数学直觉思维作用的结果，通过生生互动可以促进学生之间数学思维的碰撞，激发学生对学习内容的探究热情.

生5：如图2，连接线段[CP，] 根据生2的结论可知点[P]到平面[ACD]的距离为定值[33a，] 再假设直线[CP]与平面[ACD]所成的角为[θ，] 则[sinθ=hCP.] 因为[h]是一个定值，所以直线[CP]和平面[ACD]所成角的正弦值由线段[CP]的长度来决定. 在等腰直角三角形[CBC]中，[CP]的取值范围为[22a，a，] 故可以求出直线[CP]与平面[ACD]所成角的正弦值的取值范围为[33， 63.]

师：很好，生5在生2结论的基础上猜测并求出了直线[CP]与平面[ACD]所成角的正弦值的范围（最值）.  其利用线面角的概念，将线面角正弦值的取值范围转化为线段[CP]的取值范围，并求出了最后答案，体现出生5数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模等多个方面的素养. 大家已经挖掘出了4个结论，还有其他发现吗？

生6：连接[AP，] 则[AP]与平面[ACD]平行.

师：生6又挖掘出了一个定量问题，请说明其正确性.

生6：如图3，连接[AB，AC，AP，] 易得[AB∥DC，][AC∥AC.] 根据面面平行的性质定理，可得平面[ACD∥]平面[ABC.] 因为[AP⊆]平面[ABC，] 所以[AP]与平面[ACD]平行.

师：非常好，生6利用面面平行的判定定理，得到了[AP]与平面[ACD]平行.

生7：我发现二面角[P-AD-C]是一个定值.

师：说明其正确性.

生7：如图4，连接[AP，DP，] 易得[BC∥AD.] 所以点[P]到线段[AD]的距离处处相等， 所以二面角[P-AD-C]的大小不受点[P]位置的影响，是一个定值.

本节课通过学生的探究实践，得到了一系列结论，主要用到的知识点归纳如下.

（1）线面平行的判定定理.

（2）三棱锥体积公式和等体积法求点面距离.（这里涉及点到平面距离的转移.）

（3）空间线面角的求解.

（4）面面平行的判定定理.

（5）空间二面角的求解.

二、基于现象教学的教学反思

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）在基础知识和基本技能的基础上增加基本数学思想方法和基本活动经验，更加关注学生的课堂参与度，强调让学生亲身经历问题的探究过程和知识形成的过程. 现象教学符合《标准》理念，通过让学生独立分析呈现的数学现象，抽象出数学研究对象并对其进行研究分析，学生经历了发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，在问题解决的过程中掌握了数学概念，提升了在生活和学习中面对实际问题的分析和处理能力，进而实现了数学学科核心素养的提升.

现象教学理念贯穿于本节课的全过程，其基本教学流程如图5所示.

首先，学生直观感知教师所呈现的数学现象，通过对数学现象的观察和分析，凭借数学直觉做出不同的猜想或判断. 这其实是第一次数学抽象的过程，即由数学现象到数学问题的抽象. 其次，學生要通过逻辑推理去论证自己的猜想或判断的正确性. 这是从感性认识到理性认识的过程，也就是现象教学中的现象分析环节. 学生在论证过程中会不断调用原有的知识结构，也就是通常说的储备知识或者基础，学生原有的知识结构决定了其是否能够顺利完成论证过程. 这个过程是学生知识增长、能力发展和素养提升的关键环节. 在对猜想或判断进行正确论证（或者论证其是错误的）后，将进入意义生成环节. 意义生成环节是学生实现由感性猜想到理性论证的过程，是一个从模糊到逐渐清晰的认知过程. 在这个过程中，学生将逐步经历获取新知、发展能力和提升素养的体验. 从意义生成的角度来看，每一次学习都是一次创造. 接下来就是规范表达与知识结构化环节，这个环节将实现知识的同化和顺应，真正促使学生获取新知、发展能力和提升素养，这也是实现教学目标的重要节点. 这个环节需要教师很好地发挥主导作用，既不能包办，也不能放任. 现象教学的最后一个环节就是新知识在具体问题中的应用.

概括地说，现象教学就是要引导学生对具体数学现象自主进行分析和研究，在分析和研究的过程中学会分析、研究的方法和技能，并运用所学方法和技能去解决新的、陌生的数学现象. 学生在这个过程中掌握知识、提升技能、发展素养，同时学会学习.

三、结束语

学习贵在思考，思考贵在有疑惑. 能启发学生思考的教学、能调动学生学习的教学才是有效的教学，现象教学能积极调动学生的思考和探究，启发学生思维，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，在让学生掌握“四基”的同时提升“四能”，最后形成数学学科核心素养.

参考文献：

[1]孙四周. 现象教学[M]. 长春：吉林教育出版社，2018.

[2]孙四周. 思维的起源[M]. 北京：中国国际广播出版社，2019.

[3]祁平. 基于探究的数学教学的哲学思考[J]. 数学通报，2014，53（8）：22-28.

[4]弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1999.