从乘法分配律看七年级学生“去括号”与“合并同类项”的易错点

邓清 韦宏 廖怡宁

数学运算能力是一种通过熟练地掌握与运用算理和算法，准确地得出运算结果的能力。《义务教育数学课程标准（2011版）》中明确指出，要重视对学生数学运算能力的培养。“去括号”和“合并同类项”是人教版七年级上册“整式”一章的两个重要内容，它是初中生代数学习的基础，也是数学运算能力培养的重要着力点。而在“去括号”和“合并同类项”的数学运算过程中，学生总容易出现各种各样的错误。戴再平认为，学生解决问题的易错源在于相关知识存储不足或理解的偏差。因此，为了提高学生数学运算能力，夯实学生初中代数学习的基础，教师需从运算的相关知识或理解出发，分析“去括号”和“合并同类项”错误产生的原因并找出错误的根源，及时纠正运算偏差。

“去括号”与“合并同类项”是七年级数学运算的重要内容，学生在进行运算操作时容易出现两类问题：“去括号”的漏乘和符号错误、“合并同类项”中添括号的符号错误。本文通过辩证认识乘法分配律与“去括号”“合并同类项”之间“源”与“流”的关系，分析算理根源之下学生易错背后的认知偏差，结合学生的情况提出从乘法分配律算理出发的整体处理问题的策略，帮助学生形成和深化对“去括号”与“合并同类项”的正确认知，避免易错、再错。

整式的化简是通过“去括号”和“合并同类项”来完成的，而“去括号”和“合并同类项”的实质是乘法分配律在数式中的应用。对于七年级学生而言，他们刚经历了数系的扩充，引入了负数，同时将原有的运算律在自然数集的应用类比推广到有理数集，这使得运算过程中需要重新审视“-”号的意义，不再单纯以小学的减号来认识，而是强化对负数的认知。在学习整式时，学生初步接触数系扩展之后的用字母表示数，这使得学生从小学单独的数、用字母表示正数的概念认知进行了拓展，进一步丰富了学生数与代数的认知图示，学生的抽象思维得到了更高层次的发展。但无论是负数引入带来的“-”号的两重含义，还是整式引入字母表示数等数学符号的增加，都是围绕本质内容而呈现的外在表象和形式。运算中出现的众多问题往往是由于学生局限于复杂外在的表象形式中，混淆了本质内容，形成了错误的理解。建构主义理论强调学习者的主动性，在接触新知识之前，学生在以前的学习生活中就有了一定程度的认识，因此学生在接纳新知识时并不是被动的，而是基于已有的水平和经验，主动选择和加工信息，从而实现新旧知识的完全融合。而运算错误并不全是偶然，有些是存在规律的，这些有规律的错误是因为学生在新旧知识融合中构建了自己独有的概念。在此认知下，学生要掌握“去括号”和“合并同类项”的运算，需要结合已有的知识经验，即乘法分配律在自然数集和有理数集中的应用，拨开表象的重重迷雾，从本质上认识新知识，将易错背后的观念化为正确认知。

一、知其源、悟之流

（一）乘法分配律之“源”

小学第一学段的主要内容是自然数四则运算，而真正学习到基本运算律内容是在第二学段。其实，运算律一直植根于自然数算法之中，在数的运算中不知不觉就有所运用。自然数集中的乘法分配律是从解决实际问题的过程中建模、抽象，概括得到概念及字母形式表达。但是，除了从实际生活中进行建模，学生若能从更高观点来认识乘法分配律的来源，认知便能达到更高层次。乘法分配律之“源”与数的发展密不可分。数的发展历来有两种源源不竭的动力：解决现实问题的需要（外在需要）和数系理论发展的需要（内在需要），这两种动力推动数的扩充。但是，数的发展中有一个恒定点，即保持运算律的有效性。也就是说，乘法分配律在数集的扩充中要保证有效性，这是“数与代数”的通性法则之一。在小学自然数集的乘法分配律中，满足乘法对加法的分配律，而并不满足乘法对减法的分配律，这是因为减法运算在自然数集中并不封闭。在七年级有理数中引入了负数，小学的减法和加法都可统一为有理数运算的加法。在引入新数、扩充数系的情况下，需要赋予乘法分配律在新数集以新定义，即有理数的乘法分配律。显然，有理数的乘法分配律本质上是与自然数的乘法分配律一致的，这即为乘法分配律之“源”。

（二）知“源”而看“流”

对于“去括号”运算，实质上是根据乘法分配律顺向展开。当括号前为正数时，“去括号”的分配规则与自然数集中乘法分配律一致；当括号前为负数时，则是将负数引入，变自然数集中的乘法运算为有理数集的乘法运算而形成的。比如，-9（a+b），此时由于有理数的乘法法则，这个式子经由乘法分配律展开后即为-9a+（-9b）=-9a-9b，根据符号的变化，而概括归纳出“去括号”的规律，即为“去括号法则”。这是“去括号”于乘法分配律中的“流”。

1.错解分析

例1错解属于“去括号”的漏乘，学生在对7（x+5）进行去括号运算时，只把7分配给了x，而没有分配给5，由此得到了7x+5；例2错解属于“去括号”的符号问题，学生未能掌握去括号后各项符号的变化规律，表现为只换了第二项，或者只换了第一项；例3为“去括号”的漏乘和符号问题的复合错解情况。

在化简整式的运算操作时，需要从算理根源——乘法分配律出发，灵活、准确地展开操作。对于学生的去括号运算，常常出现漏乘及符号变化的“就近分配”：在“分配”的過程中，括号外的数通常只分配给首项，而其他项没有；当括号外的数为负数时，常常只对除首项之外的项分配而变号，或是对括号内含“-”号的项改变符号。究其原因是学生在算术过渡到代数时对乘法分配律理解不够透彻，认知之中的分配并不是数与符号都乘以各项。从源头来看，括号外的数与符号对括号内各项的分配实质上是统一的，都能归结于乘法分配律。在引入负数之后，减法统一为有理数的加法，每一个多项式项与项之间是“+”的关系，而“-”号是这一项的负数属性，与它自身相连。而在平时“去括号”的教学中，稍不注意，容易直接输出给学生空洞的“去括号法则”的概念。学生的认知并没有建立起新旧知识之间的良好联系，使得理解产生偏差，在操作中总是不能正确分配。

2.解决策略

（1）疏通根源，强化负数的整体认知

根据建构主义，学生是从已有经验与认知出发，对新知识同化而构建新的认知。为了给予学生更好地过渡，纠正学生的错误理解，不妨从算理本质引导和帮助学生深化对“去括号法则”的理解，整体看待符号与数，将其整体分配至每一项，在有理数的乘法运算下，得到正确的答案，矫正学生易错。由此，可得：

此时，符号的规律化为乘法分配律与有理数的负数乘法规则的结果，学生将晦涩生硬的“去括号法则”与已有的认知构建起了关联，形成正确的理解。从理论源头上充分认识“去括号”的操作依据，在深层次的理论认知基础上，使得运算操作落地有根，运行有依，施展有方，有助于学生纠正易错之下的理解偏差，达到对知识的通化理解。

（2）依据原理，分步落实

由此，依據乘法分配律形成“去括号”具体可行的操作步骤，引导学生依步骤操作，规范“去括号”的运算，此时，有助于基础薄弱的学生进行具体运算的操作和展开，形成严谨周密的思维。在操作练习之中，逐渐体会和领悟运算的原理，当易错背后的认知突破和矫正之后，达到对运算本质的理解，便可灵活进行“去括号”运算。

1.错解分析

例4错解属于“合并同类项”中逆用乘法分配律进行添括号时的符号问题。当添括号之前为（-1）时，按照添括号法则（去括号法则的逆用）可知，括号内各项要变号。但是学生往往也会因为只就近改变首项，没有改变其他项而产生去括号的错解。在平常教学中，教师易于单一地将此易错归因于学生记忆不深刻、粗心等，而并未究其更深层次的原因：学生对新知的理解并未在头脑中与旧知形成较好连结，对添括号运算本质的理解是模糊的。要帮助学生有效矫正对“合并同类项”易错背后的理解偏差，首先要从乘法分配律出发，知道“合并同类项”的法理来源，从而判断产生数学错误的现实背景；其次要根据法理来源寻找更能贴切学生认知的解题思路，帮助学生一步步理解法理依据，从而进一步强化正确概念。

2.解决策略：分析算理，厘清根源，合并运算

对于这道例题，学生在添括号时没有对符号作相应的变化，这说明在学生的理解中每一项并不包括“-”“+”，即没有把符号、数字、字母整体看待。对此，不妨通过整体看待每一项来辅助学生对“合并同类项”的乘法分配律逆用的理解。

策略具体引导步骤：1.合并时添括号，括号与括号之间以加号连接；2.将同类项置于同一括号内；3.进行合并。注意：多项式的每一项已经包括符号，故移动时需视之为整体，整体进行加法交换律依据下的移动。

其实，“合并同类项”与“去括号”两点易错，实质上都是乘法分配律的原因，悟其一，则通其二，两者的易错根源都应从乘法分配律的来源分析和探求解决的策略，首先分步拆出可操作性的步骤，从理论和实践方面给予学生充分的认知梳理。其次，为学生提供充分的运算实践的机会，在运算之中逐渐强化运算的步骤，体会“去括号”“合并同类项”的运算法理，逐渐纠正学生对易错的思维认知，提高学生运算的缜密性和养成依据原理和步骤自我监控运算过程的学习习惯。由此，在每一次的运算操作学习以及练习中，逐步渗透给学生数学的法理和逻辑步骤规范性要求，将提高学生的数学运算能力的目标分解细化，缓步趋近。

总而言之，“去括号”与“合并同类项”运算的易错点需从“源流”即乘法分配律来分析，构建对整式加减运算算理本质的总体认知，从算理根源即乘法分配律出发整体处理运算以矫正易错。在教学中，讲解整式运算问题的原理时，既要有一定的理论高度，又要通俗易懂，用学生能接受的语言、操作策略让学生明白复杂的法理依据。而在解题实践之中，需提炼出错解背后深层次的原因，从“源流”予以分析、探寻对策，深化学生的理解，形成正确认知，避免易错、再错。