基于学科德育的高中数学教学实践与思考

陈骏 盛晓君

［摘  要］ 随着课改的不断深入，数学教育愈发强调其德育功能. 文章以“雪花曲线的探究”为例，分别从理性、人文、人格和责任四个维度分析数学学科德育内涵的具体呈现形式，并通过课堂各环节的德育渗透，发展学生的数学核心素养，有效实现数学学科的育人价值.

［关键词］ 学科德育；高中数学；雪花曲线；分形几何

党的十八大将立德树人作为教育根本任务以来，学科德育成为一线教师关注的热点，课堂教学成为落实该任务的基本形式. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中明确指出：“数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能……在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用.”［1］可见，高中数学课堂不仅承载着知识的传递功能，其学科德育对学生的润泽和渗透作用同样值得重视. 本文以一节“雪花曲线的探究”课为例，具体呈现学科德育在课堂教学中的蕴藏形式.

[?]数学学科德育内涵

学科德育是指教师在日常学科教学过程中融合德育，以学科为抓手凸显育人价值. 而数学学科德育特指数学教师在数学教学中进行德育渗透，实现数学学科的育人价值. 有学者认为［2］，数学学科德育内涵主要有理性、人文、人格和责任四部分（见表1）.

[?]数学学科德育教学实践

本文以“雪花曲线的探究”为例，将时事热点作为课程的引入情境，用数学文化构建例题背景，以课外阅读的方式采编史料，通过课堂实验、合作交流、汇报演讲等教学活动，设计有效的问题串和多元化的作业等方法，实现数学学科德育在课堂中的渗透，力求在教学各环节较为自然地埋设“德育点”，通过关注学生言行表现对课堂德育效果进行感知，通过理性、人文、人格和责任四部分对本节课的数学学科德育实践进行分析.

1. 教学分析

（1）教学内容分析

在《普通高中教科书数学选择性必修第一册（2020年沪教版）》第四章“数列”第二节等比数列中，教材以“科克雪花曲线”为例引入等比数列，章末复习又以求“雪花曲线”的周长和面积的拓展题形成首尾呼应，章节中还呈现了关于“谢尔宾斯基三角形”和“谢尔宾斯基正方形”的练习题. 沪教版二期课改教材曾专门将“雪花曲线”作为数列的章末拓展阅读. 新旧教材都把“雪花曲线”纳入其中，旨在通过学生对“雪花曲线”的探索与研究，培养他们应用数列知识解决实际问题的能力，同时也是对数学分支——分形几何的初探和引导. 本课将以“雪花曲线”的探究为明线，数列的综合应用为暗线，分形几何的介绍为延伸，揭示事物的本质规律，提升学生的数学素养，渗透数学的学科德育.

（2）学情分析

知识方面，学生已完成等差数列、等比数列的学习，会求解一般数列的通项公式，能初步应用数列知识解决一些问题；能力方面，高二学生有通过相互讨论去分析和解决问题的能力；情感方面，借助对雪花的感性认识，激发学生利用数列知识探究“雪花曲线”的兴趣.

（3）教学目标

①通过计算“雪花曲線”的周长和面积，巩固数列与极限的有关知识，体会从特殊到一般的数学思想方法，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.

②经历动手作图、合作研究的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题，得出科学结论的数学探究能力.

③了解分形几何的历史与发展，欣赏分形艺术，让学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

（4）教学重难点

教学重点：对“雪花曲线”的周长无限大而面积有限的认识；了解分形几何.

教学难点：求解“雪花曲线”的周长与面积的通项公式.

（5）教学准备

①课堂学习单；

②安排学生志愿者提前搜索有关分形几何的资料，并交予教师修改、审核后制成PPT备用.

2. 教学过程

（1）环节1：创设情境，引出课题

情境1：

师：是否存在一种曲线，它的长度可以绕地球好几圈，却能画在一张小小的邮票上？答案如何，学习完本节课就可以揭晓！

情境2：

师：2022年北京冬奥会成功举办，成为全球上首个“双奥之城”. 在2月4日的开幕式上，一朵小小的雪花成为贯穿开幕式始终的线索，所有参赛国家和地区名字的雪花引导牌最后组成一个美丽的大雪花. 在全球处于疫情的艰难时刻，总导演张艺谋力图运用艺术感染力和文化共通性，体现人类团结，一起走向未来.

设计意图：情境1通过一个看似不可能发生的事情引发学生的认知冲突，情境2以近期发生的时事新闻调动学生的学习兴趣，并为探究“雪花曲线”埋下伏笔.

德育点：从理性维度来说，情境1启发学生打破思维定式，追求实事求是的品质；情境2呈现了2022年北京冬奥会开幕式视频，展现了震撼人心的美，从人文维度来说，赋予学生民族自豪感.

（2）环节2：手动作图，自主探索

师：小小的雪花到底蕴藏着多大的秘密，我们今天不妨来一探究竟！

1904年瑞典数学家科赫第一次用数学的方法描述了一种曲线，外形酷似一片雪花，所以我们称它为“雪花曲线”或“科赫曲线”. 下面我们也用数学的方法尝试制作一片“雪花”. 请同学们进行小组合作，在纸上完成以下操作：

第一步，将图2-①的正三角形的每边三等分，并以中间的一条线段为底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；

第二步，将图2-②的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图2-③；

第三步，按上述方法无限多次继续做下去，得到的曲线将会呈什么形状？

设计意图：合理设计操作探究活动，可以有效调动学生的学习兴趣和参与的积极性.让学生带着对雪花的感性认识转而理性地研究“雪花曲线”，通过操作探究活动，获得宝贵的活动体验经验，培养学生数学抽象和直观想象的数学核心素养.

德育点：在高中数学教学中，受行为主义影响较深的传统教学观念长期存在，教学内容呈现出了相对固化的特征，这也就导致数学教学总体上比较枯燥乏味，教学效果也较为一般，学生一旦面对一些相对抽象的内容，基本上都会出现难以理解与掌握的现象［3］. 数学史的融入是数学教学体现人文性的有力抓手.从数学德育的责任维度来说，通过“雪花曲線”历史故事的引入，渗透多元文化，拓展学生的文化视野.

师：通过自己动手，大家都作出了“雪花曲线”. 但是我们发现，随着生长次数的增加，小三角形越来越多，作图也越来越困难.下面我们借助软件，看看把“雪花曲线”的局部不断放大后会是什么样子.

教师利用几何画板缩小一个曲线与另一个不变的曲线进行对比，让学生初步感受分形结构的自相似性，如图3所示.

设计意图：让学生动手作图，熟悉曲线的迭代作图法，对曲线的无限生长有一个初步印象；再利用计算机技术，增加迭代次数，让学生观察放缩后的“雪花曲线”，发现曲线局部间的相似特征，从而对曲线的自相似性有一个初步的“形”的认识.

德育点：有效探究活动的设计是促进学生主动思考的平台，学生先动手，再通过计算机进行多次迭代，从理性维度出发，鼓励学生运用已知的方法或结论类比未知的问题；从人格维度来说，哪怕学生在作图时遇到了困难，也能让他们在事物的曲折发展中认识挫折的价值.

（3）环节3：定量分析，合作研究

师：“雪花曲线”其实蕴藏着一些非常奇特的性质.刚才大家都体验了“雪花曲线”的生成过程，观察你们作出的图形，查看“雪花曲线”有什么特点.

生1：“雪花曲线”是一条连续的折线.

生2：曲线到处长满了“角”.

生3：当迭代次数越来越多时，“角”的个数也越来越多，并且“角”越来越小.

生4：曲线向外生长得越来越慢.

师：大家从“形”的方面对“雪花曲线”有了初步认识.接下来，我们不妨从“数”的方面来定量研究“雪花曲线”. 同学们觉得我们可以研究哪些方面？

生5：可以研究“雪花曲线”的边长和边数.

生6：还有“角”的个数.

生7：周长和面积.

师：非常好！同学们已经具备了用数学的眼光观察世界的能力.

设计意图：教师提出问题启发学生观察“雪花曲线”的形状，发现它是一个与我们平时研究的多边形不同的平面多边形，引导他们从边长、边数、周长、面积等方面提出问题.

德育点：从人格维度来说，通过师生问答，营造良好的课堂氛围，借助合作学习培养学生尊重他人的思想意识，结合教学内容布置合作学习任务，促使学生在合作完成学习任务的过程中，倾听他人意见，相互学习优点，并对比分析自身不足，逐渐提升自我.

师：方便起见，我们统一数据：设原正三角形的边长为a，周长为L，面积为S，不妨把每一次作图变化的过程叫做“生长”，则经过第n次生长后曲线的周长为L，面积为S.请同学们尝试填写表2.（文中展示的是已经填写好的表格）

设计意图：学生经历互相交流、合作探究的过程后归纳出曲线生长的一般规律，抽象成数列模型后求得通项公式，最终得到所研究对象的结果，发展数学核心素养的同时收获成就感和自信心.值得注意的是，面积公式的推导具有一定的难度，需要教师的提示和辅助.

德育点：从理性维度来说，学生运用由特殊到一般的方法，推理曲线生长前后的数量关系，尝试多角度思考问题，训练严密的思维；从人格维度来说，学生在探究中学会倾听和交流，这是对学生意志力、个性品质等的培养，让学生学会对自己的学习进行审视和反思.

（4）环节4：归纳结论，探源揭秘

师：当n趋于无穷大，即生长无限次时，“雪花曲线”的周长和面积有何性质？

生8：L=

nL，显然极限不存在.

生9：S=

S

-

n

S=S，极限存在.

师（追问）：这个结果说明了什么？

生10：“雪花曲线”的周长是无穷大的，但面积是有限的.

师：通过刚才的研究，我们可以发现：随着“雪花曲线”生长次数的不断增加，其周长不断增加至无穷，而它的面积虽然也在不断增加，但永远不可能超过S.这是一个多么奇妙的现象.“雪花曲线”这个图形，它具有有限的面积，而具有无限的周长. 也就是说，存在一条无限长的曲线，围成了一个有限面积的区域.

师：现在来看，是否存在一种曲线，它的长度可以绕地球好几圈，却能画在一张小小的邮票上？

学生异口同声：是！

师：这种现象最初被人们认为是十分怪异和荒诞的，但随着人们不断探索与研究，逐渐认识到了它的科学价值，并形成了一个新的数学分支——分形几何. 客观自然界中许多事物，具有自相似的结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构依然不变，比如各国的海岸线、天上的云朵、身上的血管等.

设计意图：通过师生问答、合作讨论，引导学生回顾并解决情境中的问题，教师带领学生对“雪花曲线”从“形”的感性认识，通过“量”的计算过渡，上升到“质”的理性认识，突破本节课的教学重难点.

德育点：从人文维度上来说，一朵小小的雪花蕴含着如此神奇的结论，培养学生辩证唯物思想和动态的数学信念. 学生通过探索发现了事物的本质，揭示了现象背后的真理，感受到了数学学科的实用性和科学性，以此提醒自己用数学的眼光观察世界.

（5）环节5：分形拓展，教学相长

师：下面我们有请几位同学，给大家介绍一下分形几何的相关知识！

A同学介绍分形几何的发展史：

英国的海岸线有多长？

分形之父

B同学介绍各种自然界中存在的分形案例和用数学方式构造的分形案例：

“大自然的几何学”

C同学从分形几何的应用角度，展示分形艺术——曼德勃罗集.

设计意图：数学拓展课具有一定的开放性，教师让学生见识一些课本上学不到的知识——数学文化. 学生通常乐于接收这类知识，参与展示的学生积极性较高，观看的学生也是兴趣盎然，教师亦有教学相长之感. 此环节可以大大提高学生课堂学习的参与度和积极性.

德育点：此处的德育有多个维度，数学史的融入帮助学生感悟数学人文的内涵，是渗透多元文化的良好契机；通过展示，学生的视野得到拓宽，感受多彩的自然现象与奇妙的数学世界的联系，对数学之美有一个重新的认识，体现数学学科的人文价值；展示者前期对资料的收集整理，可以培养他们的创新意识和科学态度，课内的登台亮相可以锻炼他们的表达能力，同时有助于提升他们的文化自信.

（6）环节6：课堂小结，作业布置

课堂小结：

①“雪花曲线”有哪些特征？

②本节课你用到了哪些数学思想？

③谈谈分形几何给你留下的印象.

作业布置：

思考题：上网查阅有关“谢尔宾斯基海绵”的资料. 请你从数学的角度解释：为什么它被称为“有皮没肉”的结构体？另外，这样的分形结构体有何实际意义？

设计意图：通过课堂小结和作业布置，以问题驱动的方式让学生进行归纳总结，明确本节课学习的主要内容和重难点，发展学生归纳概括的能力.

德育点：教师设计多元化数学作业，试图从理性维度和责任维度，让学生在掌握课堂知识的基础上学会迁移应用，体会数学的文化价值和应用价值.

[?]数学学科德育实践反思

学科德育是一个不断探索、逐步推进的过程，若以数学学科德育视角再次审视本节课，课堂从理性维度训练学生严密的思维，从人文维度培养学生动态的数学信念，从人格维度锻炼学生遭遇挫折时应具备的意志力，从责任维度提升学生的文化自信.

1. 求真設计，落实核心素养的培养

基于学科德育的高中数学教学设计，在教学过程中应充分挖掘发展核心素养的机会和载体，基于真实的情境设计，训练学生严密的思维，在培养学生知识和能力的同时，注重学生数学思维和数学情感的发展.例如，在探究“雪花曲线”周长与面积的过程中，教师通过设置“问题串”引导学生观察曲线生长前后的边长、边数、周长、面积的变化，并将数据填表做进一步分析，发展学生直观想象、数学建模、数据分析等核心素养；在根据递推公式求解通项公式的教学中，通过归纳分析、累加求和，渗透逻辑推理、数学运算等核心素养；在通过极限结论解释曲线生长变化的本质规律时，引导学生将数学模型的结论返回到实际问题中去，用数学的语言表达世界.

2. 崇善构建，凸显“学生中心”课堂

数学教育家波利亚说过，学习任何知识的最佳途径，都是由学生自己去发现、探索、研究，因为这样理解更深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系. 新课改强调“以人为本”的学生观，主张将课堂还给学生. 教师在课堂上要给予学生足够的自主探究、独立思考的机会和时间，让学生在自主探究、合作交流的过程中发展数学核心素养.

本节课在体现学科德育的同时坚持以“学生为中心”的教学原则，创造机会与平台，让学生合作、交流、展示、聆听、提升、构建，通过学生自行动手，形成对“雪花曲线”的直观感受；通过小组合作填表，生成对“雪花曲线”的理性认识；在解决问题与困难的过程中培养学生动态的数学信念，锻炼学生的意志力；在师生、生生的互动中实现数学学科德育价值，落实学生数学关键能力和必备品格.

3. 唯美渗透，蕴含数学文化价值

数学家罗素指出，“数学不但拥有真理，而且也拥有至高无上的美”.“雪花曲线”带来的视觉冲击吸引着学生去探索数学的奇异之美；数学文化的渗透让学生对分形几何概念的产生背景、发展过程以及数学家运用的思想方法有了一定的了解，引导学生从不同的角度欣赏数学的统一之美；通过对“雪花曲线”通项公式的挖掘及极限的计算，感受数学的抽象之美……课堂教学不仅完成知识传递，更培养学生的审美能力与文化自信，渗透了数学德育的功效，传递着数学文化的情感温度，以人性化的数学将“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”［4］，让“理性”的数学呈现出“感性”之美.

参考文献：

［1］  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］  栗小妮. HPM视角下数学学科德育的案例研究［D］. 上海：华东师范大学，2020.

［3］  汪晓勤. 数学史与数学教育［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2014（01）：8-14.

［4］  张奠宙，马岷兴，陈双双，胡庆玲.数学学科德育——新视角·新案例［M］. 北京：高等教育出版社，2007.