挖掘真题背景把握命题方向

沈海全

摘要：深度研究高考真题是提高教师专业水平和准确把握教学方向的重要途径，本文对真题进行深入挖掘并作一般性推广，试图把握此类问题的命题规律.

关键词：真题；推广；命题规律

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0057-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：沈海泉，从事高中物理教学研究.

2021年全国甲卷第20题解析几何中三切线问题的出现感觉耳目一新但又似曾相识，与2011年浙江理数第21题有类似的背景和解法，笔者对这两个问题进行了深度挖掘并作了一般性推广，为读者在教学研究中提供一种思路.

1 真题呈现

真题1（2011年浙江理数第21题）如图1所示，已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M.

（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

真题2（2021年全国甲卷第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且⊙M与l相切.

（1）求C，⊙M的方程；

（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

2 试题解法

限于篇幅仅对真题2给出解法.

解析（1）因为x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为y2=2px（p>0），令x=1，则y=±2p.

根据抛物线的对称性，不妨设点P在x轴上方，点Q在x轴下方，故P（1，2p），Q（1，-2p）.

因为OP⊥OQ，故1+2p×（-2p）=0.

解得p=12.

所以抛物线C的方程为y2=x.

因为⊙M与l相切，所以⊙M：（x-2）2+y2=1.

（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.

（1）当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（不妨设A1为坐标原点），

设直线A1A2方程为kx-y=0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得2k1+k2=1，解得k=±33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3，所以此时直线A2A3与⊙M相切.

（2）当A1，A2，A3都不是坐标原点时，直线A1A2的方程为x-（y1+y2）y+y1y2=0，

此时有|2+y1y2|1+（y1+y2）2=1.

即（y21-1）y22+2y1y2+3-y21=0.

又y22=x2，

即（y21-1）x2+2y1y2+3-y21=0.

同理可得（y21-1）x3+2y1y3+3-y21=0.

所以點A2，A3在直线（y21-1）x+2y1y+3-y21=0上.

所以直线A2A3的方程为

（y21-1）x+2y1y+3-y21=0.

令M（2，0）到直线A2A3的距离为d，则有

d=y21+1（y21-1）2+4y21=1.

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

3 一般性推广

两题均以抛物线上的任一动点向定圆作切线为背景，都可采用同构的思想来解决问题，但2021年全国甲卷第20题显得更为特殊，第三条交点弦仍与圆相切，引起了笔者的思考，现将结论推广到一般的抛物线和椭圆.

推广1已知A1为抛物线C：y2=2px（p>0）上的动点，过点A1作⊙M：（x-4p）2+y2=4p2的两条切线分别交抛物线C于A2，A3两点，证明：直线A2A3与⊙M相切.

证明（1）当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（不妨设A1为坐标原点），设直线A1A2方程为kx-y=0，根据点M（4p，0）到直线距离为2p可得4pk1+k2=2p.

解得k=±33.

联立直线A1A2与抛物线方程可得x=6p.

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

（2）当A1，A2，A3都不是坐标原点时，设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），即x1≠x2≠x3，此时直线A1A2的方程为2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

由直线A1A2与圆相切可得

|8p2+y1y2|4p2+（y1+y2）2=2p.

即（y21-4p2）y22+8p2y1y2+48p4-4p2y21=0.

又y22=2px2，

即（y21-4p2）x2+4py1y2+24p3-2py21=0.

同理可得（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

所以点A2，A3在直线（y21-4p2）x+4py1y+24p3-2py21=0上.

所以直线A2A3的方程为

（y21-4p2）x3+4py1y3+24p3-2py21=0.

令M（4p，0）到直线A2A3的距离为d，则有

d=2py21+4p2（y21-4p2）2+16p2y21=2p.

此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

波利亚说：“要充分利用一般化、特殊化与类比在变更问题方面中的功能.通过对问题的观察、猜测、推广，体会数学发现的过程，提高创造性思维能力.”因此笔者并不满足于得到上述的推广，而是继续深入探索，利用类比的思想将结论进一步推广到椭圆，通过研究，发现椭圆也有如下完全类似的结论.

推广2已知A1为椭圆C：x2a2+y2b2=1上的动点，过点A1作⊙M：x2+y2=aba+b2的两条切线分别交椭圆C于A2，A3两点.证明：直线A2A3与⊙M相切.

证明 （1）当A1，A2，A3其中某一个为椭圆的左、右顶点（不妨设A1为椭圆左顶点），

设直线A1A2方程为y=k（x+a），根据点O（0，0）到直线距离为aba+b，可得ka1+k2=aba+b.

解得k=±ba2+2ab.

联立直线A1A2与椭圆方程，得

y=ba2+2abx+a，x2a2+y2b2=1，

解得x2=aba+b.

所以此时直线A2A3与⊙M相切.

（2）当A1，A2，A3都不是椭圆左、右顶点时，设A1（acosα，bsinα），A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ），

此时直线A1A2方程为y-bsinαx-acosα=y-bsinβx-acosβ.

整理，得

bcosα+β2x+asinα+β2y-abcosα-β2=0.

根据点O（0，0）到直线距离为aba+b可得

d=abcosα-β2b2cos2α+β2+a2sin2α+β2=aba+b.

即a+b2cos2α-β2=b2cos2α+β2+a2sin2α+β2.

即a+b2·1+cosα-β2=b2·1+cosα+β2+a21+cosα+β2.

整理，得

a+bcosαacosβ+a+bsinαbsinβ+ab=0.

同理可得

a+bcosαacosγ+a+bsinαbsinγ+ab=0.

即A2（acosβ，bsinβ），A3（acosγ，bsinγ）在直線a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0上.

所以直线A2A3方程为

a+bcosαx+a+bsinαy+ab=0.

令O（0，0）到直线A2A3的距离为d，则有

d=aba+b2cos2α+a+b2sin2α=aba+b.

此时直线A2A3与⊙M相切.

综上，直线A2A3与⊙M相切.

推广3已知A1为椭圆C：x2a2+y2b2=1上的动点，过点A1作⊙M：x-c4a2-b22a2+y2=b22a2的两条切线分别交椭圆C于A2，A3两点.证明：直线A2A3与⊙M相切.

证明同推广2，限于篇幅不再赘述.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学教育承载着立德树人的根本任务，发展素质教育的功能，数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法，提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展.”这对我们一线教师的专业水平提出了更高的要求，而深度研究高考真题，挖掘真题背景是提升教师专业素养、提高教学站位、准确把握教学方向的重要途径.

参考文献：

［1］波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.