一道北京大学强基数学题的变式探究及推广

2022-05-30 07:30金迅婴李盛
数理化解题研究·高中版 2022年10期
关键词:不等式北京大学

金迅婴 李盛

摘要:文章给出了2020年北京大学强基计划数学试题第9题的多种解法,并作了变式探究和推广.

关键词:北京大学;强基计划;不等式;变式推广

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)28-0043-03

收稿日期:2022-07-05

作者简介:金迅婴(1968-),男,浙江省东阳人,从事高中数学教学研究;

李盛(1988-),男,浙江省东阳人,本科,中学一级教师,从事高中数学教学研究.

1 题目呈现

题目(2020年北京大学强基计划数学试题第9题)使得5x+12xy≤a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为().

A.8 B.9C.10D.前三个答案都不对

这一试题从外部结构初看是含参不等式恒成立问题,但内涵丰富,隐藏着丰富的函数思想,具有一定的探究价值.

2 题目解析

解法1(分离参数法1)由于x>0,y>0,分离参数,得a≥5x+12xyx+y.

进一步得a≥5+12yx1+yx.

换元,令t=yx,转化为关于t的不等式

a≥5+12t1+t2,t>0.

再用基本不等式法或求导法,求出函数y=5+12t1+t2(t>0)的最大值为9,也就是a的最小值为9.故选B.

解法2(分离参数法2)前面同解法1,换元,令t=5+12yx,显然t>5,转化为关于t的不等式

5+12yx1+yx=t1+t-5122

=144tt2-10t+169

=144t+169t-10

≤1442169-10=9,

当且仅当t=13时等号成立,即yx=49,因而a的最小值为9.故选B.

解法2比解法1简单,但不如下面的解法简捷.

解法3(待定常数法)引入待定常数λ>0,根据基本不等式,得

5x+12xy=5x+12λx·yλ

≤5+6λx+6yλ.

令5+6λ=6λ,可得λ=23.

因而5x+12xy≤9(x+y).

当且仅当λx=yλ时等号成立,即yx=49.

故a的最小值为9.选B.

解题过程十分简洁!但不是解决这类问题的一般性方法.一般方法是化生为熟的基本不等式法.

解法4由于题给不等式对任意正数x,y恒成立,利用极限方法,令y→0,得ax≥5x.

又x>0,所以a≥5.

将题给不等式变形,得

12xy≤a-5x+ay.

两边同除xy,分离出常数12, 问题就转化为

不等式a-5xy+ayx≥12对任意正数x,y恒成立,求a的最小值.

由于a-5xy+ayx≥2a-5a,当且仅当yx=a-5a时等号成立.

所以a-5xy+ayx的最小值为2a-5a.

故实数a应满足的条件为2a-5a≥12,解得a≥9.

所以a的最小值为9.故选B.

评注解法4先采用极限方法,先确定实数a的一个范围, 再用分离法求解,是解决这类问题的一般方法.3 变式探究

前三种解法,一种比一种简洁.解法3中是令5+6λ=6λ,确定待定系数λ的值,受此启发,求解过程中我们如果令

5+6λ=2×1λ,或5+6λ=32×1λ

分别会得出什么新结论?经研究,有

变式1使得5x+12xy≤a(x+2y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为.

答案73+52.

变式2使得5x+12xy≤a(2x+3y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为.

答案612.

变式3(2022年4月陕西省渭南市二模理数第12题)若对任意的x,y>0,都有x+y+2xy≤a(2x+3y)成立,则实数a的最小值是().

A.45B.56C.63D.5+2612

解析利用柯西不等式,得

x+y+2xy=12·2x+13·3y2

≤12+132x+3y.

易知实数a的最小值是12+13=56,故选B.

还有很多变式,不一一列举.

4 结论推广

解法4中将题给不等式变形为12xy≤a-5x+ay,从结构上看,类似于基本不等式2xy≤x+y,这启发我们进一步思考其推广问题:

使不等式λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi对所有正数xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)都成立的实数ai(i=1,2,…,n),λ应满足什么條件?

经研究,得

定理使不等式

λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi①对所有正数xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)都成立,则实数ai(i=1,2,…,n),λ应满足ai≥0(i=1,2,…,n),且λ≤nn∏ni=1ai.证明由于不等式①对任意正数xi(i=1,2,…,n)恒成立,采用极限方法,令xi→0(i=2,…,n),得a1x1≥0.

又x1>0,所以 a1≥0.

同理可得:a2≥0,a3≥0,…,an≥0.

将不等式①变形,问题转化为:

不等式λ≤∑ni=1aixin∏ni=1xi对任意正数xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)恒成立,实数ai≥0(i=1,2,…,n),λ应满足什么条件?

应用n元的算术——几何平均值不等式,可得

∑ni=1aixin∏ni=1xi≥nn∏ni=1aixin∏ni=1xi=nn∏ni=1ai,

且等号在a1x1=a2x2=…=anxn时成立.

所以λ≤nn∏ni=1ai.

这样一来,用同一方法,就把问题推广到了n元加权的算术——几何平均值不等式有关的恒成立问题.

练习已知不等式a(x+y)≥kx+λxy对任意正数x,y恒成立,求实数a的最小值(用正实数k,λ表示).

解析已知不等式可化为

a-kx+ay≥λxy

由定理,知应满足的条件为.

a≥0,a-k≥0,λ≤2aa-k,

即a≥0,a≥k+k2+λ22,a≥k.

由于k+k2+λ22>k,

所以amin=k+k2+λ22.

评注当k=5,λ=12时,就得2020年北京大学强基数学试题第9题的答案amin=k+k2+λ22=9.本例从结构上推广到了一般情形:

若不等式a(x+y)≥kx+λxy对任意正数x,y,k,λ恒成立,则实数a的最小值为k+k2+λ22.

参考文献:

[1]李世杰,李盛.不等式探秘[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2017.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M].北京:人民教育出版社,2020.

[3] 弭金瑞.巧转化 妙破解 深拓展——一道不等式恒成立问题的探究[J].中学数学教學参考,2021(30):48-49.

[4] 许万成.破解含参不等式恒成立问题的常见策略[J].数理化解题研究,2021(25):25-26.

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