明晰递推关系式的类型，求数列的通项公式

陈月莲

求数列的通项公式问题通常要求根据给出的递推关系式，求数列的通项公式.在解题时，我们需仔细研究数列的递推关系式，将其进行合理的变形、化简，将问题转化为简单的等差、等比数列的通项公式问题来求解.由于此类问题中递推关系式的形式多样，所以求数列通项公式的方法也各不相同.下面结合实例，探讨一下如何由不同的递推关系式求数列的通项公式.

一、Sn = f （an） 型的递推关系式

Sn = f （an） 型的递推关系式中同时含有数列的前 n项和 Sn 以及数列的通项公式 an .解答此类问题，需明晰 Sn 与 an 之间的关系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 根据递推关系式构造出 S n 、S n - 1 ，得到有关 S n 、S n - 1 的递推关系式，再将两者作差，即可得到当 n ≥ 2 时 an 的表达式，最后验证当 n = 1 时 a1 是否满足所求得的 an 的表达式.若不满足，则需分开表示.

例 1.

已知关系式 a1 + 2a2 + 3a3 +…+ nan 可看作数列{nan} 的前 n 项和 S n ，该递推关系式形如 Sn = f （an） ，需令 n = n - 1，由已知递推关系式得到 S n - 1 的表达式，然后将两式作差，即可得到当 n ≥ 2 时 an 的表达式.本题中当 n = 1时的情况不满足当 n ≥ 2 时 an 的表达式，因此需分段表示 an .

二、an + 1 - an = f （n） 型的递推关系式

an + 1 - an = f （n） 型的递推关系式表示的是相邻两项之差与n有关的数列.由这类递推关系式求数列的通项公式，需采用累加法，分别令n=1，2，3，…，n-1，然后将各式累加，得到（an - an - 1） + （an - 1 - an - 2） +…+ （a2 - a1）+a1 ，則 an = f （n） + f （n - 1） +…+ f （2） + a1 ，化简该式，即可得到 an 的表达式.值得注意的是，该表达式只满足当 n ≥ 2 时的情形，对于 n = 1时的情况，需单独进行讨论.

例2.

在递推关系式的左右同时除以 an + 1anan - 1 ，即可得到关系式 1an + 1- 1an= 2n ，该式形如 an + 1 - an = f （n） ，于是令n=1，2，3，…，n-1，通过累加求出当 n ≥ 2 时，an的表示式，最后验证当 n = 1 时的情况，即可求得数列{an} 的通项公式.

解答本题，需先根据数列前 n 项的和与数列通项公式之间的关系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 得到 anan - 1= n - 1n + 1 .而该式形如 an + 1an= f （n） ，然后令n=1，2，3，…，n-1，通过累乘，即可求出当 n ≥ 2 时的 an ，最后验证 a1 是否满足所求的 an ，即可求得数列的通项公式.

四、an + 1 = Aan + f （n） 型的递推关系式

an + 1 = Aan + f （n） 型的递推关系式中含有数列的相邻两项 an + 1 和 an，且二者呈线性关系.由形如 an + 1 = Aan+f （n） 的递推关系式，求数列的通项公式，需将递推关系式变形为 an + 1 + g（n） = A（an + g（n）） 的形式，这样便可构造出等比数列 {an + g（n）} ，根据等比数列的通项公式来求解.

例 4.

已知递推关系式中含有 Sn、an + 1，需根据数列前 n项和与数列通项公式之间的关系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，得到不含 Sn 的式子：an + 1 = 3an + 2n.该式形如 an + 1 = Aan+f （n） ，需引入常数 r ，将递推关系式设为 an + 1 + r?2n + 1= 3（an + r?2 ）n ，通过对比两式的系数，求得 r 的值，即可构造等比数列 {an + 2 }n ，根据等比数列的通项公式求得 {an + 2 }n 的通项公式，就能求出数列 {an} 的通项公式.

通过上述分析，同学们可以发现，对于不同类型的递推关系式，在求数列的通项公式时，需先根据递推 关 系 式 的 特 点 判 定 递 推 关 系 式 的 类 型 ，如Sn = f （an）、an + 1 - an = f （n）、an + 1an= f （n）、an + 1 = Aan + f （n），然后将递推关系式进行适当的变形，如，（1）构造有关Sn、Sn - 1 的式子;（2）令 n=1，2，3，…，n-1，求得递推关系式中的 n 为 n=1，2，3，…，n-1 时的式子，再累加、累乘;（3）引入参数，构造等差、等比数列的通项公式，根据数列前 n 项的和与数列通项公式之间的关系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，通过累加、累乘，构造等差、等比数列，求得问题的答案.

（作者单位：江西省赣州市第十五中学）