巧妙构造简单几何体，快速求解外接球问题

西雪侠

多面体的外接球问题主要包括求多面体的外接球的体积、表面积、半径.求解这类问题的关键是根据几何体的特征寻找球心的位置，即与多面体各顶点距离相等的点的位置，从而求得多面体的外接球的半径、体积、表面积.对于一些不规则的几何体，我们常需将其割补为规则的简单几何体，如长方形、直棱柱、圆锥、圆柱等，以便根据这些简单几何体的特征、结构，快速确定球心的位置，求得多面体的外接球的半径.

一、构造长方体

若长方体 ABCD - A1B1C1D1 的体对角线 AC1 、 BD1 、CA1 、DB1 交于同一点 O，则 O 为体对角线的中点，O 到长方体的 8 个顶点的距离都相等，那么 O 即为长方体的外接球的球心，其外接球的半径 R = a2 + b 2 + c 2 2 ，其中 a、b、c 分别为长方体的长、宽、高.特别的，当 a = b = c 时，正方体的外接球的半径为 R = 3a 2 ，其中a为正方体的棱长.

若从长方体的8个顶点中任取4个不共面的顶点，可得具有以下特征的三棱锥：（1）共顶点的三系棱两两互相垂直的三棱锥 A -BDA1（如图1）;（2）两个面为直角三角形，且有公共斜边的三棱锥 A -A1B1C1（如图2）;（3）三组对棱相等的三棱锥 B -A1C1D （如图3）.还可以从长方体的8个顶点中任取5、6、7个不共面的顶点，构造多面体 A -A1B1C1D1、多面体 AB -A1B1C1D1、多面体 BCD -A1B1C1D1等.由于长方体的對角线中点到8个顶点的距离均相等，所以以上棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据这些棱锥的特点构造长方体，便可将棱锥的外接球问题都转化为长方体的外接球问题，根据长方体的结构、特征来解题.

例1.在四面体 A -BCD 中，AB = CD =AD =BC =， AC =BD =，求该四面体的外接球的半径.

分析：四面体的对棱相等，可以构造出一个面对角线分别为 AB、BC、AC 的长方体，显然四面体 A -BCD 与该长方体有共同的外接球，求得该长方体的长、宽、高以及体对角线的长，即可求得四面体外接球的半径.

解：

二、构造直棱柱

如图 4，设直棱柱上下底面的外心为 O1 、O2 ，则 O1O2 ⊥底面ABC ，取 O1O2 的中点 O ，易证 O 到直棱柱的所有顶点的距离均相等，则 O 为直棱柱的外接球的球心.设底面三角形的外接圆的半径为r，直棱柱的高为h，则该直棱柱的外接球的半径 R = r 2 +（ h 2 ） 2 .

若棱锥的一条棱垂直于底面或侧面，则可将其填补为直棱柱，根据直棱柱的性质来求解棱锥的外接球问题.

例2.四棱锥 A -BCDE 的底面为矩形，ΔABE 为正三角形.若 BE =2，BC =4，平面ABE⊥平面BCDE ，求 A -BCDE 的外接球体积.

解：

解答本题，需先根据面面垂直的性质定理证明 BC ⊥平面ABE ，据此构造以 BC 为棱，ΔABE 为底面的直棱柱，便可根据直棱柱的性质求得四棱锥 A - BCDE 的半径，进而求得问题的答案.

三、构造圆锥

若圆锥有外接球，则圆锥的顶点与圆锥底面圆周均在同一球面上.设圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为R，球心为O，则O到底面圆心的距离为d，由图 5 易知 r + d = h ，由勾股定理可得 R2 - h2 = d2 ，则球的半径 R = r 2 + h2 2h .

若棱锥的顶点在底面的投影为底面外接圆的圆心，或所有的侧棱均相等，则可构造以棱锥的底面为底，以其侧棱为棱的圆锥，根据圆锥的性质来确定外接球的球心，求得该外接球的半径.

例3

解：

根据题意可知棱锥 S - BCD 的顶点在底面的投影为底面外接圆的圆心，即可构造以 A 为底面的圆心， SA为高的圆锥，根据圆锥的性质以及勾股定理就能求得三棱锥的外接球的半径.

例4

解：

解答本题，关键在于根据 CM ⊥平面PAB ，构造以 ΔPAB 的外接圆半径为底面半径，三棱锥C-PAB的高为高的圆锥，根据圆锥的性质即可求得三棱锥外接圆的半径.

多面体的外接球问题较为复杂.同学们在求解多面体的外接球问题时，要学会通过割补图形，构造出简单的长方体、直棱柱、圆锥，这样便能将复杂的问题转化为简单的规则立体几何图形问题，达到化难为易的效果.