基于学生认知规律 理解数形结合思想

[摘  要] 初中数学教学历来重视数形结合. 在核心素养发展的背景之下，理解并运用数形结合思想，很关键的一点就是不能让数形结合显得过于权威，而应当在尊重学生认知规律的基础之上，引导学生通过生活经验的提取，通过形象思维与抽象思维的运用，使得学生能高效地完成信息加工，从而实现知识的建构、理解与运用. 在“轴对称”这一知识的教学中，基于对学生认知规律的把握，通过学习过程的有效设计，可以让学生更好地理解数形结合思想，可以发展学生的数学学科核心素养.

[关键词] 数形结合;核心素养;认知规律

数学教学历来就有重视数形结合思想的传统，在传统的视阈当中，数形结合是作为客观思想而存在的，即人们谈及数形结合的时候，首先认为其是体现数学本质的基本思想——因为数学是研究数与形的学科，所以数形结合是基本思想. 这一认识最大的好处，就是可以确立数形结合在数学教学中的奠基性作用;然而如果只有这样的认识，那也容易出现一些偏差，最明显的一点就是过于强调数形结合的思想权威性，容易形成被动的学习状态，而如果站在学生的角度看待这种状态，那就容易让数形结合思想与学生的认知基础之间形成较大的差距. 实际上，当下的学科教学高度重视学生的主体地位，数学学科自然也不例外;与此同时著名教育家陶行知先生也强调，“我们要教人，不但要教人知其然，而且要教人知其所以然”. 对于初中数学学科来说，这里所说的“所以然”，其实就是指向数学思想方法的，如果在实际教学中能够给予学生认知规律，然后引导他们去体验领会数形结合，那么数形结合就能够真正成为支撑学生数学学习的“思想”.

也因此，在初中数学教学当中，在核心素养发展的背景之下，教师在向学生传授基本的数学理论知识的同时，也更加应当重视包括数形结合在内的数学思想方法的教育和渗透，以使学生能够掌握数学的核心精髓，从而做到融会贯通，进而有效提升其数学能力与学习成效. 众所周知，核心素养强调的是发展学生的必备品格与关键能力，而在具体的学科教学中，又应当以关键能力为核心. 相比较而言，在诸多数学思想方法当中，数形结合因其基础性且与初中学生的认知之间有着密切的关系，因而可以以“思想”的形态闪烁着独特的光芒.相应地，学生在数学学习的过程中，也可以通过对图形与数字相结合的学习，从而大幅提升学生自身的学习质量.

基于学生认知规律的数形结合思想及理解

强调基于学生的认知规律来理解数形结合思想，最主要的目的就是让数形结合在学生学习体验的过程中，能够更接近学生的认知基础，从而保证学生在学习的时候能够给予自身的体验，去获得对数形结合的深度理解. 这是典型的学生视角，也是以生为本的教学理念在初中数学教学中的真实体现. 尤其是在核心素养的视角之下，当强调通过数学学科的教学来发展学生的关键能力时，当数学教学立足于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析时，数形结合作为最基本的思想方法，如果能够与学生的认知规律结合起来，就能够体现其思想本质. 如同上面所指出的那样，数学是“数”与“形”的统一，在数学教学中用数形结合的思想方法研究问题，客观上就是让学生在学习的过程中，要注意认识到数与形两个方面的关系，并且在教学的时候努力做到两者之间的结合;又或者说，在学生学习的过程中，教师可以借助于“数”的精确性，来阐明“形”的数学属性. 相应地，也可以借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间的某种关系. 于是，在实际教学中，把数形结合当作数学思想方法来应用时，“数”与“形”两个因素中，必然意味着一个为手段（方法），另一个为目的.

再将这种理解与学生的认知规律联系起来，就可以发现学生在数学学习的过程中，当学生的思维在加工“形”的时候，所运用的就是形象思维，在加工“数”的时候所运用的就是抽象思维. 从形象思维到抽象思维，意味着学生的思维呈现出递进性，因此当数形结合思想运用的时候，就必然涉及学生的形象思维与抽象思维培养. 进一步讲，学生的数学学习需要自身的经验作为支撑，这种经验来自于生活与思考，从信息加工的角度来看，当新的问题撬动学生的思维，去加工已有经验与知识的时候，也就是学生在自身认知规律的作用之下，完成数学知识的建构、完成数学思想方法的体验，进而实现核心素养发展的时候.

核心素养导向下的初中数形结合思想教学

上面提及的信息加工理论，是我国阐释学科教学的重要理论，该理论以分析学生认知规律为出发点，在把握学生在学习过程中的认知特点的同时，能够对学生的学习过程进行更加精确的阐释. 而当学生在学习过程中运用数形结合思想方法的时候，基于认知规律把握的视角去进行解释，瞄准核心素养以及数学学科核心素养去寻找因果关系，可以让初中数学教学的过程得到更大的优化.

例如，在“轴对称”这一知识的教学中，基于认知规律的教学设计可以是这样的：

首先，从学生的生活经验出发，创设相应的情境，让学生的思维有足够丰富的加工对象.

对于初中学生而言，经验系统当中有许多与轴对称相关的素材. 具体引入的时候，可以从“对称”这一概念角度引入——由于学生在生活中有大量的对称认识，因此即使学生此时没有形成对“轴对称”概念的精确数学理解，但是学生也能凭着自己的经验去寻找素材，加工素材.

从认知规律把握的角度来看，这也就意味着学生的思维有足够的信息可供加工. 值得一提的是，在这个教学环节，可以让学生自己去寻找例子，积累素材，当学生的学习有这样的体验时，客观上就是在用朴素的轴对称理解，去判断自己经验系统当中的事物是不是属于轴对称.

其次，在数形结合的体验中感悟思想方法的价值，努力追求数学学科核心素养的发展.

经过上述教学环节，学生大脑当中就有丰富的关于轴对称的表象，表象的形成意味着学生的思维对象已经不再是具体的物体，而是经过抽象之后形成的学习对象，这意味着与轴对称相关的“形”开始出现. 那么如何用数来描述这一形呢？教师在教学中可以让学生通过作图的方法，去作出一个点、一条线段、一个简单的轴对称图形. 这样的体验，可以促进学生对轴对称理解的进一步抽象化，其中涉及的“等量关系”，可以夯实从“數”的角度描述轴对称“形”的基础.

核心素养导向下的数形结合思想教学展望

在上面的这一教学例子中，学生通过数形结合思想的体验，完成了从经验系统当中提取与轴对称相关的元素，然后进行形象思维与抽象思维，进而通过数学抽象形成了与轴对称相关的表象. 这些表象在进一步的抽象与推理中，在通过用“数”进行描述的过程中，使学生大脑中关于轴对称的认识越来越深刻. 当学生最终借助于数学语言，准确的描述出轴对称这一概念时，可以理解为轴对称以模型的形式存在于学生的思维当中.

由此可见，在初中数学教学中，只有认真把握了学生的认知基础与学习规律，才能够使认知规律真正成为学生建构数学知识的动力. 一旦学生拥有了这一学习动力，那也就意味着在初中数学课堂教学中，如果能够有机渗透数形结合思想，不但有利于学生掌握当前的数学知识，还有利于培养学生的数学思维，当然也更有利于数学学科核心素养的培育.

陶行知先生说，“人类社会处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人”. 对于当下的初中数学教学来说，这样的点拨仍然有着重要的意义. 一般认为，掌握了数学知识，不会使学生拥有创造能力，但是如果掌握了数学思想方法，那么学生的创造火花就会被点燃. 数形结合作为一种基本的思想方法，当其在认知规律的驱动之下由学生充分体验时，也就意味着夯实了学生的创造基础，当然也意味着有了一条坚实的、通往核心素养的发展路径.

作者简介：曹建业（1981—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学工作.