一类带有临界指数的Schrödinger-Poisson系统非平凡解的存在性

廖家锋，朱丽君

(西华师范大学 a.数学与信息学院，b.公共数学学院，四川 南充 637009)

考虑如下带有临界指数的Schrödinger-Poisson系统

(1)

其中η∈R{0},f∈C(R3×R,R),V满足以下假设：

(V)V∈C(R3,R)，infV(x)≥a1>0且∀M>0,meas{x∈R3∶V(x)≤M}<+∞，其中a1和meas分别表示一个实数和R3中的Lebesgue测度。

(F1) 对于任意的p∈(2,6)以及存在一个正实数C，使得∀(x,s)∈R3×R,有

|f(x,s)|≤C(1+|s|p-1)；

(F3) 存在θ0∈(0,1)，使得对任意x∈R3,t>0以及τ≠0，有

受文献[5-6]的启发，本文将在(F3)条件下，利用变分法和山路引理研究系统(1)非平凡解的存在性问题。本文的主要结果如下：

定理1 假设η∈R{0}，(V)，(F1)-(F4)都成立， 则系统(1)至少存在一个非平凡解。

1 预备知识

本文将使用以下符号：

(2)

在不同行间，C表示不同的正实数。

由Lax-Milgram定理，对任意的u∈E，系统(1)中第二个方程有唯一解øu∈D1,2(R3)与之对应，将øu代入系统(1)的第一个方程，则系统(1)可转换成如下方程

-Δu+V(x)u+ηøuu=f(x,u)+u5。

(3)

方程(3)所对应的能量泛函I为

显然，I∈C1(E,R)。众所周知，方程(3)的弱解与能量泛函I的临界点是一一对应的，且对任意的u,v∈E，有

由文献[2]可知，系统(1)的解与泛函I在E中的临界点是一一对应的。因此，证明系统(1)有非平凡解等价于证明泛函I有非平凡临界点。

2 定理1的证明

由文献[8]，可得一些关于øu的性质：

引理1 对于每个u∈E，都存在如下方程的唯一解øu∈D1,2(R3)：

-Δø=u2,x∈R3，

且øu满足以下性质：

(2)øu≥0且当u≠0时，有øu>0；

下面验证泛函I在E中满足山路结构。

引理2 假设η∈R{0}且(F1),(F2),(F4)都成立，且I(0)=0,

(a)存在ρ,α>0，使得当‖u‖=ρ时，有I(u)≥α；

(b)存在某个函数v∈E，满足‖v‖>ρ，I(v)<0。

证明(a)由假设(F1)和(F2)，对于任意的ε>0，都存在Cε>0，使得

(4)

(b)固定u0∈E且u0≠0，令

由假设(F4)，对任意的M>0，存在RM>0，使得F(x,u)≥M|u|4,∀|u|≥RM,x∈R3，再结合(4)式，有

|F(x,u)|≥M|u|4-CM|u|2, ∀(x,u)∈R3×R3。

(5)

由(5)式，可得

可推断出，当t→+∞时，I(tu0)→-∞。于是，可选取一个足够大的t*>0，使得‖t*u0‖>ρ并且I(t*u0)<0。故，令v=t*u0∈E且‖v‖>ρ，即有I(v)<0，因此(b)也得证。引理2证毕。

接下来，证明I在E中满足局部的(PS)c条件。

证明假设{un}为泛函I在E中的(PS)c序列，则当n→∞时，有

(6)

首先，证明序列{un}在E中有界。由假设(F3)可得，对任意的x∈R3,t≥0,τ∈R，有

(7)

令(7)式中t=0，有

(8)

当n充分大时，由(6)式和(8)式，可以推得

这就意味着{un}在E中有界。令on(1)表示n→∞时的高阶无穷小，从而存在子列{un}(此时不妨仍记为{un})以及u∈E，使得当n→∞时，有

(9)

接下来，记wn=un-u，由文献[9-10]中的Brézis-Lieb引理，可得

‖un‖2=‖u‖2+‖wn‖2+on(1)，

(10)

(11)

由(4)式和Lebegue’s控制收敛定理，有

(12)

(13)

令(13)式中的φ=u，有

(14)

由(6)式有，〈I′(un),un〉→0,再结合(10)—(12)式以及引理1，可得

(15)

由(14)式和(15)式，有

(16)

一方面，根据(8)式和(14)式，可得

≥0。

(17)

另一方面，根据(6)式、(10)—(12)式和(16)式，可得

<0，

下面估计泛函I在E中山路水平值。

(18)

(19)

根据M的任意性可知，当M充分大时可以推得

引理4证毕。

下面，给出定理1的证明。

定理1的证明由引理2与文献[11]中的山路引理，可知泛函I有山路几何结构。定义