关于抛物-抛物热传导Keller-Segel类模型的全局解

林清芸，吴 杰

(1.电子科技大学 数学科学学院，成都 611731；2.成都大学 计算机学院，成都 610106)

近年来，趋化-流体模型[1-2]已成为生物数学领域中的一个前沿课题，许多数学家基于最经典的Keller-Segel模型[3-5]已经作出了许多贡献，特别是研究它定性的性质[6-11]。Duan等[12]研究了如下系统

这里，Ω为全空间R2或有界域。n、c、u、P和φ(x)分别表示细胞密度、氧气浓度、流体速度、相应的压强和势函数。正常数Dn、Dc、Du分别表示细胞扩散系数、氧气扩散系数和流体扩散系数。在一定初边值的假设条件下，他们证明了该系统的解是全局存在的。当系统中的Δn被Δnm，m>1取代时，文献[13-16]也给出了相应解的定性问题研究。

本文基于如下二维Keller-Segel型系统，即是上述模型系统第三个方程弱化的情形

(1)

n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),

(2)

n和c满足无通量Neumann边界条件

(3)

这里ν为单位外法向量，u满足无滑边界条件

u=0,x∈∂Ω。

(4)

除此之外，假设

(5)

当化学物质的扩散很小，以至于可以忽略不计时，可在系统(1)中取ε=0，从而得到以下极限系统

(6)

并考虑它相应的初边值问题(2)—(4)。

本文的主要目的是证明抛物-抛物Keller-Segel型系统(1)和(2)—(4)的解收敛到相应抛物-热传导Keller-Segel系统(6)和(2)—(4)的解。为此，首先需要得到两系统的解的全局存在性。

为了考虑系统(1)和(2)—(4)解的全局存在性，先考虑如下更为一般的系统

(7)

这里，k(·)表示耗氧量。同时假设

(A)

(B)

1 准备工作

1.1 抛物-抛物型

首先给出系统(7)和(2)—(4)经典解的局部存在性和延拓定理。

证明局部时间存在性利用Banach不动点定理证明，这里省略，具体细节参考文献[17-18]。同样唯一性的证明是标准的，这里省略不写。

以下引理给出系统(7)和(2)—(4)解的一般估计。

引理2 令(nε,cε)为系统(7)和(2)—(4)在Ω×(0,Tmax)上的经典解，如果Tmax<∞，则有

(8)

(9)

证明该引理的证明可以参考文献[12]直接可得。

由于系统(1)是系统(7)的特殊情况，故利用延拓定理和引理2，即可得到系统(1)和(2)—(4)解的全局存在性。

1.2 抛物-热传导型

首先，给出系统(6)和(2)—(4)经典解的局部存在性和延拓定理。

(10)

证明局部时间存在性利用Banach不动点定理证明，这里省略。同样唯一性的证明是标准的，省略不写。

以下两个引理给出了系统(6)和(2)—(4)解的基本估计。

引理4 令(n0,c0)为系统(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的经典解，对任意的T∈(0,T*)，则有

‖n0(·,t)‖L∞(Ω)≤‖n0‖L∞(Ω)，t∈(0,T)。

(11)

证明对方程(6)1的两边同乘以p·(n0)p-1，分部积分则有

于是对所有的t∈(0,T*)，‖n0(·,t)‖Lp(Ω)≤‖n0‖Lp(Ω)，令p→∞可得(11)。

引理5 令(n0,c0)为系统(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的经典解，对任意的T∈(0,T*)，则存在一个仅依赖于Ω和初始值的正常数C使得

‖c0(·,t)‖L∞(Ω)≤C，t∈(0,T)。

(12)

证明假设z(s)=c0(x+tu,t+s)，左右两边同时对s求导，则有

接下来，利用延拓定理即可得到系统(6)和(2)—(4)解的全局存在性。

证明根据引理3—引理5，应用延拓定理可证得定理1。

2 粘性消失极限

在这一节中，要证明本文最主要的结论，即当化学扩散系数ε→0时系统(1)和(2)—(4)的解收敛到系统(6)和(2)—(4)的解。首先提高两系统解的正则性估计。

引理6 对任意的T∈(0,T*)，令(nε,cε)为系统(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的经典解,假设(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，这里p>2，那么存在一个依赖于Ω，T,p，ε0和初始值的常数C使得

(13)

证明根据抛物方程的Lp理论、Minkowski不等式、Gagliardo-Nireberg不等式、Young不等式、Sobolev嵌入定理、(5)式和引理2可知

‖cε‖Lp((0,T);W2,p(Ω))≤C1(‖u·∇cε+nεcε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+‖c0‖W2,p(Ω))

≤C1‖u‖L∞((0,T);L∞(Ω))‖∇cε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+‖cε‖L∞((0,T);L∞(Ω))‖nε‖L∞((0,T);L∞(Ω))+C1

≤C2‖∇cε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+C3≤C4‖cε‖Lp((0,T);W1,p(Ω))+C3

故引理6成立。

类似于引理6的证明，可得如下引理7—9。

引理7 在引理6的假设条件下，存在一个依赖于Ω、T、p、ε0和初始值的常数C使得

(14)

引理8 对任意的T∈(0,T*)，令(n0,c0)为系统(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的经典解,假设(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，这里p>2，那么存在一个依赖于Ω、T、p、ε0和初始值的常数C使得

(15)

引理9 在引理8的假设条件下，存在一个依赖于Ω、T、p、ε0和初始值的常数C使得

(16)

下面给出本文最主要的结果。

定理2 若初始值

(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，p>2，

(17)

那么存在一个不依赖于ε的常数C使得

(18)

证明由Neumann热半群理论，有

=∶I1+I2+I3。

(19)

为了估计I1，利用Minkovski不等式和引理10可得

(20)

=∶I21+I22。

(21)

对于I21的估计，由Minkovski不等式、(5)式、引理6和引理9—10，存在正常数C1、C2使得

(22)

类似地，存在正常数C3、C4，可得I22的估计如下

(23)

同样地，为估计I3，可将I3改写成

=∶I31+I32。

(24)

由Minkovski不等式、Hölder不等式、引理6—10和嵌入定理，存在正常数C5、C6使得

(25)

对于I32，同估计I22的方法一样，存在正常数C7，有

(26)

结合(20)—(26)式，存在正常数C(T)使得

(27)

下面讨论关于nε-n0的方程如下

(28)

对方程(28)1的两边同时乘以p(nε-n0)p-1并分部积分可得

(29)

下面估计上式最后一项。由Hölder不等式和Young不等式，有

(30)

将(30)代入(29)可得

根据引理2和引理4，存在正常数C8，进而有

(31)

≤C11(t)εα

(32)

这里，α>1。因此由(27)和(32)式可证得本文的主要结果。