称彩球：小学生早期代数思维发展的一个案例研究

田野

【摘   要】代数学习对小学生来说有一定的难度，进行早期代数思维的渗透和相关内容的学习，能为小学生后续进一步学习代数减轻难度。“称彩球”就是为小学生代数思维发展而设计的拓展课。教学前发现，关系推理对于学生学习有一定的难度;教学中，通过思考与操作，让学生体验关系的推理，应用推理的结果解决问题;教学后，学生关系推理总体水平有明显上升，代数思维提升有成效。

【关键词】称彩球;代数思维;关系推理

现行的小学数学各套教材都不约而同地把“未知数与方程”这个代数内容放在高年级进行教学，这是因为代数内容的学习对小学生来说有一定的难度，且已成为学生进一步学习数学的一个障碍。如何应对挑战？其中一个方法是进行早期代数思维的教学。大量研究显示，如果在正式学习代数之前，进行代数思维的渗透和相关内容的学习，就会大大减轻小学生学习代数的难度，从而更顺畅地用代数的思维方式来解决问题。

在小学低年级进行早期代数思维的萌发[1]，既可以结合现行教材的相关内容，如“找规律”教学中函数关系的渗透、“数的运算”教学中运算互逆关系的学习、“图形代数”教学中数量关系的推理等，也可以设置专门的数学拓展课。与前者相比，后者目标更聚焦，有利于学生深度学习和深刻体验。“称彩球”就是为小学生代数思維发展而设计的系列拓展课中的内容。

【前测准备】

为了解学生的学习基础，我们准备了5道前测题，每题2分，共10分，这5题都来自浙教版教材（是未学内容的后续习题）。杭州市胜利山南小学二年级学生70人进行测试，前测题和测试结果如表1。

根据结果，我们不难看出，解决第1题、第2题这类可以直接看出数量关系的简单题型，学生可以用算术思维直接解决问题，题目的得分率就比较高。而解决第3题至第5题这类需要发现隐含关系并运用关系推理的题型，学生需要具有一定的代数思维能力，因此这些题的得分率都不高。特别是第3题，得分率最低，不到本题分值的35%。由此得出，关系推理对于学生来说确实有一定的难度。因此我们把这节课的目标聚焦到关系推理的学习上。

【教学目标】

（1）通过观察与操作彩球活动，让学生感知数量的协变和对应关系。

（2）在思考与操作中，让学生体验关系推理，并用推理的方法来解决问题。

【学习材料】

天平（平衡秤）、彩球、学习单。

（一）任务1：选彩球比轻重

教师呈现5个大小相同的彩球，提问：哪个最重？哪个最轻？两两比较，比几次能比出轻重关系？

学生掂一掂，称一称，画一画，记录称重结果。教师引导学生观察与思考：怎样比较轻重？

经过交流与反馈，学生发现了多种方法。

（1）把记录结果按球的颜色重新排列就容易比出轻重了。黄球在天平下沉的一头有3次，说明它比另外3个球都要重，所以是最重的（如图1）。同样，绿球比其余2个都重，红球比紫球重，说明紫球最轻（如图2）。从图1、图2中还可以看出紫球在天平翘起的那头有3次，说明它比其他3个球都要轻。

通过比较学生还发现：①颜色相同的球同样重;② 4种颜色的球比轻重，两两相比，要比6次。

（2）从其中一个结果开始，连续比较。如从黄球开始，发现它比绿球重;再找绿球，发现它比红球重;再找红球，发现它比紫球重。所以黄球最重，其次是绿球、红球，最轻是紫球。

（设计意图：比较球的轻重，实际上是在进行数量关系的推理，是比较简单的直接推理，为后续的基于等量的代数推理活动“热身”。）

（二）任务2：利用天平移彩球

（1）教师出示天平，然后往天平的左右托盘里一个一个地加上彩球，天平时而左边下沉，时而右边下沉，直到呈现如图3所示的状态，天平平衡了。

（2）教师引导学生观察与思考：你发现了什么？学生汇报，教师不作评价，目的是交流，由学生独立思考判断是对还是错。

（3）呈现任务：用这11个球，还可以怎样放，天平仍旧保持平衡？小组合作，画出彩球平衡图。（只能观察，不能动手尝试）

（4）交流与反馈。

第一类是把左右两边的球交换位置，即把原来是右边的球放到左边，把原来是左边的球放到右边。第二类是根据彩球的重量关系来放置。

受任务1的启发，学生重新排列了图中的彩球（如图4），发现将彩球一一对应后，左边还剩1个红球，右边还剩2个紫球。因为左右两边同样重，所以将同样的彩球对应抵消之后，剩下的1个红球与2个紫球同样重。根据这样的关系，可以把右边的1个红球替换成左边的2个紫球（如图5）。

（5）操作验证。让学生动手在天平中验证二类推理情况的可行性。

（设计意图：在问题解决中引导学生发现关系。需要说明的是，教师不要引导学生先发现关系再进行代换推理，而是要让学生面对一个真实任务，体验问题解决的真实过程，即在解决问题时先让学生感到彩球这么多无从下手，然后通过观察，发现隐藏在其中的对应关系，进而用关系推理来解决问题。在这个过程中学生自然地感受到解决问题时发现关系的必要性，获得推理后的成功感。）

（三）任务3：保持平衡放彩球

教师出示任务：如果在天平的一边已经放好了这些球（如图6），要使天平平衡，右边可以放哪些球？

（1）独立思考，在学习单上画一画。

（2）在小组中交流想法，说一说为什么这样放。

（3）操作验证。

（设计意图：应用等量代换进行关系推理，是本课的一个重要目标，也是学生需要重点体验的内容。学生通过思考与动手操作，主动应用彩球之间存在的重量比例关系，“创造”出多种结果，深刻地体会了等量代换与关系推理的过程。）

（四）活动小结（略）D7B024DB-79F0-43A8-945E-8233087FC144

【后测结果与讨论】

一节60分钟的数学拓展课很快就过去了（如果是40分钟，解决任务1和任务2或任务2和任务3即可）。学生看上去在玩玩说说做做，很轻松，很愉快，那么，他们除了开心之外，思维有没有提升呢？我们进行了后测。

为避免教学后存在的记忆与暗示的影响，根据遗忘曲线我们延迟后测。我们在周四进行前测与上课，后测放在双休日之后的周一，实验班与对照班（期间按正常进行教材学习）同时进行后测，结果如下（见表2）。

（一）总体水平有明显上升

从后测结果来看，各题的正确率都有提升，总分在教学前后的差异显著性系数0.007<0.01，差异极其显著，说明教学对学生有明显的促进作用。进一步对比数据，我们发现在前测中得分最高的第1题和第2题，显著性系数分别为0.118和0.844，都大于0.05，说明它们在教学前后差异不显著。这两题都是反映了单一对象的直接对应关系，没有涉及等量之间的代换。看来，教学对于学生解决简单对应问题没有明显促进作用。之所以最后的总分在教学前后差异明显，主要原因是在后三题。

（二）代数思维提升有成效

后三题的增量都比较明显。其中，第4题、第5题在前测中得分率都落后于第2题，后测中则明显反超。特别是第5题的正确率从74.5%上升到94.3%，教学前后测增量明显。这一题没有具体数量，学生只能通过寻找关系，即将图形对应后发现1个圆柱体与3个立方体同样重来解决。同样，第3题、第4题都需要学生先发现数量之间的对应关系，然后利用关系进行推理以解决问题。这三题前后测的差异显著性系数都小于0.01，差异极其显著，说明学生的代数思维生长对解决问题有着明显的提升作用。

第3题的正确率是教学前后差异最显著的。解决这个问题既要有较强的关系发现能力，也要有较强的关系推理能力。图7中通过上面两个图式，发现1个苹果与2个梨同样重，然后利用这个关系，推理出1个菠萝与3个苹果同样重，或者1个菠萝与6个梨同样重。最后把菠萝、梨和苹果建立联系，进一步进行关系推理。显然，在本课教学中，任务2和任务3正是让学生有了这两方面的体验，有助于学生触类旁通。

（三）部分学生代数思维开始内化

虽然后三题都和代数有关，但是我们也知道，在解决代数类问题时，不一定会用到代数思维，比如用“枚举法”（用学生的说法就是“凑数”）解答，这实际上还是算术思维。在前测中，如用图8所示算法的这位同学把数据写在符号的上方，然后尝试计算验证。在前测卷中，不少学生的卷面有数据改动的痕迹，可见他们是用“枚举法”来解答的。显而易见，这种方法需要学生有较强的数感，数感不强的学生则要多次尝试才能“凑”对，因此也导致正确率不高。

在后测中，我们惊喜地发现有些同学对于“等量代换”有了新的领悟，能从“常量的代换”拓展到“变量的代换”。如用图9所示算法的这位学生把 []看成是50+☆的结果，整体代入 []+☆，即50+☆×2=130，然后再用逆运算解决问题。用相同的“变量代换”来解决问题的学生有10人，占总人数的14.3%。

还有的学生把50+☆= []，转换成 []-☆=50，然后和第2个算式进行比较，求和后把☆抵消，得到2个 []等于180，从而得到正确结果（如图10）。这样思考的学生有3人，占总人数的4.3%。

查看这13人的前测卷，发现当时学生主要还是用枚举法来计算的，不过这些学生的数感都很强，都是一步到位用40来表示☆，然后得到正确结果。我们进一步对这13位学生进行了访谈，虽然学生无法讲清是怎么想到这样做的，但每位学生在解释自己算法时都讲到了“把× ×代进去”“把× ×换成 × ×”等语言，看得出学生对于“代”和“换”的印象非常深刻，已经达到了内化的程度。数感强的学生是不是代数思维也很强，这可能是一个研究的视角。

从前、后测的结果来看，教学成效还是比较明显的。当然，我们深知并不是因为上了“称彩球”这一课学生的代数思维才開始提升的，事实上，我们的教材设计、平时的课堂教学一直在进行代数思维的渗透，只是现在我们提供了一个机会，让平时零散的思维珍珠有了穿线的机会，让思维的项链得以闪亮。这才是我们设计专项系列课的目的，也希望本文能引发更多的教师、专家学者来研究该课题。

参考文献：

[1]蔡金法，江春莲，聂必凯.我国小学课程中代数概念的渗透、引入和发展：中美数学教材比较[J].课程·教材·教法，2013（6）：57-61.

（浙江省杭州市胜利山南小学   310008）D7B024DB-79F0-43A8-945E-8233087FC144