Chern-Simons Landau-Lifshitz模型自对偶方程静态解的存在性

2022-06-13 04:18陈智慧金广辉

延边大学学报（自然科学版） 2022年1期

关键词：对偶化简静态

陈智慧，金广辉

(延边大学理学院，吉林延吉 133002)

0 引言

本文考虑如下Chern-Simons Landau-Lifshitz模型的自对偶方程静态解的存在性问题：

D0φ=φ×D1D1φ-N2φ3(n×φ)-V′(τ-n·φ)(n×φ),

(1)

(2)

∂0N=-〈n×φ,D1φ〉,

(3)

∂1N=τ-φ3.

(4)

D1φ+Nφ×(n×φ)=0,

(5)

∂1N=τ-φ3.

(6)

Landau-Lifshitz方程是一类重要的非线性偏微分方程，由于其可描述磁性物质动态磁化现象，因此在铁磁物质的动态磁化理论研究和应用中具有重要作用[1-5].Chern-Simons Landau-Lifshitz方程(CSLL方程)在凝聚态物理、材料功能的应用等方面具有重要应用价值，但由于CSLL方程存在Chern-Simons规范场的耦合，因此对其研究存在较多困难.近年来，一些学者在适当假设的前提下对该方程的行波解、爆破解及解的渐进行为等问题进行了研究[6-10].本文基于上述研究，研究了CSLL方程自对偶情况下的静态解，并通过计算证明了CSLL方程具有能量守恒和规范不变的性质.

1 主要结果及其证明

定理1假设A1= 0，则自对偶方程(5)和方程(6)有显式静态解：

其中C、C1和C2都是常数，且满足关系C1=kC2.

证明首先假设自对偶方程(5)的静态解的形式为：

φ(t,x)=(φ1(x),φ2(x),φ3(x)),N(t,x)=N(x).

(7)

则当A1= 0时，由式(3)有0=〈n×φ,D1φ〉=〈n×φ, ∂1φ+A1(n×φ)〉=〈n×φ, ∂1φ〉.将方程(5)两端与向量n×φ做内积可得：

0=〈n×φ, ∂1φ〉+A1〈n×φ,n×φ〉+N〈n×φ,φ×(n×φ)〉=

由上式可知假设A1= 0是合理的.将A1= 0代入方程(5)可得：

D1φ+Nφ×(n×φ)= ∂1φ+N(n-φ〈n,φ〉)= ∂1φ+N(n-φ3φ).

根据上式可将方程(5)和方程(6)化简为如下形式：

φ′1-Nφ1φ3=0,

(8)

φ′2-Nφ2φ3=0,

(9)

(10)

N′=τ-φ3.

(11)

显然，求解上述方程组的关键是求解φ3(x).假设：

(12)

(13)

(ln (1+ρ)2+(τ-1)lnρ)′.

将上式左右两端同时积分并整理后可得：

(14)

(15)

同理可得：

由于导数表示变化率，因此结合上述两个极限可知：

(16)

再由方程(8)和方程(9)可知φ1和φ2满足φ1=kφ2，因此C1=kC2.定理1得证.

定理2若A0=φ3-τ, 则方程(5)和方程(6)的静态解φ=(φ1(x),φ2(x),φ3(x)),N=N(x)是系统(1)—(4)的解.

证明根据方程(5)可知D1φ=-Nφ×(n×φ)=-Nn+Nφ3φ, 由此得n×D1φ=n×(-Nn+Nφ3φ)=Nφ3(n×φ).又因为Dα(φ×ψ)=(Dαφ×ψ)+(φ×Dαψ), 所以有：

φ×D1D1φ=D1(φ×D1φ)=D1(φ×(-Nn+Nφ3φ))=D1(N(n×φ)).

2 性质

性质1系统(1)— (4)有如下守恒能量：

(17)

证明首先将方程(1)与φ做外积，然后再与D0φ做内积，则方程(1)可化简为

0=〈φ×(φ×D1D1φ),D0φ〉-N2φ3〈φ×(n×φ),D0φ〉-

V′(τ-n·φ)〈φ×(n×φ),D0φ〉=〈φ,D0φ〉〈φ,D1D1φ〉-〈D1D1φ,D0φ〉-

根据共轭导数的定义可得〈n,D0φ〉=〈n, ∂0φ〉+A0〈n,n×φ〉= ∂0φ3，〈φ,D0φ〉=0, 因此上式可化简为0=-〈D1D1φ,D0φ〉-N2φ3∂0φ3-V′(τ-φ3)∂0φ3.利用公式DαDβφ=DβDαφ+Fα β(n×φ)及∂α〈φ,ψ〉=〈Dαφ,ψ〉+〈φ,Dαψ〉对上式进行计算可得：

将上式两端同时在R上积分可得：

因此系统(1)—(4)有如式(17)的守恒能量.

性质2系统(1)—(4)在如下规范变化下保持不变:

(18)

其中z=φ1+iφ2，函数χ∈C∞(R1 + 1).