经历实验探索过程，积累基本活动经验
——以《圆锥的体积》一课的教学为例

□张冬萍

从《义务教育数学课程标准（2011 年版）》到《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，课程总目标都强调：“获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”其中“基本活动经验”的要求，进一步丰富了数学教育的内涵。所谓“基本活动经验”就是在数学目标的指引下，通过对具体的事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识（张奠宙，2008）。基本活动经验的积累过程是学生主动探索的过程。学生有了这样的基本活动经验，可以加深对数学知识的理解，发展创新意识，提高综合运用能力。

在现行的小学数学教材中，有不少的教学内容需要学生经历这种实验探究过程，以实现积累“基本活动经验”的目标。如在《圆锥的体积》公式推导教学中，教师通常会带领学生简单开展操作、验证的活动，即用圆锥装沙三次，倒入与它等底等高的圆柱中，正好装满，所以圆锥体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。这样的教学存在以下问题。

问题一：圆锥体积的大小究竟与哪些因素有关？学生并不清楚，只是简单套用公式。

问题二：为什么要“等底等高”，学生并不理解，只能硬记。

问题三：从实验研究角度看，没有体现“因变量”与“自变量”之间的关系，缺乏过程体验，缺乏用多种路径来推导体积计算方法，影响学生探究能力、应用能力的发展。

在小学数学实验教学中，如何让学生经历实验探究过程呢？下面以《圆锥的体积》公式推导为例，谈一谈实验教学的过程及其教学要点。

一、在猜想、观察、比较中，体会影响圆锥体积大小的因素

通过“观察—猜想—比较”的学习过程，将两组不同的对象进行比较，发现圆锥体积与高、底面积两个因素有关。

【教学片段】

师（出示各种大小不一的圆锥）：圆锥的体积有大有小，请大家猜想一下，圆锥体积的大小与什么有关？（生答）

师：观察下列各组圆锥（分组出示），它们之间有什么联系？每组中的圆锥哪个体积大？哪个体积小？圆锥体积的大小与什么因素有关？（如图1、图2）

图1

学生通过观察、比较，发现第1组（如图1）中的三个圆锥，它们的高相等，底面积大小不同，底面积越大，体积也越大，从中体会圆锥体积的大小与底面积大小有关。通过观察、比较第2 组（如图2）中的三个圆锥，它们的底面积大小相同，高不同，高越长，圆锥的体积也越大，进一步体会到圆锥体积的大小与它的高有关。通过这样的观察、比较，学生自主发现影响圆锥体积大小的因素是底面积与高。

【教学思考】

通过“高相等底不等”“底相等高不等”两组圆锥实物的观察、比较，学生能自主发现影响圆锥体积大小的因素是圆锥的底与高，为后续研究“圆锥的体积与它的底、高有什么关系”“为什么要等底等高”打下基础。同时在这一过程中，通过控制两个变量，进一步掌握实验探究的基本方法，提高实验探究的技能。

二、在实验、交流、讨论中，理解体积计算方法

学生通过选择不同的实验，发现虽然过程各不相同，但得到的结论是一样的。在交流、讨论中感悟推导的道理。

【教学片段】

1.引导实验，运用实验结果推导计算方法

圆锥底面积大小、高的长短是决定体积大小的因素，那么它们之间有什么关系呢？或者说怎样通过底面积、高求出圆锥的体积呢？教师请每个小组选择5 个圆锥中的一个或几个，以及对应圆柱，通过实验的方法推导出圆锥体积计算的公式。

实验提示：（1）把你所选的圆锥底面半径看作r，圆锥高看作h，对应比较的圆柱，圆柱的底面半径用含有r 的式子表示，圆柱的高用含有h 的式子表示。

（2）这5个圆锥体积计算方法推导的难度是不同的。

☆：①号 ☆☆：③⑤号 ☆☆☆：②④号

（3）在所选的圆锥中装满沙子，再倒入圆柱体中，根据倒的次数，推导出圆锥体积计算公式。

学生实验推导过程与方法。

方法1：用①号圆锥装满沙子，倒入圆柱容器，正好三次注满。通过实验发现，所选圆锥体积是这个圆柱体积的三分之一，所选的圆锥与圆柱正好是等底等高（如图3）。

图2

方法2：用③号圆锥装满沙子，倒入圆柱容器，正好可以注满3 个圆柱容器。所选圆锥是这个圆柱体积的3倍（如图4）。

图3

图4

方法3：用⑤号圆锥装满沙子，倒入圆柱容器，正好一次就将圆柱注满。所选圆锥的体积正好是这个圆柱的体积（如图5）。

图5

方法5：用④号圆锥装满沙子，倒入圆柱容器，一次能注满圆柱容器的，或者3 次能注满2 个圆柱容器。所选圆锥的体积是这个圆柱体积的（如图7）。

图6

图7

关系表示

2.反馈交流中讨论

在学生的反馈交流中，教师适时追问：“画框部分是依据什么得到的？”使得学生进一步明确依据实验结果进行推导的道理。

最后归纳得出：圆锥体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

【教学思考】

1.星级导学，激发学生的实验探究热情

用5 组不同的圆锥来推导体积计算方法，难度各不相同，其中用①号图推导最简单，也是最基本的，②④号最难。不同难度层次的实验探究材料，能满足不同认知水平学生的需求。笔者在一次教学实践中，将全班分成10 个四人小组，让学生自主选择实验探究材料，有5 组学生选用①号图，3 组学生选用③号图或⑤号图，有2 组学生运用②号图或④号图，每个组都推导出圆锥体积计算公式，其中有一个组在选用①号图完成任务后，又用④号图实验推导出计算公式。每个组都经历了实验、推导的过程，使不同的学生有不同的发展，并通过交流反馈，共享其他组的研究成果，开阔了学生探究视野。

2.架设脚手架，为学生顺利探究铺路

三条实验探究的提示语，尤其是第一条“把你选的圆锥底面半径看作r，圆锥高看作h，对应比较的圆柱，圆柱的底面半径用含有r的式子、表示圆柱的高用含有h的式子表示。”利用这样的提示，学生可以减少实验探究的盲目性，能成功地推导出体积计算公式，使得实验探究过程更有效。

3.实验过程交流，开拓学生探究视野

通过实验探究过程的反馈交流，学生不仅展示了自己的研究成果，获得了成功的喜悦，而且在聆听其他同学的研究成果中，感悟到解决同一问题可以用不同的方式，真是“条条大路通罗马”。无论用哪种方式，在推导计算方法时都要依据实验结果，并与底面积、高建立联系，进而推导出圆锥体积计算公式。

4.适时讨论，加深对圆锥与圆柱关系的理解

在学生反馈中，教师追问“画框部分是依据什么得到的”，使得学生进一步明确依据实验结果进行推导的道理，并依据实验结果，将体积与底面半径、高建立联系，进而得到圆锥体积的计算公式。

在对“这个公式中的πr2h 表示的是什么”并结合图式进行解释的过程中，学生认识到每一种推导方法中的“πr2h”都是对应的与所选的圆锥等底等高的圆柱体积，加深了对“等底等高”必要性的理解。

三、反思过程与方法，感悟数学思想，提高解决问题能力

实验探究活动结束后，教师应及时引导学生对探究过程、探究方法进行梳理。学生能在反思过程中，积累基本活动经验，感悟数学思想。

【教学片段】

师：想一想，刚才是如何运用实验探究推导出圆锥体积的计算公式的？

生：猜想圆锥体积大小与什么有关，观察实物，验证猜想。

生：通过倒沙子实验操作，看一看所选的圆锥要几次才能把圆柱容器注满。

生：用实验结果来推导出计算公式。

师：在推导圆锥体积计算公式时，要借助于什么物体来推导？

生：圆柱体。

师：推导圆锥体积公式我们都借助于圆柱，圆柱体积是我们已学的、已知的，把未知的圆锥转化为已知的圆柱来找到计算体积的方法，这是我们数学中常用的思维方式——化归思想，就是把新的内容转化为已经学过的内容。在以后的学习中如果遇到新的内容无法解决时，就可以试着转化为以前学过的内容，这样往往就可以找到解决问题的途径。

【教学思考】

在实验探究教学中，有不少教师认为，当要探究的问题得到解决后，探究过程也就结束了，紧接着的就是应用探究结果解决问题。殊不知，对探究过程、探究方法的反思是积累基本活动经验的重要途径。本课中，当学生得出结论后，教师引导学生反思“想一想，刚才是如何运用实验方法推导出圆锥体积的计算公式的”，通过梳理探究过程与方法，让学生进一步体会到探究中常常要对探究对象作出猜想，要通过实验、推理、验证等思维过程，判断猜想是否正确，要依据实验结果推导计算公式，运用化归思想将未知的转化为已知的，新内容转化为已学内容。对于学生而言，经历了这些过程，获得了一些实验的经验，通过反思，逐渐积淀了一些比知识更为重要的数学思想，对今后的学习、工作都能起到积极的作用。

经验来自于经历，在实验探究教学中，教师应多设计一些让学生亲身经历探究过程的环节，学生在猜想、验证、推理、交流中积累数学的基本活动经验，在教师追问中引发学生讨论，充分理解数学的知识与方法，在引导反思探究过程中掌握一些基本的数学思想，坚持这样做，“四基”的目标要求才能落到实处，才能真正发展学生解决问题的能力。