利用有限振动响应快速反演时变荷载的方法与试验

项子儒， 王 轶， 钱王苹， 顾镇媛

(1.南通大学 交通与土木工程学院，江苏 南通 226019；2.暨南大学 重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广州 510632)

2019年10月，江苏省无锡312国道锡港路上跨桥路段高架桥因严重超载发生桥面侧翻事故，造成了巨大的人员与经济损失[1]，车辆超载对桥梁健康的威胁被再一次摆在聚光灯下。我国交通体系经过飞速的发展和壮大，多数桥梁的使用寿命已进入中龄，其承载能力不可避免地降低，超重荷载时刻挑战着桥梁结构的安全性。自国家提出“十三五”战略以来，我国的桥梁建设已从“建设为主”逐渐向“建养并重”转型[2]。移动荷载是影响桥梁使用寿命的主要因素之一，对其准确的监测与识别是提供“养桥”的依据，更是预防灾难性事故的关键。

实际工程中，多数桥梁采用动态称重设备采集车辆质量，然而这种设备的安装与养护费用较高，且需要预安装于调查路段上，具有很大的局限性。事实上，移动车辆对桥梁的真实荷载是自身车重与车-桥梁耦合力的叠加，仅将车重作为移动荷载会产生较大的误差。因而针对移动荷载识别(moving force identification，MFI)的研究更倾向于利用动荷载作用下结构响应，反演车辆与桥梁接触面的相互作用力。自19世纪70年代起，MFI经过快速的发展，已积累的不少的研究成果。目前较成熟的方法主要包括一类解析法、二类解析法、时域法和频时域法[3]。后两类的基本思想是通过计算实测的结构响应和提前获取的系统脉冲响应函数的反卷积计算荷载，也就是所谓的反卷积方法。反卷积法以其形式简单、可灵活采用时域和频域内分析的特点应用较广泛。然该方法归根结底是反问题的线性方程求解，无法避免求解的病态性：若测量噪声大、初始条件不准可引起系统矩阵(脉冲响应矩阵)奇异性，导致求解失败；若测量时间长、频率高，则系统矩阵维度巨大，计算耗时明显，难以实现动态监控。

在约束反问题病态性方面，常用方法为正则化方法，即在原识别问题中引入合理的附加约束，从而达到改良问题病态性的目的。常用正则化有：Tikhonov正则化[4]、稀疏正则化[5-6]和基函数展开法[7]等。其中，稀疏正则化识别法是目前相关研究的前沿热点，其在应用时会充分考虑荷载属性在某种特定情况下的稀疏性。Bao等[8]考虑荷载的稀疏性分布，利用斜拉桥索力识别移动重载。Pan等[9]考虑荷载时程信号的多域稀疏性，结合冗余字典识别了简支梁上移动荷载。应用正则化法的优势在于能抑制噪声的影响，获取稳定的识别结果；而其劣势在于需要在求解过程中加入正则化流程，增加识别成本。另一个思路是利用函数逼近方法，构造连续平滑的函数如三角函数、幂函数、小波函数等[10]代替单位脉冲函数，从而削减奇异值。其中张青霞等[11]提出梁单元形函数的概念，利用有限元理论中的形函数概念逼近动态荷载曲线，从而把识别未知荷载的时间历程转变为识别数目有限的形函数系数，在削减奇异值的同时降低了系统矩阵维度，提高反演效率；该研究利用数值仿真探讨了形函数对三角荷载、冲击荷载等周期性荷载的拟合与识别，均得到较好的结果。王蕾等[12]通过数值模拟，使用荷载形函数(load shape function，LSF)识别了大跨桥梁结构上的移动荷载。作者将该方法结合于移动荷载与预应力的协同识别[13]计算中，不仅得到较高的噪声鲁棒性，且成功将计算效率提升数倍。

然而该方法在建立LSF响应矩阵时需计算桥梁与荷载各接触点的脉冲响应，运算成本巨大。本文在现有研究基础上，定义新的构造矩阵提取传统LSF响应矩阵中的有效元素，进一步降低识别成本；其次利用数值模拟分析该改进方法应用于简支梁桥MFI问题的优势；最终通过试验模型验证本方法的识别准确性、时效性以及对噪声的鲁棒性。

1 时变荷载识别

1.1 时域反卷积法

本文将桥梁结构考虑为线性系统。对于受连续力激励的系统，如其初始状态为零，其振动响应可利用杜哈梅尔积分，由激振力与相应的单位脉冲响应函数积分求得

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对式(1)进行离散化处理，进一步推导出多激励作用下多测点响应矩阵

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1.2 构造LSF响应矩阵

引用LSF能有效抑制上述两种问题的影响。该方法将激励荷载的时程信号比拟为一跨“有限元梁”，并划分为若干单元，利用每个单元的形函数拟合“梁”的位移，即荷载信号的幅值

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将式(4)代入式(2)，将未知外荷载的识别转化为拟合系数的识别问题，

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图1 系统矩阵元素分布进化Fig.1 The evolution of system matrix

2 移动荷载识别的数值仿真

本章采用数值模拟展示构造LSF方法在矩形截面简支梁上识别单个移动荷载的表现。

2.1 案例设计

本算例根据Lu等[14]的研究设置了一跨20 m长的矩形截面简支梁，其截面惯性矩为0.372 m4，材料的杨氏模量、密度与泊松比分别为3.45×104MPa，2.3×103kg/m3和0.2。在梁的1/2和3/4跨底面设置了2个动挠度响应输出点，输出频率为200 Hz。移动荷载P(t)=2×[30+2 sin(10πt)+4 cos(15πt)+cos(3πt+0.2π)]kN沿纵轴线从左至右驶过桥面(见图2)。仿真数据均由有限元软件ANSYS19.0计算获得。

图2 仿真模型示意图(m)Fig.2 Simulation test model(m)

以测量噪声、车速、响应数量为主要考虑因素设置相应工况。其中测量噪声以白噪声模拟

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2.2 构造LSF拟合过程

设定LSF的频率fLSF[13]为

(9)

式中：fs为采样频率；l为LSF的单元步长，即“梁”每个单元的长度。该步长与“梁”的单元数m存在以下关系

T=l×m

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为能准确逼近荷载，要求fLSF不小于荷载的最高分析频率。对于未知荷载而言，由于线性结构的响应线性依赖于外荷载，因此fLSF的确定可以通过对结构实测响应的频谱分析决定。

图3 1/2跨动挠度响应的傅里叶变换Fig.3 Fourier transform of mid-span deflection

2.3 识别结果分析

图4展示了各工况MFI的结果。其中图4(a)～图4(c)分别显示当移动荷载速度为13.3 m/s时，通过1/2跨、3/4跨动挠度与双动挠度响应识别的结果，图4(d)～图4(f)则显示了移动荷载速度为22.2 m/s时的识别结果。为了更清楚的对比识别结果的精度，定义相对误差(relevant percentage error, RPE),结果如表1。

(11)

表1 移动荷载识别结果的相对误差Tab.1 RPE of MFI results

整体上，所有工况中的移动荷载都被识别，最高误差不超过10%，符合实际工程需求。在不对式(7)使用正则化约束的情况下，即使响应中存在20%的大噪声，求解依然没有出现病态，验证了构造LSF方法在消除反卷积法求逆病态问题的优势。

(1)响应位置对识别结果的影响

对比图4(a)、图4(b)和对应RPE，可以发现不同位置响应对于识别精度影响不大，其RPE稳定在5.5%～8.5%。证明该方法在识别过程中对测点位置并无要求，于实际应用中，可选择相对简便的位置进行布测，大幅度的提高了方法的灵活性。分析图4(c)则显示使用多个响应进行识别时，在无噪声工况下对精度影响不明显；随着噪声的引入，其对精度有提升。由理论分析可看出只要保证测点数量不小于待测未知量数即可保证识别的稳定，在具体工程中，可根据精度要求和计算成本酌情考虑测点的数量，需要注意的是各测点独立性，保证响应数据不相关。

图4 移动荷载识别结果Fig.4 MFI results

(2)移动荷载速度对识别结果的影响

整体上，各工况识别时程的开始阶段(0～0.2 s)均出现了较大误差，究其原因是由车-桥耦合振动不稳定引起的[15-16]。分析RPE可发现，高速荷载的识别精度明显低于低速荷载，其误差增加了1%～2%，在噪声较大时尤为明显。深入分析发现，随着车速增长，识别时长缩短，而首端不稳定振动区间变化不大，其产生的大误差在整体误差中占比提升，从而导致整体识别精度的下降。考虑到实际应用中，识别时间相对较长，识别的误差将控制在可接受的范围内。

(3)噪声对识别结果的影响

观察图4(a)～图4(c)，在低速工况中，不同的噪声小幅度地影响识别峰值的准确度，对整体线型影响可忽略不计。而在高速工况中(图4(d)～图4(f))，虽然成功识别线型，但在大噪声下识别的峰值出现较明显的误差。特别地，当测量噪声为20%时，高速工况(见图4(d)～图4(f))的末端已经出现因误差累计产生的线型畸变，由此产生了较大的RPE。不仅如此，在高速工况中，识别结果有小幅度的相位延迟，其原因在于有限元软件计算构造LSF矩阵时有一定延迟，可通过减小求解荷载步在一定程度上消除，进一步减小误差。

3 试验验证

本章展示了两个试验结果，分别验证本方法在集中荷载与移动荷载识别中的应用。试验①建造了一跨混凝土箱梁模型并利用液压千斤顶在跨中施加一个集中的时变荷载；试验②利用亚克力板建造了一跨小型箱梁，利用模型车施加了一个移动荷载。两个试验均通过模态试验建立目标桥梁的有限元模型，然后计算构造LSF矩阵，最后通过少量测量响应完成荷载识别。

3.1 集中荷载识别的试验验证

依据文献[17-18]的研究，本文设计了印度Mass Rapid Transit System Bridge的1/6比例模型，其跨度为6 m，截面尺寸如图5(a)所示，成型结构如图5(b)；使用Moog液压系统在跨中施加固定时变荷载(见图5(c))；在1/2跨、3/4跨布置了两个TML CDP-50位移计(见图5(d))，并在5/16跨、7/16跨位置布置了两个TML PL-60-11应变片(见图5(e))；数据由Ni DAQ系统(见图5(f))与LabVIEW软件同步采集，采样频率为1 000 Hz。

图5 试验①模型及设备Fig.5 Lab test ① model and equipment

如2.2节所述，构造LSF矩阵一般由结构的有限元模型计算，需要先对试验模型进行有限元模型修正。首先使用柱件压缩测试与回弹仪测试，依据AS3600-2009[19]测定结构混凝土的真实杨氏模量如表2所示。

表2 混凝土材料参数修正Tab.2 Correction of concrete material properties

随后进行环境振动测试(operational modal analysis, OMA)，使用锤击模拟随机环境激励，通过ARTeMIS模态测试软件提取模型的频率与模态[20]，使用响应面方法进行有限元模型修正[21]。表3对比了实测频率与模型计算频率，可以看出模型的前3阶模态均能较好的吻合试验模型的实测值。虽然第4阶、第6阶模态在模拟中并未识别，但实际工程中，结构响应以前3阶模态分析为主，该模型可满足要求。

表3 试验①的有限元模型参数修正Tab.3 FE model updating of test ①

3.2 集中荷载识别结果与分析

本试验中，施加于跨中的时变集中荷载信号和对应的响应信号如图6所示。荷载分为线性加载，循环荷载和线性减载3个阶段，加载时长共53 s。响应信号为1/2,3/4跨的竖向位移和5/16，7/16跨的轴向应变。注意响应信号经过静力加载标定，不计梁初始挠度与应变。

步骤1依据试验工况，在有限元模型的跨中位置施加单位脉冲激励，获取1/2,3/4跨动挠度的脉冲响应与5/16,7/16跨轴向应变的脉冲响应。

从图7可以看出，各工况识别结果与真实荷载有较高的吻合度，说明所提方法能有效地识别未知荷载。

在第一阶段的线性加载中，通过动挠度和应变响应均能有效识别荷载。但同数值仿真案例一样，在识别初期出现了由于振动不稳定产生的大误差问题，尤其体现在应变识别结果中(见图7(c))。

在第二阶段的循环荷载中，观察图7(a)和图7(b)可发现，由1/2跨动挠度识别的结果在波峰处吻合度较高，而在波谷处有一定误差，将响应数量增加为2个后，波谷处识别准确度有一定提高。而对比图7(c)和图7(d)可以发现，由单个应变信号识别结果会因残留应力累积而导致识别值出现增大的趋势。而增加响应数量可以有效抑制该趋势，并提高峰值的吻合度。

在第三阶段的线性减载中，使用单个响应的工况(见图7(a)和图7(c))均因误差累积而出现较明显的差距，而使用双响应的工况吻合度则较高，进一步说明使用多个响应进行识别能有效抑制累积误差。

图6 激励与响应信号Fig.6 Excitation and responses signals

图7 集中荷载识别结果Fig.7 Point load identification results

表4 记录了不同工况下识别结果的相对误差与运算效率，所采用的计算环境为：便携式计算机，4 CPU：Intel(R) Core(TM) i7-4720HQ@2.60 GHz，RAM：8 G，MATLAB version：R2016b。运算效率采用计算耗时与加载时长的比值表述。

表4 各工况识别结果相对误差与运算效率Tab.4 RPE and computational efficiency

表4可看出，以动挠度响应反演的结果较应变响应更加准确。这是由于箱梁截面变形不同步，布于底板应变片捕捉的局部应变与梁体整体变形差距导致的，而竖向动挠度受该影响较小，因此能得到较高精度的结果，以双动挠度响应反演工况为例，其精度可达到10%左右，已经满足相关行业标准对车辆荷载监测的精度要求[22]。

在运算效率方面，主要CPU耗时发生在求解反卷积方程中，其效率与系统矩阵大小正相关。以单个响应反演工况为例，传统反卷积法(见式(3))的系统矩阵维度高达(53 000×53 000)；引入了构造LSF矩阵(见式(7))后的系统矩阵维度仅为(53 000×1 062)，减少了50多倍。

3.3 移动荷载识别的试验验证

该试验模型是由亚克力板制成的单箱单室简支梁，主跨为3 m，两端分别配置3 m的引桥与1 m的缓冲板，其整体布置如图8(a)所示，截面如图8(b)所示。主梁沿线均匀分布9块横隔板，提高了梁的整体性和延性，支座采用橡胶支座。桥梁的单位长度密度为4.383 3 kg/m，抗弯刚度为3 550 N·m2。使用电动越野车模拟移动荷载，其动力由自身马达提供。小车的等效荷载为18.13 kN(见图8(c))。梁跨中部位设置120-3AA型电阻应变片，测量跨中应变；在桥头、中、尾部架设3个L形框架，其横梁上各布置一个测速应变片，如图8(d)，通过记录小车触碰应变片的时间间隔来计算小车速度。

车辆在引桥上加速，然后以相对恒定的速度通过桥梁。在梁的上表面安装了两个轻质泡沫导轨，以防止移动的车辆坠落。信号由INV3060V(2)型智能信号采集处理分析仪收集，采样频率为2 048 Hz。

图8 试验②模型及设备Fig.8 Lab test ② model and equipment

模型同样使用OMA进行模态特征采集与模型修正，前4阶的模型修正结果如表5。

表5 试验②的模型修正Tab.5 Model updating of test ②

3.4 移动荷载识别结果与分析

模型小车在通过桥梁时，其速度由3个测速应变片的响应时差确定。如图9所示，选择各应变片的最大响应作为标尺。需要说明的是，①本工况假定车辆以恒定速度穿过测试梁；②该方法测出的时差是前车轴驶入、驶出桥梁的时差，而本文将小车作为一个等效移动荷载进行识别，并未考虑前后轴区别，所以存在一定误差，在以后的研究中将进行优化。由响应时差计算出的车速为2.87 m/s，同时确定车上、下桥的时间点为3.521 s和4.565 s，取识别时间为3.6～4.6 s。相应时间内的跨中应变响应如图10所示，识别结果如图11所示。

图9 测速应变片的触发时间Fig.9 Strain gauge active time

图10 跨中应变响应Fig.10 Strain response of mid-span

图11 移动荷载识别结果Fig.11 Moving force identification result

通过图11可知，本方法识别出的是车辆与桥面的瞬时接触力，幅值与车辆的等效荷载相当。由于本工况在计算中并未考虑车辆的轴重，而是将其等效为一个移动荷载进行识别，所以在车辆上、下桥的时段，由于前后轴分别位于主桥与引桥上，其接触力产生了较大变化，导致识别失败；但车辆全部位于主桥时，识别的结果还是较为满意的。

4 结 论

针对既有反卷积法识别移动荷载过程中耗时长、奇异性大的问题，本文提出了引入构造LSF的MFI改进方法。该方法使用有限个数的构造LSF，将反卷积方程中的脉冲响应矩阵拟合为较平滑的类对角矩阵，同步减少了矩阵的维度和奇异性，大幅度提升了识别效率和鲁棒性。采用数值仿真与模型试验共同验证所提方法的有效性，综合全文所得主要结论如下：

(1)利用构造LSF可提升反卷积法对噪声的鲁棒性，从而省略正则化流程。在数值仿真中，即使附加20%的白噪声，该方法仍能保障识别稳定性,并保持较高的精度。

(2)所提方法仅用1～2个响应信号即能较为准确地识别时变荷载。在模型试验①中，针对加载时间长、激励类型复杂的集中荷载，使用单个响应信号即可得到较好的结果，增加响应个数可提升精度，但对比运算量的增加，收益不高。基于动挠度响应反演的精度可保持10%左右，与压电薄膜型车辆称重系统误差持平，但本方法成本不超过称重系统的10%，有优秀的应用前景。

(3)在模型试验②中，该方法能有效地识别2轴移动小车的等效荷载，但是在车辆上、下桥时由于前后轴与主桥接触力的剧烈变化导致识别失效，在将来的研究中需要针对此问题进行进一步地探讨。

Vol．41 No．12 2022

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