初等数论知识在小学数学中的渗透

赵 艳，李凤清

（1.蓬溪县实验小学，四川 蓬溪 629100；2.四川职业技术学院 教师教育学院，四川 遂宁 629000）

初等数论主要研究整数的性质与规律，与小学数学知识有着密切的联系。初等数论知识中的整数、整除、数的整除特征、素数、最大公因数、最小公倍数等知识既让学生增强对整数性质的了解，又为分数等知识的进一步学习奠基，还增强学生对数学史以及数论方面的数学家的了解，培育数学文化，激发学生的学习兴趣。如何以小学数学教材中“数的整除”一章中所展现知识内容为主导，找点发挥延伸，训练学生解决问题的能力，渗透初等数论的初步知识与思想方法，下面我们从几个方面以案例说明。

一、突出整数以及整除特性，结合一些运算性质解决问题

初等数论是研究整数的性质与规律，而小学数学中，有很多的整数问题，如人的个数、鸡的只数、分数的分子分母等皆为整数，突出整数特性，以及整除的概念。合理结合相关数学知识来解决问题，可以培养学生正确认识整数问题，提高解决整数问题的能力。

案例1在下面的括号里填上最简分数，使下面式子成立。

案例3 将数1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数分别填在九宫格的九个格中，使每行、每列、两条对角线上三个数的和都相等。

分析：因为每行三个数之和相等，那么三行九个数之和就等于1,2,3,4,5,6,7,8,9 之和45，那么每行之和就为45÷3 = 15，故每列三个数之和与对角线三个数之和均为15。

由于第二行、第二列、主对角线、次对角线之12 个数之和就为15×4 = 60，这12 个数至少包含1,2,3,4,5,6,7,8,9，而1,2,3,4,5,6,7,8,9 之和为45，还多出60 - 45 = 15，显然是由于最中间格多算了3 次，故中间格填的数为15÷3 = 5。

1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数中，其和等于15的三个数中若包含1，只有1,5,9 与1,6,8 两种情形，故1 只能填边不能填角，则可以填出：

由此运用（行、列、对角线）三个数之和为15即可以填出其余四个格中的数。

上面表格常被称为河洛图，又叫“河图洛书”，是关于中国古代文明的著名传说。六七千年前，龙马跃出黄河，身负河图；神龟浮出洛水，背呈洛书。伏羲根据河图洛书绘制了八卦。之后大禹治水，河伯献河图，宓妃献洛书，使得大禹终于战胜洪水[1-3]。

案例3 运用整数的运算特性，抓住中间格这个关键与1 的位置，顺利解决了问题，还对学生渗透中华传统文化。

案例4法国数学家费马发现F0= 220+ 1 = 3，F1= 221+ 1 = 5，F2= 222+ 1 = 17，F3= 223+ 1 =257，F4= 224+ 1 = 65537 都是素数，因为第5 个数F5= 225+ 1 = 232+ 1 实在太大了，费马认为这个数还是素数，于是在1640 年提出了以下猜想：形如Fn= 22n+ 1 的数都是素数。后来人们就把形如22n+ 1 的数叫费马数，很多人甚至将22n+ 1 称为素数公式。大约过了92 年，即1732 年，伟大的数学家欧拉算出F5= 641×6700417，也就是说F5不是素数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式，让人们在寻求素数公式的追求中受到一次沉重地打击。

其实，我们知道

216= 211×25= 2048×32 =(641×3 + 125)×32 = 641×96 + 4000 = 641×102 + 154，那 么216除 以641 余154，那么232除以641 就 与1542除以641 的余数相同，由于1542= 23716，而23716 除以641 余640，故232除以641 就余640，故232+ 1 就能被641 整除，故F5是一个合数，不是素数。

二、明确数的整除特征，渗透初等数论中同余的思想

运用整数的奇偶特征与性质，如奇数不等于偶数，奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和为偶数等等来解决一些问题，就可以转繁为简，突出本质。

案例536 口缸，九只船来装，装单不装双，试试怎么装？

该题中，九个奇数的和为奇数，而36 为偶数，由于奇数不等于偶数，因此不存在符合条件的方案。（民间把36 口缸偷换成三石六口缸而成为有解题目）

案例6某次展览为一个5×5 的方形展区，含一个门厅与24 个展室，如下图，每相邻两个展室均有门可通，参观者须从门厅开始到各展室观看展览，之后从门厅出去。请问是否存在一条路径，不重复不遗漏地观看完24 个展室。

分析 我们将24 个展室标记为奇展室与偶展室两类，如下图：

那么参观者只能从奇展室到偶展室，或者从偶展室到奇展室，其路线必然是：

奇→偶→奇→偶→奇→偶…，则应该12 个奇与12 个偶，而图中有13 个奇，11 个偶，故这样的路径是不存在的。

我们运用奇偶分类，巧妙解决问题，对培养学生思维的深刻性很有帮助。

学生理解能被2、5 整除的数的特征，我们还要讲清道理，是任何一个整数N总可以分解成若干个10 加上个位数，即N= 10a+b，由于10a能被2、5 整除，那么当个位能被2、5 整除时，当然N就能被2、5 整除。

我们可以将上面这个知识点延伸[4]，得到：

N除以2（或5）余几，关键看N的个位，个位上的数除以2（或5）余几，那么N除以2（或5）就余几。

继续延伸：

N除以4（或25）余几，关键看N的后两位，后两位上的数除以4（或25）余几，那么N除以4（或25）就余几。

N除以8（或125）余几，关键看N的后三位，后三位上的数除以8（或125）余几，那么N除以8（或125）就余几。

（我们可以把这类性质称为整除特征的响尾蛇特性）

大家知道9,99,999,9999,…,能被3（或9）整除，把这些数加上1，再除以3（或9）就该余1，因此10,100,1000,10000,…,等数除以3（或9）就该余1，那么我们就知道最高位是a，后面各位均为0 的整数除以3（或9）就该余a，如423 除以9 就转化为400 + 20 + 3 除以9，400 除以9 余数就为4，20 除以9 就余2，3 除以9 就余3，故423 除以9 的余数就为4 + 2 + 3，即能被9 整除。

案例7将1，2，3，…，9 这九个数字分别填进下面九个空中，使等式成立。

将符合条件的所填三个三位数相加，即□□□+□□□+□□□，易知这可拆分成（□+□+□）×100+（□+□+□）×10+（□+□+□），可知它除以9 后的余数与（□+□+□）×1+（□+□+□）×1+（□+□+□）除以9 的余数相同，而（□+□+□）×1+（□+□+□）×1+（□+□+□）等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，能够被9 整除，可见□□□+□□□+□□□能被9 整除，而□□□+□□□+□□□为和□□□的两倍，它能被9 整除，那么和□□□能被9 整除（易知和这个三位数□□□的百十个三个位置上的数加起来为18。）。

例如，取和为918，则□□□+□□□=918，即可迅速填出243+675=918，645+273=918 等答案。依此方法我们可以得出所有的正确答案。

同余是初等数论中的重要概念，利用同余的思想方法来解决问题常常事倍功半。

设a为一位数，由于1、100、10000、1000000 这样 的 数 除 以11 均 余1，那 么a,a×100,a×10000,a×1000000,…这样的数除以11 的余数为a；设b为一位数，由于10、1000、100000、10000000这 样 的 数 除 以11 均 余10，那 么b×10,b×1000,b×100000,b×10000000,… 这样的数除以11 的余数为10b，总体特征为：一个整数去掉末尾偶数个零，除以11 后的余数不变。如求239674 除以11 余多少，就是(200000 + 30000 + 9000 +600 + 70 + 4)÷11 余多少，那么就等价于(20 +3+ 90 + 6 + 70 + 4)÷11 余多少，就是193÷11 余多少，即得余数为6。

还可以给小学生介绍1001 这个有趣的数，《一千零一夜》是1001 个美丽的童话，可以七个为一组，也可以十一个为一组，也可以十三个为一组，也就是1001 = 7×11×13，说明1001 可以被7或11 或13 整除，我们把六位数239674 分解为239×1000 + 674，再将它转化为与1001 有关系的式 子 239×1001 + 674 - 239 = 239×1001 + 435，故：

239674÷11 的余数与435÷11 的余数相同；

239674÷7 的余数与435÷7 的余数相同；

239674÷13 的余数与435÷13 的余数相同；

这样就把一个六位数求余数的问题转化为三位数求余数问题，化繁为简，解决问题。

按西方人的三位分节标注多位整数，如将123789668 这个数标注为123，789，668，这样就可以得到三个三位数123，789，668，由于123000000=123000×1001-123000，即可变形为123000×1001-123×1001+123，故123000000 除以7 或11 或13 的余数与123 除以7 或11 或13 的余数相同，由上可知789668 除 以7 或11 或13 与668-789 除 以7 或11或13 的 余数相同，故123789668 除 以7 或11 或13的余数就与123-789+668 除以7 或11 或13 的余数相同，即余数为2。

并且我们还可以进一步总结出下面结论：

一个多位数N按三位分节，把最末一节的三位数记为N1，倒数第二节的三位数为N2，倒数第三节的三位数为N3，…，那么N除以7 或11 或13与N1-N2+N3-N4+ …除以7 或11 或13 的余 数相同。

三、发掘教材内容，渗透两个数的最大公约数、最小公倍数的简单性质

教材中求两个数的最大公约数与最小公倍数使用的是短除法，把它模式化为下图：

可知x,y互质，最小公倍数为dxy，a=dx,b=dy。即可得出结论[5]：两数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于两数乘积。

案例8两个数的积是1260，它们的最大公约数是6，求这两个数。

从上面学生非常熟悉的短除法可以看出，这两个数的最大公约数为6 时，必满足x,y互质，那么这两个数分别为6x,6y，最小公倍数为6xy，那么乘积为36xy= 1260，即可知xy= 35，即可知x=1,y= 35 或者x= 5,y= 7。即得两数为6 与210 或者为30 与42。

案例9两个数的最大公约数为10，它们的最小公倍数为420，求这两个数。

由上面短除法可知两个数分别为10x,10y，最小公倍数为10xy，则10xy= 420，即可知xy= 42，由于x,y互质，即可知x= 1,y= 42 或者x= 2,y=21 或者x= 3,y= 14 或者x= 6,y= 7。即得两数为10 与420，或者为20 与210，或者为30 与140，或者为60 与70。

四、渗透整数标准分解思想，化整为零解决问题

向学生说明，由于素数不可再分解出比它小的质因数，故大于1 的整数都可以分解成素数的乘积，即可以写成2()3()5()7()…p()的形式[5]。我们先研究其局部2()、3()、…、p()的一些性质，再结合初等数论初步知识研究这些局部性质与整体性质的联系，渗透整数标准分解思想，化整为零解决问题[6]。

案例101000 的约数有多少个？所有约数的和是多少？

常规解法为先写出1000 的所有约数。我们可以让学生进一步了解一个事实，若b是a的约数，那么b的质因数必然是a的质因数。我们将1000 分解质因数为23×53，那么1000 的约数分解质因数就必然表示为2()5()的形式。23有1，2，4，8 四个约数，53有1，5，25，125 四个约数，23的任何一个约数与53的任何一个约数相乘都是1000 的约数，那么就有下面结论：23的约数个数4 与53的约数个数4 相乘就得到1000 的约数个数，即16，23所有约数的和15 与53的所有约数的和156 相乘就是1000 的所有约数的和2340。

对于这类问题，通过对1000 的标准分解23×53，转化为求23的约数个数、约数和与53的约数个数、约数和的问题，先化整为零，再从局部结果得出整体结果，且体现基本元素思想。

五、适度拓宽素数的相关知识，渗透初等数论方面的数学文化

向学生介绍素数的知识的同时，适度介绍素数研究的历史与现状，介绍我国在数论研究方面的数学家，如华罗庚、陈景润等，还要抓出一些案例，使学生了解素数的分布、筛法等初步知识。

案例11 介绍孪生素数的概念与研究现状（孪生素数是否有无数多对，现在发现的最大的孪生素数等）。如5 与7，11 与13，17 与19 等就是孪生素数，问题：大于3 的两个孪生素数的乘积加上1 后一定是（）的倍数。

知识点：除2 与3 之外的素数都紧挨在6 的倍数前或后（为什么？6n- 2,6n+ 2 是偶数，6n+ 3是3 的倍数），则孪生素数总在某一个6 的倍数前与后，这两个数就可以表示为6n- 1,6n+ 1，由于(6n- 1)(6n+ 1)+ 1 = 36n2，即可知填36。

拓展：p为大于3 的素数，那么p2- 1 一定是（）的倍数，为什么？

上面是我们对小学生渗透初等数论知识的一点做法。我们从多年的教学感受认识到，紧贴教材，适度发挥，不仅能开发学生的智力，增强数学核心素养，还能发现一些有数学天赋的孩子。