巧用同构方法构造函数解决复杂问题

江苏省溧阳中学 (213300) 徐 兰

江苏省连云港市锦屏高级中学 (222021) 车树勤

同构式是指变量不同，结构、形式都相同的数学表达式.同构的过程就是通过移项、拆分、配凑等手段将一个数学表达式恒等变形，使其左右两边呈现形式、结构完全一样的状态，然后构造辅助函数，通过辅助函数的性质来解决问题.下面我们来体验一下同构之路.

一、同构的初级阶段

例1 (2020年全国1卷12题)若2a+log2a=4b+2log4b,则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b-1.设函数f(x)=2x+log2x,∴原不等式等价于f(a)=f(2b)-1

二、同构的发展阶段

例2 (2020年八省联考)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( ).

A.c

C.a

A.(-∞,e] B.(-∞,e)

评注：本题中的两个变量x2、x1不关联，采用集中变量后出现了结构相同的式子，于是构造新的函数u(x)=xf(x), 利用函数的单调性来解决问题.

在以上的问题中构造出同构式的要求有所提高，但难度系数不大.这两个问题的解决中，都是对表达式进行集中变量的变形就能得到相同的结构，构造出新的函数，通过导数研究函数的单调性就可以解决问题.

三、同构的演变阶段

第四步：把原不等式用复合函数的形式表达出来f(e-x)≥f(xa),并分析内函数的取值范围⟹原不等式等价于f(e-x)≥f(xa),∵x∈(1,+∞),e-x∈(0,1),又由选项可知只需研究a<0的情况，a<0时，xa∈(0,1)；

第五步：根据函数f(x)在(0,1)上单调递减，把f(e-x)≥f(xa)转化为e-x与xa之间的关系⟹e-x≤xa；

评注：利用指数对数运算的之间的内部关系，我们可以构造相同的结构e-x-lne-x≥xa-lnxa，通过构造新的函数f(x)=x-lnx，原不等式就可以等价变形为f(e-x)≥f(xa)，从而转化为基本函数中利用函数的单调性来解决的常见不等式问题.达到了化陌生为熟悉的效果.

(1)函数f1(x)=x±lnx=elnx±lnx，与g1(x)=ex±x同构，或者变换g1(x)=ex±x=ex±lnex,与f1(x)=x±lnx同构；

(3)函数f3(x)=xlnx=elnxlnx与g3(x)=xex同构；或者变换g3(x)=xex=exlnex与f3(x)=xlnx同构.

可以发现，指对同构的过程中的核心是lnex=x=elnx，也就是利用指幂运算来构造相同的结构，指对同构的主要方法是指对式分离，找出内层函数.同构的演变题型其实就是命题人把一个结构整齐的同构式重新打乱，重组，变有序为无序，而我们要做的是将这打乱的式子按照一定的目标进行整合变形，合理拆分，使其恢复原貌,化复杂为简单，利用同构构造出一个新的函数，把原式写成复合函数的形式，再利用外层函数的性质转变为内层函数之间的关系，达到化繁为简. 弄清楚这种解法的数学思维起点在哪里，解决问题的数学本质是什么.

例5 (2020年山东高考卷第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积:(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解析：(1)略.(2)中的这个不等式恒成立，既有指数式又有对数式，不妨用指对分离来试一试.

第一步：分离指对式，变换出lna⟹elnaex-1≥-lna+lnx+1；

第二步:变换为同构式,找到内函数lna+x-1⟹elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x；

第三步：构造函数f(x)=ex+x,且在定义域(-∞,+∞)上为单调增函数；

第四步：原不等式等价于f(lna+x-1)≥f(lnx)恒成立；

第五步：根据函数f(x)的单调性，转化为lna+x-1≥lnx恒成立；

第六步：分离出lna，lna≥(lnx-x+1)max.令g(x)=lnx-x+1,求导求出最大值为0.∴lna≥0,解之a≥1.

通过以上分析，同构的演变题型都可以用这六步骤来解决问题，同构的外层函数总是由指数或对数函数与一次函数的组合而成，一旦式子两边构造出相同结构，就可以构造出新的函数，把一个很复杂的问题转化为一个常见函数的性质来解决，难点就是对结构的变形处理，灵活处理指幂运算来达到自己想要的效果.