巧用“三招”,求数列不等式中项数n的最值

2022-07-11 22:06庞羽
语数外学习·高中版上旬 2022年5期
关键词:三招正整数化简

庞羽

数列不等式问题具有较强的综合性.解答此类问题,不仅要灵活运用数列与不等式知识,还需将问题与其他知识关联起来,才能顺利解题.虽然数列不等式与常规不等式较为相似,但是其未知数是正整数,且各项呈现一定的规律,因此我们可以采用一些“妙招”来求解.在求数列不等式中项数n的最值时,可根据数列的特点和不等式的结构特征,灵活变通,寻找解题的思路.

一、将不等式转化为常规不等式

在求数列不等式中项数n的最值时,可先对给出的数列表达式进行变形、化简,将其转化为一个关于自然数n的常规不等式,再通过解不等式确定n的取值范围,求得项数n的最值.

解析:首先可求出数列{b}的前n项和为T,再根据题意,采用错位相减法求和,以便将不等式转化为关于自然数n的常规不等式,通过解不等式求得n的最值.

将两式相减得:

二、利用数列的单调性

数列是一种特殊的函数.在求数列不等式中项数n的最值时,可将求数列不等式的一部分看作是关于自然数n的函数,根据基本函数的性质判断出数列的单调性,然后运用数列的单调性确定数列项数n的最值.

所以n的最大值为4.

在解答数列不等式的过程中,可根据解题的需要,构造出函数模型,然后判断此数列的单调性,再根据数列的单调性寻找到符合题意的n的最值.这个解题方法是非常有效的.

三、放缩不等式

有些数列不等式非常复杂,我们很难采用常规方法求得最值,此时可根据数列不等式的特点,将不等式进行合理的放缩,构造出新的数列,将数列转化为等差、等比数列,或易于求和的数列,以便将数列不等式简化,求得n的最值.

由于S+2T≥2021,

所以最小正整数n的值为45.

本题中的不等式比较复杂,寻找数列各项的规律以及求出数列的和是解题的关键.可通过放缩不等式,求得数列的和,使问题得解.

求数列不等式中项数n的最值的实质是解含有数列的不等式,因此在解题时,需先明确数列的特点、规律,然后化简、变形不等式,再求最值.同学们可根据不等式的特點,采取的不同方法,如将不等式转化为常规不等式、挖掘数列的单调性,或通过放缩不等式进行求解.

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