二次曲线与定值有关的一个重要结论及若干推论

山东省邹平双语学校(256200) 姜坤崇

本文将[1-3]等文献中的若干特殊情形的结论进行推广,给出二次曲线与定值有关的一个重要结论及若干推论.

一、几个定理

为明晰起见,以下分椭圆、双曲线、抛物线对所述性质分别予以介绍.

定理1 给定椭圆C:=1(a > b >0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x轴上的一定点,直线L:x=是与点M对应的定直线,过M任意引一条直线交C于P、Q两点,R是C上异于P、Q的任意一点(直线RP、RQ不与x轴垂直,以下定理同),直线RP、RQ分别交L于点,则

定理2 给定双曲线C:=1(a >0,b >0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x轴上的一定点,直线L:x=是与点M对应的定直线,过M任意引一条直线交C于P、Q两点,R是C上异于P、Q的任意一点,直线RP、RQ分别交L于点,则

定理3 给定抛物线C:y2=2px(p >0),M(m,0)(m≠0)是x轴上的一定点,直线L:x=−m是一条定直线,过M任意引一条直线交C于P、Q两点,R是C上异于P、Q的任意一点,直线RP、RQ分别交L于点S(−m,yS),T(−m,yT),则ySyT=−2pm(定值).

限于篇幅,下面我们只给出定理1 和定理3 的证明,定理2 的证明从略.

定理1的证明如图1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),则由P,R在C上可得

图1

1◦当y1≠0(即点P不在x轴上)时,将直线PM的方程代入C的方程,应用①式化简得(a2+m2−2mx1)y2+2m(x1−m)y1y+(m2−a2)=0.由于y1,y2为以上关于y的二次方程的两个根,因此由根与系数的关系知,所以

从而

由R,P,S三点共线得(y1−y0)=(x1−x0)(u−y0),所以

记A=2m(a2+x0x1)−(a2+m2)(x0+x1),则将②,③式代入同理得到的如下yT的表达式得:

2◦当y1=0,即P为(−a,0)(或(a,0))时,易证结论亦成立(参见文献[1]).

综上,定理1 得证.

定理3的证明如图2,由R,P,Q三点在C上可设,则易知直线PR的斜率,直线PR的方程为

图2

将其与x=−m联立,解得y=即.同理,yT=.又由P,M,Q三点共线可得y1y2=−2pm,故

说明1◦以上三个结论将众多文献给出的二次曲线C上的点R由在C的顶点(焦点所在对称轴与C的交点)位置推广为C上的任意一点,这是对问题研究的一个较大突破; 2◦在以上三个定理中,若点M为曲线C的焦点,则直线L为M对应的准线.

二、若干推论

以上定理都有若干推论,限于篇幅,下面我们只给出定理1 的一些推论,其它结论的类似推论仿照定理1 的推论亦不难写出,本文从略.为简明起见,下文将椭圆=1(a>b>0)简称为椭圆C.

推论1 给定椭圆C,A1(−a,0),A2(a,0)是C长轴的两个端点,直线L:x=m(m≠±a)是一条定直线,N(n,0)(n≠m)是x轴上一定点,R是C上异于A1,A2的任意一点,直线RA1、RA2分别交L于点S(m,u)、T(m,v),则

(1)uv为定值

(2)kSN ·kT N(kSN、kT N分别表示直线SN、TN的斜率)为定值

证明在定理1 中以代m得,L:x=m.若将弦PQ置于长轴位置,并视PQ为过M的弦,则由定理1 的结论得,所以

推论2 给定椭圆C,M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x轴上一定点,过点M任意引两条直线l1、l2,分别交C于点P、Q与R、S,则直线PR与QS的交点N在定直线L:x=上.

证明若直线l1、l2关于x轴对称,则不难证明点在直线L上(参见文献[7]).以下设直线l1与l2不关于x轴对称.如图3,设直线PR、SQ、QR与L的交点分别为,则分别对于直线PQ及点R、直线RS及点Q应用定理1 的结论得

图3

由⑥、⑦两式立得y1=y2(∵y3≠0),这说明N1、N2重合,即直线PR与QS的交点N在直线L上.

在推论2 中,若将弦RS固定在椭圆的长轴位置,则有

推论3 设椭圆C长轴的两个端点为A1(−a,0),A2(a,0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是一定点,过点M任意引一条直线交C于P、Q两点,则直线PA1、QA2的交点N在直线L:x=上(如图4).推论4 给定椭圆C,M(m,0)(m≠0,m≠±a)是一定点,直线L:x=是与点M对应的定直线,过点M任意引一条直线交C于P、Q两点,R是C上任意一点,直线PR、QR分别交L于点S、T,则kMS·kMT为定值

图4

证明设,则由定理1 得

推论5 过椭圆C的焦点F任意引一条直线交C于P、Q两点,R是C上任意一点,直线RP、RQ分别交F对应的准线L于点S、T,则∠SFT=90◦(如图5).

图5