开展小组合作，提升初中学生的解题能力

吉宏湘

【摘要】《概率初步·随机事件》是人教版初中数学九年级上册的教学内容，这是一个与生活密切相关的内容，但同时从教材呈现的概念：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为：P（A）=mn.这是比较抽象的、有一定难度的.因此教师可通过小组合作将相关的问题分成不同的类别，给他们讨论的机会，给他们展示各自思维的舞台，进而促成问题的解决，提升他们的解题能力.

【关键词】初中数学;概率初步;随机事件

《概率初步·随机事件》这一章节的逻辑性、综合性较强，这要求学生不但要了解随机事件的基本概念和特点;还要有较强的将知识转化为较高的解决问题能力，即要能依据具体的题目描述，判断出一件事情是属于随机事件.基于此教师可将学生分组，让他们围绕概念、公式以及实际问题开展课堂活动.一部分在对比、探究、综合、分析等能力方面较弱的学生能在合作中提高解题能力.

1 开展小组合作解决综合性问题

就本章节而言，它所涉及的内容涵盖社会生活、日常生活的各个方面，因为就事件而言都可分为必然事件、不可能事件、随机事件.

通过本章节的学习，学生要能运用相关的认知对事件做出准确的判断.但是这些事件往往涉及到多样的学科，要解决这些综合性的问题，教师就需要将学生分组，以让他们各取所长，攻克难关.毕竟每个学生都有自己的长处，在某些学科的某些章节也会有自己的不足.小组合作为综合性问题的解决常设更多可能，因为它能聚焦更多人的智慧.

当前初中阶段的合作存在着假合作的现象，就是小组的各个成员在一起讨论、探讨他们本来就会的问题，这样的合作只能浪费时间.但基于综合性问题的合作却能将学生凝聚在一起，商讨解决的方案.

例如 以下面这题为例，如图1所示，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是多少.

就这道题而言除了最后的问题是跟数学有关的，前面的描述都是物理学科的内容.小组里物理学得不错的学生就可以从串联与并联的角度讲述其中的原理，以让组员更深刻理解情境，为解题做铺垫.

比如一个学生说串联的电路连接电流的只有一条通路，开关可以控制全部的位置的电流，就如灯泡A、B、C;并联的电路不止一根电路，它的开关处于一条电路上的时候，另一条电路的电流不受影响.

当学生弄懂这些综合性知识，下面的解题也就顺畅起来.先是小组长提议，每个成员根据设置的题目要求画出树状图，如图2所示.接着他们相互讨论由树状图求得的所有可能的结果与小灯泡发光的情况.

从图2中他们发现共有12种等可能的结果，任意闭合其中两个开关，由公式“P（A）=mn”求得，小灯泡发光的有6种情况.

为了进一步巩固合作能力，促进综合素养的发展，教师可跟踪一题，如图3所示，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，假如同时闭合开关A、B或者同时闭合开关C、D小灯泡都会发光，那么下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是哪一个？教师设置四个选项：只闭合1个开关;只闭合2个开关;只闭合3个开关;闭合4个开关.

同样地，小组成员中物理好的学生先讲述其中的原理，比如一学生说，只闭合1个开关，小灯泡不会发光，观看线路图可得知这属于不可能事件.另外一学生说，只闭合2个开关，由电学知识可得，小灯泡可能发光也可能不发光，这是随机事件.同样地，由线路图的特点可知只闭合3个开关，或者4个开关小灯泡一定会发光，这是必然事件.

小组合作中，学生的综合能力得到发展，解题能力水涨船高.

2 开展小组合作解决开放性问题

所谓开放性问题就是教师所设置的题目，无论是条件、结论亦或是解法都有可能出现不一样的情况，这给学生更多创新的空间，也为他们的能力发展提供了多样的可能.

小组合作能促进学生多方面的发展，能让他们的主观能动性得到发挥.将小组合作与开放性问题的融合能让两者都获得发展，小组合作为开放性题目提供更多思维与思路，开放性题目丰富了小组合作的内容.

本来小组合作就是开放性的学习方式，教师将问题的解决权留给学生，以最大限度地激发他们的潜能.开放式问题的解决需要学生持有开放性的学习方式，小组合作进一步释放了学生的思维火花.

就这一章节教师设置这样的题目，已知关于x的二次函数y=3x2-12x+12+2a，

设事件A：“x<0时，y随x的增大而减小”，

事件B：“二次函数y=3x2-12x+12+2a的图象与x轴有两个交点”.小聪说A是随机事件，小明说B是必然事件，请你表达自己的看法.

这道题的开放性在于结论的不唯一，需要学生进行一定的猜想先確立一个结论，进而再开展相关的探究与证明.

合作中，他们先是对函数进行了整理y=3x2-12x+12+2a=3（x-2）2+2a，且3>0.

接着他们讨论在什么情况下y随x的增大而减小，他们发现只有当x<2时.他们再转向题目的条件上，他们发现x<0是x<2的一部分，进而他们推断x<0时y随x的增大而减小，即A是必然事件，原来小聪弄错了.

对于第二问合作中他们想到一个关键的问题就是图象与x轴有没有交点就是看“Δ”的值，因而他们先求出Δ=（-12）2-4×3×（12+2a）=-24a.

他们发现B可能是随机事件，因为“a”存在多种可能.成员一起商量，他们决定将“a”分三种情况讨论.

当a>0时，-24a<0，学生推断这时候的二次函数y=3x2-12x+12+2a的图象与x轴没有交点.

当a=0时的情况，-24a=0，他们得出此时二次函数y=3x2-12x+12+2a的图象与x轴只有一个交点;

当a<0时，-24a>0，显然地二次函数y=3x2-12x+12+2a的图象与x轴有两个交点.

他们的这些分类与推断是在合作中进行的，合作开放了思维的空间.由题目可以看出“有没有交点”这件事在一定条件下，它是有可能发生也是有可能不发生，这其实就是随机事件.

开放题的求解强调学生的主导地位，在小组合作中他们根据题目已知的内容，在观察、计算、归纳等的过程中一步步完成猜想出来的结论、解法等.

3 开展小组合作解决学生独立完成有困难的问题

小组合作其实就是让学生成为解决问题的主人，让他们在彼此交流与帮助中共同提升.合作中学生自主解决问题的能力得到提升，因为他们需要自行地建构议题、自行地分配任务，再一起在交流、讨论、分享中促成问题的解决.

当一些学生独立完成有困难的问题出现在他们面前时，他们会感到紧张，甚至不知所措.合作能让他们通力前行、共度难关.对于学困生来说，在他们遇到难题时，就有合作伙伴主动地伸出援助之手.对于优等生来说，他们在帮助别人解决问题的同时，也促进自身的发展，比如分析能力、沟通能力都得到提升.

例如 “赵爽弦图”闪耀着中国古人的智慧.如图4所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，同时它们的两直角边之比均为2∶3.假如一个人随机地向该图形内掷一枚小针，那么针尖落在阴影区域的概率会是多少.

大多学生接着这样的题目不知道从何处入手.

教师先让学生在合作中讨论，最后一句话的实质是什么.

学生发现这其实就是几何概率问题，就是化用公式P（A）=mn，针尖落在阴影区域的概率就是相应的面积与总面积之比.

教师让他们继续合作，他们想到要求出大正方形面积和阴影区域面积，再由此求出针尖落在阴影区域的概率.

小组成员想到了之前的勾股定理证明，各成员独立地设勾为2k，则股为3k，弦为13k，

进而他们求得大正方形面积为S=13k×13k=13k2，

中间小正方形的面积S′=（3-2）k·（3-2）k=k2，

故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2.

有组员做到这一步不知道怎么接下去，别的学生就提醒他运用概率公式，即，针尖落在阴影区域的概率为：12k213k2=1213.

当一些比较难的题目出现时，教师可采用小组合作的方法，让大家在彼此帮扶中前行，在彼此的交流与沟通中获得解题的路径.

4 结语

通过本章节的学习，学生既要能判断现实生活中哪些事件是随机事件，同时他们还要能对随机事件发生的可能性大小的定性进行分析.

在本章节的学习中教师要培養学生的高阶思维能力，譬如分析问题的能力、运用认知的能力、推理结论的能力等.

小组合作能激发每个学生的潜能，教师将需要合作的问题进行分类，进而进一步明确合作的内容、方式，在提升合作效率的同时也提升他们的解题能力.

参考文献：

[1]马琳.组织小组合作 “一对一”帮扶——浅谈初中数学教学中培养学生运算能力的问题及对策[J].考试周刊. 2020，（42）.

[2]王永.发挥小组合作作用 提高数学教学有效性[J].读写算. 2019，（18）.